Введение

Операции над подмножествами множества, замыкания в общем случае. В математике подмножество данного множества называется замкнутым относительно операции, определенной на большем множестве, если применение этой операции к элементам подмножества всегда дает элемент, принадлежащий этому подмножеству. Например, натуральные числа замкнуты относительно сложения, но не замкнуты относительно вычитания: 1 − 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются натуральными числами. Аналогично, подмножество считается замкнутым относительно набора операций, если оно замкнуто относительно каждой из этих операций по отдельности. Замыкание подмножества – это результат применения оператора замыкания к этому подмножеству. Замыкание подмножества относительно некоторых операций – это наименьшее надмножество, которое замкнуто относительно этих операций. Оно часто называется оболочкой (например, линейной оболочкой) или порожденным множеством.

Определения

Пусть S – множество, снабжённое одним или несколькими способами получения элементов S из других элементов S. Подмножество X множества S называется замкнутым относительно этих способов, если при нахождении всех входных элементов в X, все возможные результаты также находятся в X. Иногда также говорят, что X обладает свойством замкнутости. Основное свойство замкнутых множеств, которое непосредственно следует из определения, заключается в том, что любое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Следовательно, для любого подмножества Y множества S существует наименьшее замкнутое подмножество X множества S, такое что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y). В зависимости от контекста, X называется замыканием Y или множеством, порождённым Y. Понятия замкнутых множеств и замыкания часто обобщаются на любое свойство подмножеств, устойчивое относительно пересечения; то есть, любое пересечение подмножеств, обладающих этим свойством, также обладает этим свойством. Например, замкнутое множество Зариски, также известное как алгебраическое множество, представляет собой множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зариски множества V точек – наименьшее алгебраическое множество, содержащее V.

В алгебраических структурах

Алгебраическая структура — это множество, снабжённое операциями, удовлетворяющими некоторым аксиомам. Эти аксиомы могут быть тождествами. Некоторые аксиомы могут содержать экзистенциальные кванторы, в этом случае целесообразно добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально квантифицированными формулами. Подробности см. в статье «Алгебраическая структура». В этом контексте, для алгебраической структуры S, подструктура S — это подмножество, замкнутое относительно всех операций S, включая вспомогательные операции, необходимые для избежания экзистенциальных кванторов. Подструктура является алгебраической структурой того же типа, что и S. Следовательно, в конкретном примере, когда замкнутость доказана, нет необходимости проверять аксиомы для доказательства того, что подмножество является структурой того же типа. Для подмножества X алгебраической структуры S замыкание X — это наименьшая подструктура S, замкнутая относительно всех операций S. В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, порождённой или натянутой X, и говорят, что X является порождающим множеством подструктуры. Например, группа — это множество с ассоциативной операцией, часто называемой умножением, с единичным элементом, таким, что каждый элемент имеет обратный элемент. Здесь вспомогательными операциями являются унарная операция, возвращающая единичный элемент, и операция взятия обратного. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и взятия обратного, также замкнуто относительно унарной операции (то есть содержит единичный элемент) тогда и только тогда, когда оно не пусто. Таким образом, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и взятия обратного, называется подгруппой. Подгруппа, порождённая одним элементом, то есть замыкание этого элемента, называется циклической группой. В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (относительно операций векторного пространства, то есть сложения и скалярного умножения) называется линейной оболочкой этого подмножества. Это векторное пространство в силу предыдущего общего результата, и можно легко доказать, что это множество линейных комбинаций элементов подмножества. Подобные примеры можно привести почти для каждой алгебраической структуры, иногда с определённой терминологией. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента относительно операций над идеалами называется главным идеалом.

Другие примеры

В теории матроидов, замыкание X — это наибольшее надмножество X, имеющее тот же ранг, что и X. Транзитивное замыкание множества. Алгебраическое замыкание поля. Целочисленное замыкание целочисленного домена в поле, содержащем его. Радикал идеала в коммутативном кольце. В геометрии, выпуклая оболочка множества точек S — это наименьшее выпуклое множество, содержащее S в качестве подмножества. В теории формальных языков, замыкание Клине языка можно описать как множество строк, которые можно получить, конкатенируя ноль или более строк из этого языка. В теории групп, сопряжённое замыкание или нормальное замыкание множества элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая это множество. В математическом анализе и теории вероятностей, замыкание семейства подмножеств X относительно счётного числа операций над множествами называется σ-алгеброй, порождённой этим семейством.

Оператор закрытия против закрытых множеств

Закрытие на подмножествах данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо множеством замкнутых множеств, устойчивым относительно пересечения и включающим данное множество. Эти два определения эквивалентны. Действительно, определяющие свойства оператора замыкания C подразумевают, что пересечение замкнутых множеств является замкнутым: если – пересечение замкнутых множеств, то оно должно содержать X и быть содержащимся в каждом из них. Это подразумевает по определению пересечения. Обратно, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания C таким образом, что является пересечением замкнутых множеств, содержащих X. Эта эквивалентность сохраняется для частично упорядоченных множеств, обладающих свойством наибольшей нижней границы, если заменить "замкнутые множества" на "замкнутые элементы", а "пересечение" на "наибольшую нижнюю границу".