Гравитационные сингулярности в общей теории относительности.

Введение

Ключевые результаты общей теории относительности о гравитационных сингулярностях

Теоремы о сингулярностях Пенроуза — Хокинга (в честь Роджера Пенроуза и Стивена Хокинга) — это совокупность результатов в общей теории относительности, призванных ответить на вопрос о том, когда гравитация приводит к образованию сингулярностей. Теорема о сингулярности Пенроуза является теоремой полуримановой геометрии, а её релятивистская интерпретация предсказывает гравитационную сингулярность при формировании чёрной дыры. Теорема о сингулярности Хокинга основана на теореме Пенроуза и интерпретируется как гравитационная сингулярность в условиях Большого взрыва. В 2020 году Пенроуз был удостоен Нобелевской премии по физике "за открытие того, что образование чёрных дыр является устойчивым предсказанием общей теории относительности", которую он разделил с Рейнхардом Генцелем и Андреа Гец.

Интерпретация и значение

В общей теории относительности сингулярность — это точка, которую объекты или лучи света могут достигнуть за конечное время, где кривизна пространства-времени становится бесконечной или само пространство-время перестает быть многообразием. Сингулярности встречаются во всех пространствах-времени, описывающих черные дыры, в метрике Шварцшильда, метрике Райсснера — Нордстрема, метрике Керра и метрике Керра — Ньюмана, а также во всех космологических решениях, не содержащих скалярного поля энергии или космологической постоянной. Невозможно предсказать, что может "возникнуть" из сингулярности Большого взрыва в нашем прошлом, или что произойдет с наблюдателем, "падающим" в сингулярность черной дыры в будущем, поэтому для их описания требуется модификация физических законов. До работ Пенроуза считалось, что сингулярности могут формироваться лишь в искусственно созданных ситуациях. Например, при коллапсе звезды в черную дыру, если звезда вращается и обладает угловым моментом, возможно, центробежная сила частично компенсирует гравитацию и предотвращает образование сингулярности. Теоремы о сингулярностях доказывают, что это невозможно, и что сингулярность всегда образуется после формирования горизонта событий. В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент лишь сильнее сжимает звезду: часть, находящаяся за пределами горизонта событий, в конечном итоге стабилизируется в черную дыру Керра (см. теорему об отсутствии волос). Часть внутри горизонта событий обязательно содержит сингулярность. Доказательство носит частично конструктивный характер: оно показывает, что сингулярность можно обнаружить, прослеживая пути световых лучей от поверхности, расположенной непосредственно внутри горизонта. Однако доказательство не указывает, сингулярность какого типа образуется — пространственно-подобную, временно-подобную, нулевую, орбитальную или представляющую собой скачок в метрике. Оно лишь гарантирует, что если следовать по времени-подобным геодезическим в будущее, то граница области, которую они образуют, не может быть сгенерирована нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница либо возникает из ниоткуда, либо будущее заканчивается на некотором конечном расширении. Интересная "философская" особенность общей теории относительности проявляется в теоремах о сингулярностях. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное возникновение сингулярностей, теория не является полной без указания того, что происходит с материей, достигающей сингулярности. Можно расширить общую теорию относительности до единой теории поля, например, системы Эйнштейна — Максвелла — Дирака, в которой подобные сингулярности не возникают.

In general relativity, a singularity is a place that objects or light rays can reach in a finite time where the curvature becomes infinite, or spacetime stops being a manifold. Singularities can be found in all the black hole spacetimes, the Schwarzschild metric, the Reissner–Nordström metric, the Kerr metric and the Kerr–Newman metric, and in all cosmological solutions that do not have a scalar field energy or a cosmological constant. One cannot predict what might come "out" of a big bang singularity in our past, or what happens to an observer that falls "in" to a black hole singularity in the future, so they require a modification of physical law. Before Penrose, it was conceivable that singularities only form in contrived situations. For example, in the collapse of a star to form a black hole, if the star is spinning and thus possesses some angular momentum, maybe the centrifugal force partly counteracts gravity and keeps a singularity from forming. The singularity theorems prove that this cannot happen, and that a singularity will always form once an event horizon forms. In the collapsing star example, since all matter and energy is a source of gravitational attraction in general relativity, the additional angular momentum only pulls the star together more strongly as it contracts: the part outside the event horizon eventually settles down to a Kerr black hole (see No hair theorem). The part inside the event horizon necessarily has a singularity somewhere. The proof is somewhat constructiveit shows that the singularity can be found by following light rays from a surface just inside the horizon. But the proof does not say what type of singularity occurs, spacelike, timelike, null, orbifold, jump discontinuity in the metric. It only guarantees that if one follows the time like geodesics into the future, it is impossible for the boundary of the region they form to be generated by the null geodesics from the surface. This means that the boundary must either come from nowhere or the whole future ends at some finite extension. An interesting "philosophical" feature of general relativity is revealed by the singularity theorems. Because general relativity predicts the inevitable occurrence of singularities, the theory is not complete without a specification for what happens to matter that hits the singularity. One can extend general relativity
to a unified field theory, such as the Einstein–Maxwell–Dirac system, where no such singularities occur.

