Эдуард Waring: Жизнь и математические труды

Введение

Эдвард Уоринг (ок. 1736 — 15 августа 1798) — британский математик. Он поступил в колледж Магдалины Кембриджского университета в качестве сизара и стал старшим вра́нглером в 1757 году. Он был избран членом (феллоу) колледжа Магдалины, а в 1760 году занял должность Лукасовского профессора математики, оставаясь на этом посту до самой смерти. В своих трудах «Meditationes Algebraicae» он сформулировал утверждение, известное как проблема Уоринга, не предоставив доказательства. Уоринг был избран членом Королевского общества в 1763 году и удостоен медали Копли в 1784 году.

Ранние годы

Уоринг был старшим сыном Джона и Элизабет Уоринг, состоятельной фермерской семьи. Он получил начальное образование в Шрусберийской школе под руководством мистера Хотчкина и был принят в качестве сизара в Колледж Магдалины, Кембридж, 24 марта 1753 года, а также стал стипендиатом Миллингтона. Его выдающиеся способности к математике были замечены еще в ранние годы обучения в Кембридже. В 1757 году он окончил бакалавриат с отличием как старший оппонент, а 24 апреля 1758 года был избран членом (феллоу) Колледжа Магдалины.

Работа

Уоринг написал ряд статей в "Философских транзакциях Королевского общества", посвященных решению алгебраических уравнений, теории чисел, рядам, приближению корней, интерполяции, геометрии конических сечений и динамике. *Meditationes Algebraicae* (1770), где многие результаты, опубликованные в *Miscellanea Analytica*, были переработаны и расширены, был описан Джозефом Луи Лагранжем как «работа, полная превосходных исследований». В этой работе Уоринг опубликовал множество теорем, касающихся решения алгебраических уравнений, которые привлекли внимание континентальных математиков, но его лучшие результаты относятся к теории чисел. В эту работу вошла так называемая гипотеза Гольдбаха (каждое четное целое число является суммой двух простых чисел), а также следующая гипотеза: каждое нечетное целое число является простым или суммой трех простых чисел. Лагранж доказал, что каждое положительное целое число является суммой не более четырех квадратов; Уоринг предположил, что каждое положительное целое число является либо кубом, либо суммой не более девяти кубов. Он также выдвинул гипотезу, что каждое положительное целое число является либо биквадратом (четвертой степенью), либо суммой не более девятнадцати биквадратов. Эти гипотезы образуют то, что известно как проблема Уоринга. Он также опубликовал теорему, основанную на работах своего друга Джона Уилсона, относительно простых чисел; позже она была строго доказана Лагранжем. В *Proprietates Algebraicarum Curvarum* (1772) Уоринг переиздал в значительно пересмотренной форме первые четыре главы второй части *Miscellanea Analytica*. Он посвятил себя классификации кривых высшего порядка, улучшив результаты, полученные Исааком Ньютоном, Джеймсом Стирлингом, Леонардом Эйлером и Габриэлем Крамером. В 1794 году он опубликовал несколько экземпляров философского труда под названием «Очерк о принципах человеческого знания», которые были распространены среди его друзей. Математический стиль Уоринга весьма аналитичен. Фактически, он критиковал британских математиков, которые слишком строго придерживались геометрии. Показательно, что он был одним из подписчиков «Остаточного анализа» Джона Ландена (1764), одной из работ, в которой традиция ньютоновского флюкционного исчисления подверглась более жесткой критике. В предисловии к *Meditationes Algebraicae* Уоринг продемонстрировал хорошее знание континентальных математиков, таких как Алексис Клер, Жан Ле Ронд д’Алембер и Эйлер. Он сожалел о том, что в Великобритании математика культивировалась с меньшим интересом, чем на континенте, и явно хотел, чтобы его считали столь же значимой фигурой, как великие имена в континентальной математике — нет сомнений, что он читал их работы на уровне, которого не достигал ни один другой британский математик восемнадцатого века. Наиболее примечательно, что в конце третьей главы *Meditationes Algebraicae* Уоринг представляет некоторые частные флюкционные уравнения (частные дифференциальные уравнения в терминологии Лейбница); такие уравнения являются важным математическим инструментом в изучении непрерывных тел, который почти полностью игнорировался в Великобритании до исследований Уоринга. Одним из самых интересных результатов в *Meditationes Algebraicae* является критерий сходимости рядов, обычно приписываемый Д’Алемберту (критерий отношения). Теория сходимости рядов (целью которой является установление условий, при которых сумма бесконечного числа членов может считаться конечной) не получила значительного развития в восемнадцатом веке. Работа Уоринга была известна как в Великобритании, так и на континенте, но трудно оценить его влияние на развитие математики. Его работа по алгебраическим уравнениям, содержащаяся в *Miscellanea Analytica*, была переведена на итальянский язык Винченцо Риккати в 1770 году. Стиль Уоринга не систематичен, а его изложение часто неясно. Похоже, что он никогда не читал лекций и не поддерживал регулярную переписку с другими математиками. После того как Жером Лаланд в 1796 году отметил в *Notice sur la vie de Condorcet*, что в 1764 году в Англии не было ни одного аналитика первого класса, ответ Уоринга, опубликованный после его смерти как «Оригинальное письмо доктора Уоринга» в *Monthly Magazine*, утверждал, что он представил «от трех до четырехсот новых предложений того или иного рода».

