Кіріспе
Математикалық функция. Математикада Гаусс функциясы, көбінесе жай ғана Гаусс деп аталады, мына негізгі формадағы функция:
In mathematics, a Gaussian function, often simply referred to as a Gaussian, is a function of the base form
and with parametric extension
for arbitrary real constants a, b and non zero c. It is named after the mathematician Carl Friedrich Gauss. The graph of a Gaussian is a characteristic symmetric "bell curve" shape. The parameter a is the height of the curve's peak, b is the position of the center of the peak, and c (the standard deviation, sometimes called the Gaussian RMS width) controls the width of the "bell". Gaussian functions are often used to represent the probability density function of a normally distributed random variable with expected value 1=μ = b and variance In this case, the Gaussian is of the form
Gaussian functions are widely used in statistics to describe the normal distributions, in signal processing to define Gaussian filters, in image processing where two dimensional Gaussians are used for Gaussian blurs, and in mathematics to solve heat equations and diffusion equations and to define the Weierstrass transform.
және кез келген нақты тұрақты a, b және нөлдік емес c үшін параметрлік кеңейтілім:
In mathematics, a Gaussian function, often simply referred to as a Gaussian, is a function of the base form
and with parametric extension
for arbitrary real constants a, b and non zero c. It is named after the mathematician Carl Friedrich Gauss. The graph of a Gaussian is a characteristic symmetric "bell curve" shape. The parameter a is the height of the curve's peak, b is the position of the center of the peak, and c (the standard deviation, sometimes called the Gaussian RMS width) controls the width of the "bell". Gaussian functions are often used to represent the probability density function of a normally distributed random variable with expected value 1=μ = b and variance In this case, the Gaussian is of the form
Gaussian functions are widely used in statistics to describe the normal distributions, in signal processing to define Gaussian filters, in image processing where two dimensional Gaussians are used for Gaussian blurs, and in mathematics to solve heat equations and diffusion equations and to define the Weierstrass transform.
Ол математик Карл Фридрих Гаусс атымен аталған. Гаусс функциясының графигі – ерекше симметриялық «қоңырау қисығы» пішіні. Параметр a – қисықтың ең жоғары нүктесінің биіктігі, b – ең жоғары нүктенің орны, ал c (стандартты ауытқу, кейде Гаусс функциясының RMS ені деп аталады) «қоңыраудың» енін анықтайды. Гаусс функциялары жиі нормальды таралым заңына бағынған кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясын көрсету үшін қолданылады, оның математикалық күтілуі μ = b және дисперсиясы болады. Бұл жағдайда Гаусс функциясы мынадай формада болады:
In mathematics, a Gaussian function, often simply referred to as a Gaussian, is a function of the base form
and with parametric extension
for arbitrary real constants a, b and non zero c. It is named after the mathematician Carl Friedrich Gauss. The graph of a Gaussian is a characteristic symmetric "bell curve" shape. The parameter a is the height of the curve's peak, b is the position of the center of the peak, and c (the standard deviation, sometimes called the Gaussian RMS width) controls the width of the "bell". Gaussian functions are often used to represent the probability density function of a normally distributed random variable with expected value 1=μ = b and variance In this case, the Gaussian is of the form
Gaussian functions are widely used in statistics to describe the normal distributions, in signal processing to define Gaussian filters, in image processing where two dimensional Gaussians are used for Gaussian blurs, and in mathematics to solve heat equations and diffusion equations and to define the Weierstrass transform.
Гаусс функциялары статистикада қалыпты үлестірулерді сипаттау үшін, сигналдарды өңдеуде Гаусс сүзгілерін анықтау үшін, екі өлшемді Гаусс функцияларын Гаусс бұдырауы үшін қолданатын бейне өңдеуде, сондай-ақ математикада жылу теңдеулерін және диффузия теңдеулерін шешу үшін және Вейерштрасс түрлендірмесін анықтау үшін кеңінен қолданылады.
In mathematics, a Gaussian function, often simply referred to as a Gaussian, is a function of the base form
and with parametric extension
for arbitrary real constants a, b and non zero c. It is named after the mathematician Carl Friedrich Gauss. The graph of a Gaussian is a characteristic symmetric "bell curve" shape. The parameter a is the height of the curve's peak, b is the position of the center of the peak, and c (the standard deviation, sometimes called the Gaussian RMS width) controls the width of the "bell". Gaussian functions are often used to represent the probability density function of a normally distributed random variable with expected value 1=μ = b and variance In this case, the Gaussian is of the form
Gaussian functions are widely used in statistics to describe the normal distributions, in signal processing to define Gaussian filters, in image processing where two dimensional Gaussians are used for Gaussian blurs, and in mathematics to solve heat equations and diffusion equations and to define the Weierstrass transform.
