Діагональға ұқсас матрицалар

Кіріспе

Диагональ матрицаларға ұқсас матрицалар

Сызықтық алгебрада квадрат матрица, егер ол диагональ матрицаға ұқсас болса, диагональдастырылатын немесе толық емес деп аталады. Яғни, егер кері өрнекті матрица және диагональ матрицасы болса, онда . Бұл келесіге эквивалентті (мұндай матрицалар бірегей емес). Бұл қасиет кез келген сызықтық түрлендіру үшін де бар: шекті өлшемді векторлық кеңістік үшін сызықтық түрлендіру, егер оның өзіндік векторларынан тұратын реттелген негізі болса, диагональдастырылатын болады. Бұл анықтамалар эквивалентті: егер матрицаның матрицалық бейнесі жоғарыда көрсетілгендей болса, онда матрицаның бағандық векторларының өзіндік векторларынан тұратын негіз құрайды, ал матрицаның диагональдық элементтері – сәйкес өзіндік мәндері болады; осы өзіндік векторлық негізге қатысты матрицасы жоғарыда көрсетілген және келесі есептеулерді жеңілдетеді. Диагональ матрицасын оның диагональдық элементтерін сол дәрежеге көтеру арқылы оңай көтеруге болады. Диагональ матрицаның анықтамасы – барлық диагональдық элементтерінің көбейтіндісі. Мұндай есептеулерге геометриялық түрлендіруді диагональдастырылатын матрицамен бейнелеуге болады, бұл гомогенді емес кеңею (немесе анизотроптық масштабтау). Яғни, ол кеңістікті әртүрлі бағыттарда әртүрлі мөлшерде масштабтай алады. Әрбір өзіндік вектордың бағыты тиісті өзіндік мәнмен берілген коэффициентпен масштабталады. Диагональдастырылмаған квадрат матрица толық емес деп аталады. Матрицаның нақты коэффициенттері болған жағдайда, ол нақты сандар бойынша толық емес болуы мүмкін, яғни нақты коэффициенттері бар ең болмағанда кері және диагональ матрицасы үшін бұл мүмкін емес, бірақ кешенді коэффициенттері бар болса, бұл мүмкін, сондықтан ол кешенді сандар бойынша диагональдастырылады. Мысалы, бұл жалпы айналу матрицасы үшін жарамды. Диагональдастырылатын матрицаларға қатысты көптеген нәтижелер тек алгебралық жабық өрісте (мысалы, кешенді сандар) ғана жарамды. Бұл жағдайда диагональдастырылатын матрицалар барлық матрицалар кеңістігінде тығыз болады, яғни кез келген толық емес матрицаны кішкентай бұрмалау арқылы диагональдастырылатын матрицаға түрлендіруге болады; ал Жордан-Шевалли ыдырауы кез келген матрицаның диагональдастырылатын матрица мен нильпотентті матрицаның қосындысы екенін көрсетеді. Алгебралық жабық өрісте диагональдастырылатын матрицалар жартылай қарапайым матрицаларға тең.

In linear algebra, a square matrix is called diagonalizable or non defective if it is similar to a diagonal matrix. That is, if there exists an invertible matrix and a diagonal matrix such that This is equivalent to (Such , are not unique.) This property exists for any linear map: for a finite dimensional vector space , a linear map is called diagonalizable if there exists an ordered basis of consisting of eigenvectors of These definitions are equivalent: if has a matrix representation as above, then the column vectors of form a basis consisting of eigenvectors of , and the diagonal entries of are the corresponding eigenvalues of ; with respect to this eigenvector basis, is represented by
Diagonalization is the process of finding the above and and makes many subsequent computations easier. One can raise a diagonal matrix to a power by simply raising the diagonal entries to that power. The determinant of a diagonal matrix is simply the product of all diagonal entries. Such computations generalize easily to
The geometric transformation represented by a diagonalizable matrix is an inhomogeneous dilation (or anisotropic scaling). That is, it can scale the space by a different amount in different directions. The direction of each eigenvector is scaled by a factor given by the corresponding eigenvalue. A square matrix that is not diagonalizable is called defective. It can happen that a matrix with real entries is defective over the real numbers, meaning that is impossible for any invertible and diagonal with real entries, but it is possible with complex entries, so that is diagonalizable over the complex numbers. For example, this is the case for a generic rotation matrix. Many results for diagonalizable matrices hold only over an algebraically closed field (such as the complex numbers). In this case, diagonalizable matrices are dense in the space of all matrices, which means any defective matrix can be deformed into a diagonalizable matrix by a small perturbation; and the Jordan–Chevalley decomposition states that any matrix is uniquely the sum of a diagonalizable matrix and a nilpotent matrix. Over an algebraically closed field, diagonalizable matrices are equivalent to semi simple matrices.

