Уильям Роуэн Гамильтон: Жизнь и научные достижения.

Введение

Ирландский математик и астроном (1805–1865)

Сэр Уильям Роуэн Гамильтон MRIA, FRAS (3/4 августа 1805 – 2 сентября 1865) был ирландским математиком, астрономом и физиком. Он занимал должность профессора астрономии в Тринити-колледже (Дублин) и был Королевским астрономом Ирландии, проживая в обсерватории Дансинк. Гамильтон был третьим директором Дансинка, работая там с 1827 по 1865 год. Его научная деятельность включала изучение геометрической оптики, анализа Фурье и кватернионов, благодаря последним из которых он стал одним из основоположников современной линейной алгебры. Говорят, что Гамильтон проявил выдающиеся способности в раннем возрасте. Его дядя отмечал, что Гамильтон с юных лет обладал необычайной способностью к изучению языков, – утверждение, которое оспаривается некоторыми историками, полагающими, что его знания языков были лишь базовыми. К семи годам он уже добился успехов в иврите, а к тринадцати годам, под руководством дяди, овладел дюжиной языков: классическими и современными европейскими языками, персидским, арабским, хинди, санскритом, маратхи и малайским. Акцент на изучении языков в раннем образовании Гамильтона объясняется желанием его отца, стремившегося обеспечить ему трудоустройство в Британской Ост-Индской компании. Будучи виртуозным счетоводом, молодой Гамильтон был способен выполнять сложные вычисления с высокой точностью. В сентябре 1813 года в Дублине демонстрировался американский феномен вычислений Зерах Колберн. Колберну было девять лет, на год больше, чем Гамильтону. Их состязали в ментальном арифметическом конкурсе, в котором Колберн одержал явную победу. В десять лет он случайно обнаружил латинский экземпляр «Начал» Евклида, а в двенадцать лет изучал «Универсальную арифметику» Ньютона. К шестнадцати годам он уже освоил значительную часть «Математических начал натуральной философии» Ньютона, а также некоторые современные работы по аналитической геометрии и дифференциальному исчислению. В июле 1823 года Гамильтон поступил в Тринити-колледж (Дублин) по результатам экзаменов в возрасте 17 лет. Его наставником был Чарльз Бойтон, друг семьи. Джон Бринкли, говоря о преждевременно развитом Гамильтоне, заметил: «Этот молодой человек, я не скажу станет, но уже является первым математиком своего поколения». Колледж присудил Гамильтону два высших балла – максимально возможные оценки – по греческому языку и физике. Он был лучшим по всем предметам и на всех экзаменах. Ожидалось, что он получит дополнительные студенческие награды, но его обучение в университете было прервано. Гамильтон еще был студентом, когда в 1827 году его назначили на вакантные должности, оставшиеся после ухода Бринкли: профессора астрономии Эндрюса и Королевского астронома Ирландии. В тот же период его дядя познакомил его с семьей Диснеев в поместье Саммерхилл-Хаус, графство Мит. Сыновья Диснеев учились в Тринити-колледже, и у Гамильтона были друзья среди них. В Саммерхилле он встретил Кэтрин Дисней, их сестру. Гамильтон был очарован Кэтрин Дисней, но ее семья не одобрила этот союз, и Кэтрин была вынуждена выйти замуж за преподобного Уильяма Барлоу, брата мужа ее старшей сестры. Свадьба состоялась в 1825 году. В 1826 году Гамильтон написал о своих чувствах к ней в объемном стихотворении «Энтузиаст». Более чем через двадцать лет, в 1847 году, он признался Джону Гершелю, что в тот период он мог бы стать поэтом.

