Введение

Матрицы, подобные диагональным матрицам

В линейной алгебре квадратная матрица называется диагонализируемой или невырожденной, если она подобна диагональной матрице. То есть, если существует невырожденная матрица и диагональная матрица такая, что . Это эквивалентно (такие не являются единственными). Это свойство существует для любого линейного отображения: для векторного пространства конечной размерности линейное отображение называется диагонализируемым, если существует упорядоченный базис состоящий из собственных векторов . Эти определения эквивалентны: если имеет матричное представление как выше, то столбцовые векторы образуют базис, состоящий из собственных векторов , а диагональные элементы являются соответствующими собственными значениями; относительно этого собственного базиса, представляется как .

Диагонализация — это процесс нахождения вышеуказанных и , который упрощает многие последующие вычисления. Диагональную матрицу можно возвести в степень, просто возводя в эту степень её диагональные элементы. Определитель диагональной матрицы — это просто произведение всех её диагональных элементов. Такие вычисления легко обобщаются на .

Геометрическое преобразование, представленное диагонализируемой матрицей, является неоднородным растяжением (или анизотропным масштабированием). То есть, оно может масштабировать пространство в разных направлениях по-разному. Направление каждого собственного вектора масштабируется в соответствии с соответствующим собственным значением. Квадратная матрица, которая не диагонализируема, называется вырожденной. Может случиться, что матрица с вещественными элементами является вырожденной над полем вещественных чисел, то есть невозможно найти невырожденную матрицу и диагональную матрицу с вещественными элементами, удовлетворяющие условию , но это возможно с комплексными элементами, так что становится диагонализируемой над полем комплексных чисел. Например, это справедливо для общей матрицы вращения. Многие результаты для диагонализируемых матриц верны только над алгебраически замкнутым полем (например, над полем комплексных чисел). В этом случае диагонализируемые матрицы плотны в пространстве всех матриц, что означает, что любую вырожденную матрицу можно деформировать в диагонализируемую матрицу с помощью малого возмущения; и разложение Жордана — Шевалье утверждает, что любая матрица единственным образом представляется как сумма диагонализируемой матрицы и нильпотентной матрицы. Над алгебраически замкнутым полем диагонализируемые матрицы эквивалентны полупростым матрицам.

Определение

Квадратная матрица , с элементами в поле , называется диагонализируемой или невырожденной, если существует невырожденная матрица (т. е. элемент общей линейной группы GLn(F)), , такая, что является диагональной матрицей. Формально,

Одновременная диагонализация

Множество матриц называется одновременно диагонализуемым, если существует единственная невырожденная матрица, такая что для каждой матрицы из этого множества является диагональной матрицей. Следующая теорема характеризует одновременно диагонализуемые матрицы: множество диагонализуемых матриц коммутирует тогда и только тогда, когда оно одновременно диагонализуемо. Множество всех диагонализуемых матриц (над ) с не является одновременно диагонализуемым. Например, матрицы

диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, поскольку они не коммутируют. Множество состоит из взаимно коммутирующих нормальных матриц тогда и только тогда, когда оно одновременно диагонализуемо унитарной матрицей; то есть, существует унитарная матрица такая, что для каждой матрицы из множества является диагональной. На языке теории Ли, множество одновременно диагонализуемых матриц порождает торальную алгебру Ли.

Диагонализуемые матрицы

Инволюции диагонализуемы над действительными числами (и вообще над любым полем характеристики, не равной 2), с элементами ±1 на диагонали. Эндоморфизмы конечного порядка диагонализуемы над полем комплексных чисел (или над любым алгебраически замкнутым полем, в котором характеристика поля не делит порядок эндоморфизма), с корнями из единицы на диагонали. Это следует из того, что минимальный многочлен является разделимым, поскольку корни из единицы различны. Проекции диагонализуемы, с нулями и единицами на диагонали. Реальные симметричные матрицы диагонализуемы ортогональными матрицами; то есть, для реальной симметричной матрицы A существует ортогональная матрица P такая, что P⁻¹AP является диагональной. В более общем случае, матрицы диагонализуемы унитарными матрицами тогда и только тогда, когда они нормальны. В случае реальной симметричной матрицы мы видим, что A = Aᵀ, поэтому A является нормальной. Примерами нормальных матриц являются реальные симметричные (или кососимметричные) матрицы (например, матрицы ковариации) и эрмитовы матрицы (или косоэрмитовы матрицы). См. спектральные теоремы для обобщений на бесконечномерные векторные пространства.

Матрицы, которые не могут быть диагонализированы

В общем, матрица вращения не диагонализуема над действительными числами, но все матрицы вращения диагонализуемы над полем комплексных чисел. Даже если матрица не диагонализуема, всегда можно найти наилучшее возможное приближение – матрицу с теми же свойствами, состоящую из собственных значений на главной диагонали и единиц или нулей на наддиагонали, известную как жорданова нормальная форма. Некоторые матрицы не диагонализуемы ни над каким полем, особенно это касается ненулевых нильпотентных матриц. Это происходит в более общем случае, когда алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения не совпадают. Например, рассмотрим следующую матрицу:

Эта матрица не диагонализуема: не существует матрицы P такой, что P⁻¹AP является диагональной матрицей. Действительно, у A есть одно собственное значение (а именно ноль), и его алгебраическая кратность равна 2, а геометрическая – 1. Некоторые вещественные матрицы не диагонализуемы над действительными числами. Рассмотрим, например, матрицу

Матрица A не имеет действительных собственных значений, поэтому не существует вещественной матрицы P такой, что P⁻¹AP является диагональной матрицей. Однако, мы можем диагонализовать A, если допустить комплексные числа. Действительно, если взять

то P⁻¹AP будет диагональной матрицей. Легко увидеть, что P является матрицей вращения, которая поворачивает против часовой стрелки на угол π/2.

Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.

Применение квантовой механики

В квантово-механических и квантово-химических вычислениях диагонализация матриц является одним из наиболее часто применяемых численных методов. Основная причина заключается в том, что стационарное уравнение Шредингера представляет собой уравнение собственных значений, хотя и в большинстве физических ситуаций в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Распространенным приближением является отсечение гильбертова пространства до конечной размерности, после чего уравнение Шредингера можно сформулировать как задачу на собственные значения реальной симметричной или комплексной эрмитовой матрицы. Формально это приближение обосновано вариационным принципом, применимым к гамильтонианам, ограниченным снизу. Теория первого порядка возмущений также приводит к задаче на собственные значения матрицы для вырожденных состояний.