Waring wrote a number of papers in the Philosophical Transactions of the Royal Society, dealing with the resolution of algebraic equations, number theory, series, approximation of roots, interpolation, the geometry of conic sections, and dynamics. The Meditationes Algebraicae (1770), where many of the results published in Miscellanea Analytica were reworked and expanded, was described by Joseph Louis Lagrange as 'a work full of excellent researches'. In this work Waring published many theorems concerning the solution of algebraic equations which attracted the attention of continental mathematicians, but his best results are in number theory. Included in this work was the so called Goldbach conjecture (every even integer is the sum of two primes), and also the following conjecture: every odd integer is a prime or the sum of three primes. Lagrange had proved that every positive integer is the sum of not more than four squares; Waring suggested that every positive integer is either a cube or the sum of not more than nine cubes. He also advanced the hypothesis that every positive integer is either a biquadrate (fourth power) or the sum of not more than nineteen biquadrates. These hypotheses form what is known as Waring's problem. He also published a theorem, due to his friend John Wilson, concerning prime numbers; it was later proven rigorously by Lagrange. In Proprietates Algebraicarum Curvarum (1772) Waring reissued in a much revised form the first four chapters of the second part of Miscellanea Analytica. He devoted himself to the classification of higher plane curves, improving results obtained by Isaac Newton, James Stirling, Leonhard Euler, and Gabriel Cramer. In 1794 he published a few copies of a philosophical work entitled An Essay on the Principles of Human Knowledge, which were circulated among his friends. Waring's mathematical style is highly analytical. In fact he criticised those British mathematicians who adhered too strictly to geometry. It is indicative that he was one of the subscribers of John Landen's Residual Analysis (1764), one of the works in which the tradition of the Newtonian fluxional calculus was more severely criticised. In the preface of Meditationes Analyticae Waring showed a good knowledge of continental mathematicians such as Alexis Clairaut, Jean le Rond d'Alembert, and Euler. He lamented the fact that in Great Britain mathematics was cultivated with less interest than on the continent, and clearly desired to be considered as highly as the great names in continental mathematics—there is no doubt that he was reading their work at a level never reached by any other eighteenth century British mathematician. Most notably, at the end of chapter three of Meditationes Analyticae Waring presents some partial fluxional equations (partial differential equations in Leibnizian terminology); such equations are a mathematical instrument of great importance in the study of continuous bodies which was almost completely neglected in Britain before Waring's researches. One of the most interesting results in Meditationes Analyticae is a test for the convergence of series generally attributed to d'Alembert (the 'ratio test'). The theory of convergence of series (the object of which is to establish when the summation of an infinite number of terms can be said to have a finite 'sum') was not much advanced in the eighteenth century. Waring's work was known both in Britain and on the continent, but it is difficult to evaluate his impact on the development of mathematics. His work on algebraic equations contained in Miscellanea Analytica was translated into Italian by Vincenzo Riccati in 1770. Waring's style is not systematic and his exposition is often obscure. It seems that he never lectured and did not habitually correspond with other mathematicians. After Jérôme Lalande in 1796 observed, in Notice sur la vie de Condorcet, that in 1764 there was not a single first rate analyst in England, Waring's reply, published after his death as 'Original letter of Dr Waring' in the Monthly Magazine, stated that he had given 'somewhere between three and four hundred new propositions of one kind or another'.

Смерть

В последние годы жизни он погрузился в глубокую религиозную меланхолию, а сильная простуда стала причиной его смерти в Плеали 15 августа 1798 года. Он был похоронен на церковном кладбище в Фитце, Шропшир.