Sir William Rowan Hamilton MRIA, FRAS (3/4 August 1805 – 2 September 1865) was an Irish mathematician, astronomer, and physicist. He was the Andrews Professor of Astronomy at Trinity College Dublin, and Royal Astronomer of Ireland, living at Dunsink Observatory. Hamilton was Dunsink's third director, having worked there from 1827 to 1865. His career included the study of geometrical optics, Fourier analysis, and quaternions, the last of which made him one of the founders of modern linear algebra. Hamilton is said to have shown talent at an early age. His uncle observed that Hamilton, from a young age, had displayed an uncanny ability to acquire languages — a claim which has been disputed by some historians, who claim he had only a basic understanding of them. At the age of seven, he had already made progress in Hebrew, and before he was 13, he had acquired, under the care of his uncle, a dozen languages: classical and modern European languages, Persian, Arabic, Hindustani, Sanskrit, Marathi and Malay. The emphasis of Hamilton's early education on languages is attributed to the wish of his father to see him employed by the British East India Company. An expert mental calculator, the young Hamilton was capable of working out some calculations to many decimal places. In September 1813, the American calculating prodigy Zerah Colburn was being exhibited in Dublin. Colburn was 9, a year older than Hamilton. The two were pitted against each other in a mental arithmetic contest, with Colburn emerging as the clear victor. At age ten, he stumbled across a Latin copy of Euclid; and at twelve he studied Newton's Arithmetica Universalis. By age 16, he had covered much of the Principia, as well as some more recent works on analytic geometry and differential calculus. In July of 1823, Hamilton earned a place at Trinity College Dublin by examination, at age 17. His tutor there was Charles Boyton, a family friend, John Brinkley remarked of the precocious Hamilton, "This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age." The college awarded Hamilton two optimes, or off the chart grades, in Greek and in physics. He was first in every subject and at every examination. He was expected to win further student honours, but his undergraduate career was curtailed. Hamilton was still an undergraduate, when he was appointed in 1827 to the vacant posts left by Brinkley's departure, Andrews Professor of Astronomy and Royal Astronomer of Ireland. During the same period, his uncle introduced him to the Disney family at Summerhill House, County Meath. The Disney sons attended Trinity College, and Hamilton had friends among them. At Summerhill, he met Catherine Disney, their sister. Hamilton was attracted to Catherine Disney, but her family did not approve and Catherine was required to marry the Rev. William Barlow, a brother of her elder sister's husband. The wedding took place in 1825. Hamilton wrote in 1826 about his feelings for her in an extended poem, "The Enthusiast". Over twenty years later, in 1847, he confided in John Herschel that during this period he might have become a poet.

В Дунсинке

Гамильтон, ставший Королевским астрономом Ирландии, поселился в обсерватории Дансинк, где и прожил остаток своей жизни. В первые годы работы в Дансинке Гамильтон довольно регулярно наблюдал за небесными светилами, но затем передал рутинные наблюдения своему помощнику Чарльзу Томпсону. Сестры Гамильтона также оказывали поддержку работе обсерватории. Фелисия Хеманс написала стихотворение "Молитва одинокого студента", вдохновившись одной из его лекций.

Личная жизнь, путешествия и поэтические визиты

Гамильтон пригласил своих четырех сестер жить в обсерватории в 1827 году, и они вели домашнее хозяйство до его женитьбы в 1833 году. Среди них была поэтесса Элиза Мэри Гамильтон (1807–1851). Будучи недавно назначенным в обсерваторию, Гамильтон отправился в турне по Ирландии и Англии с Александром Ниммо, который обучал его определению широты и долготы. Они посетили школу Сары Лоуренс в Гейтэкре, недалеко от Ливерпуля, где у Гамильтона была возможность оценить навыки калькулятора Мастера Ноакса. В сентябре того же года они навестили Уильяма Вордсворта в Ридаль-Маунт, где также присутствовал Цезарь Отуэй. После этого визита Гамильтон отправил Вордсворту множество стихотворений, став его "поэтическим учеником". Когда Вордсворт посетил Дублин летом 1829 года в компании Джона Маршалла и его семьи, он остановился в Дунсинке у Гамильтона. В 1832 году Гамильтон посетил Сэмюэля Тейлора Колриджа в Хайгейте, чему способствовало неожиданное письмо с рекомендацией, которое Сара Лоуренс дала ему во время визита в Ливерпуль в марте того же года. Он также нанес визит вместе с Арабеллой семье Уильяма Роско, скончавшегося в 1831 году.

Семья

Во время учебы в Тринити-колледже Гамильтон сделал предложение сестре своего друга, отказ которой поверг молодого Гамильтона в депрессию и болезнь, доведя его до грани самоубийства. В 1831 году он вновь сделал предложение Эллен де Вер, сестре поэта Обри Де Вер (1814–1902), которая также отказала ему. Семейная жизнь Гамильтона оказалась трудной и несчастливой, поскольку Бейли была набожной, робкой, пугливой и страдала хроническими болезнями. Он похоронен на кладбище Маунт-Джером в Дублине.