Анықтама

Квадраттық матрица , өрістегі элементтері бар, диагональға келтіріледі немесе толық матрица деп аталады, егер кері матрица (яғни жалпы сызықтық топтың GLn(F) мүшесі) болатын , матрицасы бар болса, онда матрица диагональдық матрица болады. Формальды түрде:

Бір мезгілде диагональдеу

Матрицалар жиыны бір мезгілде диагональға келтіріле алатын болады, егер жиындағы әрбір матрица үшін диагональ матрицасы болатын бір инвертирленетін матрица болса. Келесі теорема бір мезгілде диагональға келтіріле алатын матрицаларды сипаттайды: Диагональға келтіріле алатын матрицалар жиыны, егер және тек қана жиынтық бір мезгілде диагональға келтірілсе, коммутациялайды. Барлық диагональға келтіріле алатын матрицалардың жиыны (үстінде) бір мезгілде диагональға келтірілмейді. Мысалы, матрицалар диагональға келтіріле алады, бірақ бір мезгілде диагональға келтірілмейді, себебі олар коммутацияламайды. Жинақ коммутациялайтын нормаль матрицалардан тұрады, егер және тек қана ол бірлік матрицамен бір мезгілде диагональға келтірілсе; яғни, жиынтықтағы әрбір матрица үшін диагональ болатын бірлік матрица бар. Ли теориясының тілінде бір мезгілде диагональға келтіріле алатын матрицалар жиыны торальдік Ли алгебрасын жасайды.

Диагональдалатын матрицалар

Инволюциялар нақты сандар бойынша диагональдастырылады (әрине, 2-ге тең емес кез келген өрісте), олардың диагоналінде ±1 орналасады. Шекті реті бар эндоморфизмдер (немесе эндоморфизмнің реті өрістің сипаттамасымен бөлінбейтін алгебралық жабық өрісте) бірліктің түбірлері диагоналінде болатындай диагональдастырылады. Бұл минималды полином ажыратылатындықтан, себебі бірліктің түбірлері әртүрлі. Проекциялар диагональда 0-дер мен 1-дер орналасқан диагональдастырылады. Нақты симметриялық матрицалар ортогональды матрицалар арқылы диагональдастырылады; яғни, нақты симметриялық матрица берілген болса, қандай да бір ортогональды матрица үшін диагональды болады. Жалпы алғанда, матрицалар нормальды болған жағдайда және тек сонда ғана унитарлы матрицалар арқылы диагональдастырылады. Нақты симметриялық матрица жағдайында , оның орындалатыны анық көрінеді. Нормальды матрицалардың мысалдары – нақты симметриялық (немесе қисық симметриялық) матрицалар (мысалы, ковариациялық матрицалар) және Эрмиттік матрицалар (немесе қисық Эрмиттік матрицалар). Шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерге қатысты жалпылаулар үшін спектрлік теоремаларға жүгініңіз.

Диагональдастырылмайтын матрицалар

Жалпы, айналу матрицасы нақты сандар өрісінде диагональға келтірілмейді, бірақ барлық айналу матрицалары комплекс сандар өрісінде диагональға келтіріледі. Матрица диагональға келтірілмейтін болса да, әрқашан "көбінесе жақсысын жасауға" болады және бас диагональдағы өзіндік мәндерден, ал үстіңгі диагональда біліктерден немесе нөлдерден тұратын, сол матрицаның қасиеттерін сақтайтын матрицаны табуға болады – бұл Жорданның нормалық түрі деп аталады. Кейбір матрицалар ешқандай өрісте диагональға келтірілмейді, ең бастысы – нөлдік емес нильпотент матрицалар. Бұл, әсіресе, өзіндік мәннің алгебралық және геометриялық көптігі сәйкес келмесе, көбірек орын алады. Мысалы, қарастырайық:

Бұл матрица диагональға келтірілмейді: яғни, диагональды матрица болатын матрицасы жоқ. Шындығында, бір өзіндік мәнге ие (яғни нөлге) және бұл өзіндік мәннің алгебралық көптігі 2, ал геометриялық көптігі 1. Кейбір нақты матрицалар нақты сандар өрісінде диагональға келтірілмейді. Мысалы, матрицаны қарастырайық:

Бұл матрицаның нақты өзіндік мәндері жоқ, сондықтан диагональды матрица болатын нақты матрицасы жоқ. Дегенмен, егер комплекс сандарға рұқсат етсек, оны диагональға келтіруге болады. Шындығында, егер біз алсақ:

онда диагональды болады. Бұл, бұрылыс бағытымен сағат тіліне қарсы бұрышымен айналатын айналу матрицасы екенін анықтау оңай.

Жоғарыдағы мысалдар, диагональға келтірілетін матрицалардың қосындысының міндетті түрде диагональға келтірілмейтінін көрсетеді.

Кванттық механиканың қолданылуы

Кванттық механикалық және кванттық химиялық есептеулерде матрицалық диагональдеу ең көп қолданылатын сандық процестердің бірі болып табылады. Мұның негізгі себебі – уақытқа тәуелсіз Шредингер теңдеуі, тіпті көптеген физикалық жағдайларда шексіз өлшемді Гильберт кеңістігінде болса да, өзіндік мән теңдеуі болып табылады. Жиі қолданылатын жуықтау – Гильберт кеңістігін шекті өлшемге дейін қысқарту, содан кейін Шредингер теңдеуін нақты симметриялық немесе кешенді Гермиттік матрицаның өзіндік мән мәселесі ретінде қоюға болады. Бұл жуықтау формальды түрде төменнен шектелген Гамильтондықтар үшін жарамды вариациялық принципке негізделген. Бірінші реттік бұзылыс теориясы да дегенеративті күйлер үшін матрицалық өзіндік мән мәселесіне алып келеді.