Введение

Линия, образованная действительными числами – математическая концепция.

В элементарной математике числовая прямая представляет собой изображение градуированной прямой линии, служащее визуальным представлением действительных чисел. Каждая точка числовой прямой считается соответствующей действительному числу, и каждому действительному числу – точке. Целые числа часто изображаются как специально отмеченные точки, равномерно расположенные на прямой. Хотя на изображении обычно показаны только целые числа от -3 до 3, прямая включает в себя все действительные числа, простираясь бесконечно в обоих направлениях, а также числа между целыми числами. Она часто используется в качестве вспомогательного средства при обучении простому сложению и вычитанию, особенно с отрицательными числами. В высшей математике числовую прямую можно называть действительной прямой или прямой действительных чисел, формально определяемой как множество 'R' всех действительных чисел. Она рассматривается как геометрическое пространство, а именно реальное координатное пространство размерности один или евклидово пространство размерности один – евклидова прямая. Её также можно рассматривать как векторное пространство (или аффинное пространство), метрическое пространство, топологическое пространство, пространство с мерой или линейный континуум. Как и множество действительных чисел, действительная прямая обычно обозначается символом 'R' (или альтернативно, 𝕅, буквой "R" написанной жирным шрифтом на доске). Однако иногда она обозначается как R^(1) или E^(1), чтобы подчеркнуть её роль как первого реального пространства или первого евклидова пространства.

История

Первое упоминание о числовой прямой, используемой в операциях, содержится в "Трактате об алгебре" Джона Уоллиса. В своем трактате Уоллис описывает сложение и вычитание на числовой прямой как движение вперед и назад, используя метафору идущего человека. Однако более раннее изображение, не связанное с операциями, можно найти в работе Джона Нейпера "Описание восхитительной таблицы логарифмов", где значения от 1 до 12 представлены в ряд слева направо. Вопреки распространенному мнению, в оригинальной "Геометрии" Рене Декарта отсутствует числовая прямая в том виде, в котором мы используем ее сегодня, хотя в ней и используется система координат. В частности, в работе Декарта нет конкретных чисел, сопоставленных линиям, представлены лишь абстрактные величины.

Нарисуем числовую прямую

Числовая прямая обычно изображается горизонтально, но в декартовой координатной плоскости вертикальная ось (ось y) также является числовой прямой. Согласно принятому соглашению, положительные числа всегда расположены справа от нуля, отрицательные – слева от нуля, а стрелки на обоих концах прямой указывают на то, что она простирается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях. Другое соглашение использует только одну стрелку, обозначающую направление возрастания чисел. Прямая простирается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях в соответствии с геометрическими правилами, определяющими линию без конечных точек как бесконечную прямую, линию с одной конечной точкой как луч, а линию с двумя конечными точками как отрезок.

Сравнение цифр

Если конкретное число находится дальше справа на числовой прямой, чем другое число, то первое число больше второго (эквивалентно, второе число меньше первого). Расстояние между ними – это величина их разности, то есть она измеряет первое число минус второе, или, эквивалентно, абсолютную величину второго числа минус первого. Нахождение этой разности – это процесс вычитания. Таким образом, например, длина отрезка прямой между 0 и каким-либо другим числом представляет величину этого числа. Два числа можно сложить, «подняв» длину от 0 до одного из чисел и опустив её снова, поместив конец, который был в 0, поверх другого числа. Два числа можно умножить, как в этом примере: чтобы умножить 5 × 3, заметим, что это то же самое, что 5 + 5 + 5, поэтому возьмём длину от 0 до 5 и поместим её справа от 5, а затем снова возьмём эту длину и поместим её справа от предыдущего результата. Это даёт результат, состоящий из 3 объединённых длин по 5 каждая; поскольку процесс заканчивается на 15, мы находим, что 5 × 3 = 15. Деление можно выполнить, как в следующем примере: чтобы разделить 6 на 2 – то есть, чтобы узнать, сколько раз 2 содержится в 6 – заметим, что длина от 0 до 2 лежит в начале длины от 0 до 6; «поднимем» прежнюю длину и опустим её снова вправо от её первоначального положения, поместив конец, который ранее был в 0, теперь на 2, а затем снова переместим длину вправо от её последнего положения. Это ставит правый конец длины 2 в правый конец длины от 0 до 6. Поскольку три длины по 2 заполняют длину 6, 2 содержится в 6 три раза (то есть 6 ÷ 2 = 3).

Части числовой прямой

Секция числовой прямой между двумя числами называется интервалом. Если эта секция включает оба числа, она называется замкнутым интервалом, а если исключает оба числа – открытым интервалом. Если она включает одно из чисел, но не включает другое, то это полуоткрытый интервал. Все точки, простирающиеся бесконечно в одном направлении от заданной точки, вместе называются лучом. Если луч включает заданную точку, он называется замкнутым лучом; в противном случае – открытым лучом.