Физика

Гамильтон внес выдающийся вклад в классическую механику и оптику. Его первое открытие было представлено в ранней работе, которую он передал в 1823 году Джону Бринкли, который представил ее под названием «Caustics» в 1824 году в Королевской ирландской академии. Работа была, как обычно, передана в комитет, который рекомендовал дальнейшую разработку и упрощение перед публикацией. В период с 1825 по 1828 год работа была расширена и стала более ясным изложением нового метода. В 1827 году Гамильтон представил теорию единой функции, ныне известную как главная функция Гамильтона, объединяющую механику и оптическую теорию. Это помогло заложить основы волновой теории света в математической физике. Он предложил ее, когда впервые предсказал ее существование в третьем приложении к своей «Системе лучей», представленной для чтения в 1832 году. Статья для Королевской ирландской академии в итоге получила название «Теория систем лучей» (23 апреля 1827 года), а первая часть была опубликована в 1828 году в Transactions of the Royal Irish Academy. Более значимое содержание второй и третьей частей появилось в трех объемных приложениях (к первой части), опубликованных в тех же Transactions, а также в двух статьях «Об общем методе в динамике», опубликованных в Philosophical Transactions в 1834 и 1835 годах. В этих статьях Гамильтон развил свой центральный принцип «Вариационного действия». Результатом этой работы стало предсказание для прозрачных двуосевых кристаллов (то есть моноклинных, орторомбических или триклинических кристаллов). Луч света, входящий в такой кристалл под определенным углом, выходил бы в виде полого конуса лучей. Это открытие получило название конического преломления. Существует базовое математическое объяснение этого явления, заключающееся в том, что волновая поверхность не является границей выпуклого тела. Более полное понимание пришло с микролокальным анализом середины XX века. Переход от оптики к динамике в применении метода «Вариационного действия» был сделан в 1827 году и сообщен Королевскому обществу, в Philosophical Transactions которого за 1834 и 1835 годы опубликованы две статьи на эту тему.

Hamilton made outstanding contributions to classical mechanics and optics. His first discovery was in an early paper that he communicated in 1823 to John Brinkley, who presented it under the title of Caustics in 1824 to the Royal Irish Academy. It was referred as usual to a committee, which recommended further development and simplification before publication. Between 1825 and 1828 the paper was expanded, and became a clearer exposition of a novel method. In 1827, Hamilton presented a theory of a single function, now known as Hamilton's principal function, that brings together mechanics and optical theory. It helped to establish the foundations of the wave theory of light in mathematical physics. He proposed it when he first predicted its existence in the third supplement to his Systems of Rays, read in 1832. The Royal Irish Academy paper was finally entitled Theory of Systems of Rays (23 April 1827), and the first part was printed in 1828 in the Transactions of the Royal Irish Academy. The more important contents of the second and third parts appeared in the three voluminous supplements (to the first part) which were published in the same Transactions, and in the two papers On a General Method in Dynamics, which appeared in the Philosophical Transactions in 1834 and 1835. In these papers, Hamilton developed his central principle of "Varying Action". A result of this work is a prediction for transparent biaxial crystals (i. e. monoclinic, orthorhombic or triclinic crystals). A ray of light entering such a crystal at a certain angle would emerge as a hollow cone of rays. This discovery was known as conical refraction. There is a basic mathematical explanation of the phenomenon, namely that the wave surface is not the boundary of a convex body. A fuller understanding awaited the microlocal analysis of the middle of the 20th century,

The step from optics to dynamics in the application of the method of "Varying Action" was made in 1827, and communicated to the Royal Society, in whose Philosophical Transactions for 1834 and 1835 there are two papers on the subject.

Контекст и значение работы

Гамильтонова механика была мощным новым методом для работы с уравнениями движения. Достижения Гамильтона расширили класс механических задач, которые могли быть решены. Его принцип "вариационного действия" основывался на вариационном исчислении, относясь к общему классу задач, включенных в принцип наименьшего действия, который ранее изучали Пьер Луи Мопертуи, Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и другие. Анализ Гамильтона обнаружил более глубокую математическую структуру, чем было известно ранее, в частности, симметрию между импульсом и координатой. Гамильтону также принадлежит заслуга открытия того, что сейчас называется лагранжианом и уравнениями Лагранжа. Как лагранжева механика, так и гамильтоновский подход оказались важными при изучении непрерывных классических систем в физике и квантовых механических систем: эти методы находят применение в электромагнетизме, квантовой механике, теории относительности и квантовой теории поля. В "Словаре ирландской биографии" Дэвид Спирман пишет:

"Формулировка, разработанная им для классической механики, оказалась в равной степени подходящей для квантовой теории, развитию которой она способствовала. Гамильтоновский формализм не устаревает; новые идеи продолжают находить в нем наиболее естественную среду для своего описания и развития, а функция, ныне известная как гамильтониан, является отправной точкой для вычислений практически в любой области физики." Многие ученые, включая Лиувилля, Якоби, Дарбу, Пуанкаре, Колмогорова, Пригожина и Арнольда, развили работы Гамильтона в области механики, дифференциальных уравнений и симплектической геометрии.