Параметрлерді бағалау
Жұлдыздық фотометрия, Гаусс сәулесінің сипаттамасы және эмиссиялық/сіңіру сызықтық спектроскопия сияқты бірнеше салалар Гаусс функцияларымен жұмыс істейді және функцияның биіктігі, орны және ені параметрлерін дәл бағалау қажет. 1D Гаусс функциясы үшін үш белгісіз параметр бар (a, b, c), ал 2D Гаусс функциясы үшін бес параметр бар.
Гаусс параметрлерін бағалаудың ең көп қолданылатын әдісі – деректердің логарифмін алып, нәтижедегі деректер жиынтығына параболаны сәйкестендіру. Бұл қарапайым қисыққа сәйкестендіру процедурасын ұсынады, бірақ алынған алгоритм кішкентай деректер мәндерін артық салмақтауы мүмкін, бұл профильді бағалауда үлкен қателерге алып келуі мүмкін. Бұл мәселені салмақты ең кіші квадраттар әдісі арқылы, кішкентай деректер мәндерінің салмағын азайту арқылы ішінара шешуге болады, бірақ бұл да Гаусс функциясының құйрығының сәйкестікке үлкен әсер етуіне мүмкіндік беру арқылы қиындауы мүмкін. Бұл қиылысты жою үшін, қайталап салмақталған ең кіші квадраттар процедурасын қолдануға болады, онда салмақтар әр итерацияда жаңартылады. Өлшенген профильдегі шу i.i.d. Гаусс немесе Пуассон таралуымен сипатталады. Үлгілер арасындағы аралық (яғни деректерді өлшейтін пиксельдер арасындағы қашықтық) біркелкі болады. Максимумы "жақсы үлгіленген", сондықтан максимум астындағы ауданның немесе көлемнің 10% -дан азы (1D Гаусс үшін аудан, 2D Гаусс үшін көлем) өлшеу аймағынан тыс жатады. Максимумының ені үлгі алу орналасулары арасындағы қашықтықтан әлдеқайда үлкен (яғни детектор пиксельдері Гаусс функциясының FWHM-нен кемінде 5 есе кіші болуы керек). Бұл шарттар орындалғанда, келесі ковариациялық матрица K 1D профиль параметрлері үшін i.i.d. Гаусс шуы және Пуассон шуы жағдайында қолданылады:
мұнда – бүтін тәртіптегі модификацияланған Бессель функцияларын білдіреді. Бұл үздіксіз Гаусс функциясының дискретті аналогы, өйткені ол дискретті кеңістік пен үздіксіз уақыт үшін дискретті диффузия теңдеуінің шешімі болып табылады, дәл сияқты үздіксіз Гаусс функциясы үздіксіз диффузия теңдеуінің шешімі болып табылады.
Қолданбалар
Гаусс функциялары табиғат ғылымдары, әлеуметтік ғылымдар, математика және инженерия салаларында көптеген жағдайларда кездеседі. Мысалдар: Статистика және ықтималдықтар теориясында Гаусс функциялары орталық шектеу теоремасына сәйкес келетін күрделі қосындылардың шекті ықтималдық таралуын сипаттайтын қалыпты таралудың тығыздық функциясы ретінде қолданылады. Гаусс функциялары (гомогенді және изотроптық) диффузия теңдеуінің (және сол теңдеумен бірдей болатын жылу теңдеуінің) Грин функциясы болып табылады, бұл диффузия кезінде масса тығыздығының уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын ішінара дифференциалдық теңдеу. Атап айтқанда, егер t=0 уақытындағы масса тығыздығы Дирак дельтасымен берілсе, яғни масса бастапқыда бір нүктеде шоғырланған болса, онда t уақытындағы масса таралуы Гаусс функциясымен сипатталады, мұнда a параметрі 1/мен, ал c параметрімен сызықтық байланыста болады; осы уақытқа байланысты өзгеретін Гаусс функциясы жылу ядросымен сипатталады. Егер бастапқы масса тығыздығы φ(x) болса, онда кейінгі масса тығыздығын алу үшін φ функциясын Гаусс функциясымен конволюциялау керек. Функцияның Гаусс функциясымен конволюциясы Вейерштрасс түрлендіруі деп те аталады. Гаусс функциясы кванттық гармоникалық осциллятордың негізгі күйінің толқындық функциясы болып табылады. Есептеу химиясында қолданылатын молекулалық орбитальдар Гаусс орбитальдары деп аталатын Гаусс функцияларының сызықтық комбинациялары болуы мүмкін (негіз жиынтығын да қараңыз). Математикалық тұрғыдан алғанда, Гаусс функциясының туындыларын Гермит функцияларын қолдана отырып көрсетуге болады. Бірлік дисперсиясы үшін Гаусс функциясының n-ші туындысы Гермит полиномының n-ші дәрежесіне көбейтілген Гаусс функциясының өзіне тең, масштабқа дейін. Осыған байланысты, Гаусс функциялары кванттық өріс теориясындағы вакуумдық күймен де байланысты. Гаусс