Элементы теорем

В истории существует глубокая связь между кривизной многообразия и его топологией. Теорема Бонне — Майерса утверждает, что полное риманово многообразие, имеющее кривизну Риччи, всюду большую, чем некоторая положительная постоянная, должно быть компактным. Условие положительной кривизны Риччи наиболее удобно сформулировать следующим образом: для каждой геодезической существует близлежащая изначально параллельная геодезическая, которая будет отклоняться к ней при продолжении, и эти две геодезические пересекутся на конечном расстоянии. Когда две близлежащие параллельные геодезические пересекаются (см. конъюгированную точку), продолжение любой из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Это происходит потому, что два параллельных геодезических пути неизбежно сталкиваются после продолжения на одинаковую длину, и если следовать одному пути до точки пересечения, а затем другому, то соединение конечных точек будет осуществлено негеодезическим путем той же длины. Следовательно, чтобы геодезическая оставалась кратчайшим путем, она не должна пересекать соседние параллельные геодезические. Начиная с небольшой сферы и выпуская параллельные геодезические из ее границы, предполагая, что кривизна Риччи многообразия ограничена снизу положительной константой, ни одна из геодезических не будет кратчайшим путем через некоторое время, поскольку все они столкнутся с соседней. Это означает, что после определенного продолжения все потенциально новые точки будут достигнуты. Если все точки в связном многообразии находятся на конечном геодезическом расстоянии от маленькой сферы, то многообразие должно быть компактным. Роджер Пенроуз рассуждал аналогично в теории относительности. Если следовать нулевым геодезическим, путям световых лучей, в будущее, то генерируются точки в будущем данной области. Если точка находится на границе будущего области, то до нее можно добраться только со скоростью света, не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают в себя всю границу будущего области. Когда нулевые геодезические пересекаются, они больше не находятся на границе будущего, а оказываются внутри него. Таким образом, если все нулевые геодезические сталкиваются, то границы будущего не существует. В теории относительности кривизна Риччи, определяющая свойства столкновения геодезических, определяется тензором энергии, а ее проекция на световые лучи равна нулевой проекции тензора энергии-импульса и всегда неотрицательна. Это означает, что объем пучка параллельных нулевых геодезических, начав уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Как только объем станет равным нулю, произойдет коллапс в некотором направлении, и каждая геодезическая пересечет соседнюю. Пенроуз заключил, что всякий раз, когда существует сфера, в которой все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этой области закончится после конечного продолжения, поскольку все нулевые геодезические сойдутся. Это существенно, поскольку исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта решения черной дыры все сходятся, поэтому граница будущего этой области либо компактна, либо возникает из ниоткуда. Будущее внутренней области либо заканчивается после конечного продолжения, либо имеет границу, которая в конечном итоге генерируется новыми световыми лучами, которые нельзя проследить до исходной сферы.

In history, there is a deep connection between the curvature of a manifold and its topology. The Bonnet–Myers theorem states that a complete Riemannian manifold that has Ricci curvature everywhere greater than a certain positive constant must be compact. The condition of positive Ricci curvature is most conveniently stated in the following way: for every geodesic there is a nearby initially parallel geodesic that will bend toward it when extended, and the two will intersect at some finite length. When two nearby parallel geodesics intersect (see conjugate point), the extension of either one is no longer the shortest path between the endpoints. The reason is that two parallel geodesic paths necessarily collide after an extension of equal length, and if one path is followed to the intersection then the other, you are connecting the endpoints by a non geodesic path of equal length. This means that for a geodesic to be a shortest length path, it must never intersect neighboring parallel geodesics. Starting with a small sphere and sending out parallel geodesics from the boundary, assuming that the manifold has a Ricci curvature bounded below by a positive constant, none of the geodesics are shortest paths after a while, since they all collide with a neighbor. This means that after a certain amount of extension, all potentially new points have been reached. If all points in a connected manifold are at a finite geodesic distance from a small sphere, the manifold must be compact. Roger Penrose argued analogously in relativity. If null geodesics, the paths of light rays, are followed into the future, points in the future of the region are generated. If a point is on the boundary of the future of the region, it can only be reached by going at the speed of light, no slower, so null geodesics include the entire boundary of the proper future of a region. When the null geodesics intersect, they are no longer on the boundary of the future, they are in the interior of the future. So, if all the null geodesics collide, there is no boundary to the future. In relativity, the Ricci curvature, which determines the collision properties of geodesics, is determined by the energy tensor, and its projection on light rays is equal to the null projection of the energy–momentum tensor and is always non negative. This implies that the volume of a congruence of parallel null geodesics once it starts decreasing, will reach zero in a finite time. Once the volume is zero, there is a collapse in some direction, so every geodesic intersects some neighbor. Penrose concluded that whenever there is a sphere where all the outgoing (and ingoing) light rays are initially converging, the boundary of the future of that region will end after a finite extension, because all the null geodesics will converge. This is significant, because the outgoing light rays for any sphere inside the horizon of a black hole solution are all converging, so the boundary of the future of this region is either compact or comes from nowhere. The future of the interior either ends after a finite extension, or has a boundary that is eventually generated by new light rays that cannot be traced back to the original sphere.

Природа сингулярности

Теоремы сингулярности используют понятие геодезической неполноты в качестве индикатора наличия бесконечных кривизн. Геодезическая неполнота означает, что существуют геодезические – траектории движения наблюдателей в пространстве-времени – которые нельзя продолжить на бесконечное время, измеренное наблюдателем, движущимся по ней. Вероятно, в конце такой геодезической наблюдатель попадает в сингулярность или сталкивается с другой патологией, при которой перестают действовать законы общей теории относительности.

Модифицированная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения Эйнштейна не выполняются, и, следовательно, эти сингулярности не обязательно возникают. Например, в теории бесконечных производных гравитации, величина может быть отрицательной, даже если выполняется условие нулевой энергии.