Математика

Математические исследования Гамильтона, по-видимому, были начаты и доведены до полного развития без соавторства, а его работы не принадлежат ни к какой конкретной научной школе. Университетские власти, избравшие его профессором астрономии, предоставили ему полную свободу в использовании своего времени для развития науки, без каких-либо ограничений. Гамильтон искал способы расширения понятия комплексных чисел (которые можно представить как точки на двухмерной диаграмме Арганда) на пространства более высоких размерностей. Работая с четырьмя, а не с тремя измерениями, он создал алгебру кватернионов. По словам Гамильтона, 16 октября он прогуливался с женой вдоль Королевского канала в Дублине, когда его осенило решение в виде уравнения; Гамильтон тут же выгравировал это уравнение своим перочинным ножом на боковой стороне расположенного поблизости моста Брум (который Гамильтон называл мостом Броугэма).

Другие математические работы

Гамильтон изучал решение квинтики в теории уравнений, исследуя результаты, полученные Нильсом Хенриком Абелем, Джорджем Джеррардом и другими исследователями. Существует статья Гамильтона о флуктуационных функциях в анализе Фурье и изобретение ходографа. Из его исследований решений, особенно с использованием численного приближения, определенных классов физически важных дифференциальных уравнений, лишь части были опубликованы отдельными выпусками в журнале Philosophical Magazine. Первая награда, полученная им в 1834 году, была присуждена за работу о коническом преломлении, за которую он также получил Королевскую медаль Королевского общества в следующем году. Он был удостоен этой награды вновь в 1848 году. В 1835 году, будучи секретарем заседания Британской ассоциации, проходившего в Дублине, Гамильтон был посвящен в рыцари лордом-лейтенантом. Вскоре последовали и другие награды, в том числе его избрание в 1837 году президентом Королевской ирландской академии и редкая честь быть избранным членом-корреспондентом Санкт-Петербургской академии наук. Позднее, в 1864 году, недавно основанная Национальная академия наук США избрала своих первых иностранных членов и решила поместить имя Гамильтона в начало своего списка.

Наследие

Плакету под мостом Брум, связанную с открытием кватернионов, открыл Эмон де Валера 13 ноября 1958 года. С 1989 года Национальный университет Ирландии в Мейнуте организует паломничество под названием «Прогулка Гамильтона», в ходе которого математики совершают прогулку от обсерватории Дансинк до моста, где не осталось следов резьбы, хотя каменная табличка все же отмечает это открытие. Институт Гамильтона – это научно-исследовательский институт прикладной математики при Университете Мейнута, а Королевская ирландская академия ежегодно проводит публичную лекцию памяти Гамильтона, на которой выступали Мюррей Гелл-Манн, Фрэнк Вильчек, Эндрю Уайлс и Тимоти Говерс. 2005 год был 200-летием со дня рождения Гамильтона, и правительство Ирландии объявило его Годом Гамильтона, посвященным ирландской науке. Тринити-колледж в Дублине отметил этот год открытием Института математики Гамильтона. В 1943 году Ирландия выпустила две памятные марки в ознаменование столетия объявления об открытии кватернионов. В 2005 году Центральный банк Ирландии выпустил памятную серебряную монету номиналом 10 евро в честь 200-летия со дня его рождения.

Праздники

Уравнения Гамильтона — это формулировка классической механики. Множество других понятий и объектов в механике, таких как принцип Гамильтона, главная функция Гамильтона, уравнение Гамильтона — Якоби, теорема Кэли — Гамильтона, названы в честь Гамильтона. Гамильтониан — это название как функции (классической), так и оператора (квантовой) в физике, а также, в другом смысле, термин из теории графов. Алгебра кватернионов обычно обозначается буквой «H» или полужирным шрифтом на доске, в честь Гамильтона. Здание Гамильтона в Тринити-колледже в Дублине названо в его честь.

В литературе

Некоторые современные математики полагают, что труд Гамильтона по кватернионам был высмеян Чарльзом Латвиджем Доджсоном в книге «Алиса в Стране чудес». В частности, чаепитие у Безумного Шляпника должно было символизировать абсурдность кватернионов и необходимость возврата к евклидовой геометрии. В сентябре 2022 года были представлены доказательства, опровергающие это предположение, которое, по всей видимости, основывалось на неверном понимании как самих кватернионов, так и их истории.

Семья

Гамильтон женился на Хелен Бейли, дочери преподобного Генри Бейли, ректора Ненега, графства Типперэри, в 1833 году; она была сестрой людей, живших по соседству с обсерваторией. Хелен долгое время оставалась со своей вдовствующей матерью на ферме Бейли в Ненеге, до её смерти в 1837 году. Она также часто отсутствовала в Дунсинке, гостила у сестер, на протяжении большей части времени с 1840 по 1842 год. Сообщается, что семейная жизнь Гамильтона была нелегкой. В тревожный период начала 1840-х годов его сестра Сидни вела домашнее хозяйство; когда Хелен вернулась, он почувствовал себя счастливее, оправившись от некоторой подавленности.