сәулелері оптикалық жүйелерде, микротолқынды жүйелерде және лазерлерде қолданылады. Масштабты кеңістікте Гаусс функциялары компьютерлік көру және бейне өңдеуде көп масштабты бейнелерді жасау үшін тегістеу ядролары ретінде қолданылады. Атап айтқанда, Гаусс функциясының туындылары (Гермит функциялары) көптеген визуалды операцияларды анықтау үшін негіз ретінде қолданылады. Гаусс функциялары жасанды нейрондық желілердің кейбір түрлерін анықтау үшін қолданылады. Флуоресценциялық микроскопияда 2D Гаусс функциясы Аэри дискісін жуықтау үшін қолданылады, ол нүктелік көзден туындаған интенсивтілік таралуын сипаттайды. Сигналды өңдеуде олар Гаусс сүзгілерін анықтау үшін қолданылады, мысалы, бейне өңдеуде 2D Гаусс функциялары Гаусс бұдырауы үшін қолданылады. Цифрлық сигналды өңдеуде дискретті Гаусс ядросы қолданылады, оны биномдық коэффициент арқылы немесе Гаусс функциясын дискреттеу арқылы жуықтауға болады. Геостатистикада олар күрделі оқулық суретінің үлгілері арасындағы айырмашылықты түсіну үшін қолданылды. Олар ядролық әдістермен бірге ерекшелік кеңістігіндегі үлгілерді кластерлеу үшін қолданылады.
In statistics and probability theory, Gaussian functions appear as the density function of the normal distribution, which is a limiting probability distribution of complicated sums, according to the central limit theorem. Gaussian functions are the Green's function for the (homogeneous and isotropic) diffusion equation (and to the heat equation, which is the same thing), a partial differential equation that describes the time evolution of a mass density under diffusion. Specifically, if the mass density at time t=0 is given by a Dirac delta, which essentially means that the mass is initially concentrated in a single point, then the mass distribution at time t will be given by a Gaussian function, with the parameter a being linearly related to 1/ and c being linearly related to ; this time varying Gaussian is described by the heat kernel. More generally, if the initial mass density is φ(x), then the mass density at later times is obtained by taking the convolution of φ with a Gaussian function. The convolution of a function with a Gaussian is also known as a Weierstrass transform. A Gaussian function is the wave function of the ground state of the quantum harmonic oscillator. The molecular orbitals used in computational chemistry can be linear combinations of Gaussian functions called Gaussian orbitals (see also basis set (chemistry)). Mathematically, the derivatives of the Gaussian function can be represented using Hermite functions. For unit variance, the n th derivative of the Gaussian is the Gaussian function itself multiplied by the n th Hermite polynomial, up to scale. Consequently, Gaussian functions are also associated with the vacuum state in quantum field theory. Gaussian beams are used in optical systems, microwave systems and lasers. In scale space representation, Gaussian functions are used as smoothing kernels for generating multi scale representations in computer vision and image processing. Specifically, derivatives of Gaussians (Hermite functions) are used as a basis for defining a large number of types of visual operations. Gaussian functions are used to define some types of artificial neural networks. In fluorescence microscopy a 2D Gaussian function is used to approximate the Airy disk, describing the intensity distribution produced by a point source. In signal processing they serve to define Gaussian filters, such as in image processing where 2D Gaussians are used for Gaussian blurs. In digital signal processing, one uses a discrete Gaussian kernel, which may be approximated by the Binomial coefficient or sampling a Gaussian. In geostatistics they have been used for understanding the variability between the patterns of a complex training image. They are used with kernel methods to cluster the patterns in the feature space.