Логарифмическая шкала

На числовой прямой расстояние между двумя точками равно единице длины тогда и только тогда, когда разность представленных чисел равна 1. Возможны и другие варианты. Один из наиболее распространенных – логарифмическая шкала, представляющая положительные числа на прямой таким образом, что расстояние между двумя точками равно единице длины, если отношение представленных чисел постоянно, обычно равно 10. В такой логарифмической шкале начало координат представляет число 1; на один дюйм правее находится 10, на один дюйм правее от 10 – 1 = 10 × 10 = 100, затем 1 = 10 × 100 = 1000 = 10³, затем 1 = 10 × 1000 = 10 000 = 10⁴ и так далее. Аналогично, на один дюйм левее от 1 находится 1 = 1/10 = 10⁻¹, затем 1 = 1/100 = 10⁻², и так далее. Этот подход полезен, когда необходимо представить на одном графике значения с очень разными порядками величин. Например, логарифмическая шкала требуется для одновременного представления размеров различных тел, существующих во Вселенной, таких как фотон, электрон, атом, молекула, человек, Земля, Солнечная система, галактика и видимая Вселенная. Логарифмические шкалы используются в логарифмических линейках для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длин на логарифмических шкалах.

Сочетание числовых строк

Линия, проведённая через начало координат под прямым углом к действительной числовой оси, может быть использована для представления мнимых чисел. Эта линия, называемая мнимой осью, расширяет числовую прямую до комплексной плоскости, где точки представляют комплексные числа. Альтернативно, можно нарисовать горизонтальную действительную числовую ось для обозначения возможных значений одной действительной переменной, обычно обозначаемой как x, и вертикальную действительную числовую ось для обозначения возможных значений другой действительной переменной, обычно обозначаемой как y. Вместе эти оси образуют так называемую декартову систему координат, и каждая точка на плоскости представляет значение пары действительных чисел. Более того, сама декартова система координат может быть расширена путем визуализации третьей числовой оси, "выходящей из экрана (или страницы)", для измерения третьей переменной z. Положительные числа находятся ближе к глазам наблюдателя, чем экран, а отрицательные числа – "за экраном"; большие числа находятся дальше от экрана. Таким образом, любая точка в трехмерном пространстве, в котором мы живем, представляет значения тройки действительных чисел.

Как линейный континуум

Реальная прямая является линейным континуумом относительно стандартного отношения порядка <. В частности, реальная прямая линейно упорядочена отношением <, и это упорядочение плотно и обладает свойством наименьшей верхней границы. Помимо указанных свойств, реальная прямая не имеет наибольшего и наименьшего элементов. Она также содержит счётное плотное подмножество, а именно множество рациональных чисел. Существует теорема, утверждающая, что любой линейный континуум со счётным плотным подмножеством и не имеющий наибольшего и наименьшего элементов, изоморфен по порядку реальной прямой. Реальная прямая также удовлетворяет условию счётной цепи: любое множество попарно непересекающихся, непустых открытых интервалов в R счётно. В теории порядка известная проблема Суслина ставит вопрос о том, является ли любой линейный континуум, удовлетворяющий условию счётной цепи и не имеющий наибольшего и наименьшего элементов, обязательно изоморфным по порядку R. Это утверждение было показано независимым от стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как ZFC.

Как топологическое пространство

Реальная линия обладает стандартной топологией, которую можно ввести двумя различными, эквивалентными способами. Во-первых, поскольку действительные числа полностью упорядочены, они несут топологию порядка. Во-вторых, действительные числа наследуют метрическую топологию от метрики, заданной выше. Топология порядка и метрическая топология на ℝ совпадают. Как топологическое пространство, реальная прямая гомеоморфна открытому интервалу (0, 1). Реальная прямая тривиально является топологическим многообразием размерности 1. С точностью до гомеоморфизма, она является одним из двух различных связных 1-многообразий без границы, другим из которых является окружность. Она также имеет стандартную дифференцируемую структуру, что делает её дифференцируемым многообразием. (С точностью до диффеоморфизма, существует только одна дифференцируемая структура, которую поддерживает данное топологическое пространство.) Реальная прямая является локально компактным и паракомпактным пространством, а также обладает свойством счётной второй аксиомы компактности и является нормальным пространством. Она также является путь-связной, и, следовательно, связной, хотя её можно разъединить, удалив любую одну точку. Реальная прямая также стягиваема, и, как следствие, все её гомотопические и редуцированные гомологические группы равны нулю. Как локально компактное пространство, реальная прямая может быть компактифицирована различными способами. Одноточечная компактификация ℝ представляет собой окружность (а именно, вещественную проективную прямую), и добавленную точку можно рассматривать как бесконечность без знака. Альтернативно, реальная прямая имеет два конца, и соответствующая компактификация по концам является расширенной вещественной прямой [−∞, +∞]. Существует также компактификация Стоуна — Чеха вещественной прямой, которая включает добавление бесконечного числа дополнительных точек. В некоторых контекстах полезно рассматривать другие топологии на множестве действительных чисел, такие как топология нижнего предела или топология Зариски. Для действительных чисел последняя совпадает с топологией конечного дополнения.

В качестве векторного пространства

Реальная прямая — это векторное пространство над полем ℝ действительных чисел (то есть над собой) размерности 1. В качестве внутреннего произведения в ней используется обычное умножение, что делает её евклидовым векторным пространством. Норма, определяемая этим внутренним произведением, — это просто абсолютная величина.

Как пространство измерения

Реальная прямая несет каноническую меру, а именно меру Лебега. Эта мера может быть определена как завершение борелевской меры, определенной на R, где мера любого интервала равна длине этого интервала. Мера Лебега на реальной прямой является одним из простейших примеров меры Гаара на локально компактной группе.