Введение

Теорема о выпуклых функциях. Неравенство Йенсена для аналитических функций

В математике неравенство Йенсена, названное в честь датского математика Йохана Йенсена, связывает значение выпуклой функции от интеграла с интегралом от этой выпуклой функции. Оно было доказано Йенсеном в 1906 году, опираясь на более раннее доказательство того же неравенства для дважды дифференцируемых функций, предложенное Отто Гельдером в 1889 году. Благодаря своей общности, неравенство принимает различные формы в зависимости от контекста, некоторые из которых приведены ниже. В своей простейшей форме неравенство утверждает, что выпуклое преобразование среднего значения меньше или равно среднему значению, полученному после выпуклого преобразования; как следствие, для вогнутых преобразований верно обратное. Неравенство Йенсена обобщает утверждение о том, что секущая линия выпуклой функции лежит выше графика функции, что является частным случаем неравенства Йенсена для двух точек: секущая линия состоит из взвешенных средних значений выпуклой функции (при t ∈ [0,1]), а график функции представляет собой выпуклую функцию от взвешенных средних значений.

Таким образом, неравенство Йенсена выглядит следующим образом:

В контексте теории вероятностей оно обычно формулируется так: если X – случайная величина, а φ – выпуклая функция, то

Разность между двумя сторонами неравенства, , называется разрывом Йенсена.

Заявления

Классическая форма неравенства Йенсена оперирует несколькими числами и весами. Неравенство можно сформулировать в наиболее общем виде, используя язык теории меры или (эквивалентно) теорию вероятностей. В вероятностном контексте неравенство может быть дополнительно обобщено до своей максимальной силы.

Вероятностная форма

Тот же результат может быть эквивалентно сформулирован в рамках теории вероятностей, посредством простой смены обозначений. Пусть (Ω, F, P) – вероятностное пространство, X – интегрируемая случайная величина с вещественными значениями, а φ – выпуклая функция. Тогда:

В этой вероятностной постановке мера μ интерпретируется как вероятность, интеграл по μ – как математическое ожидание, а функция φ – как случайная величина X. Следует отметить, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда φ является линейной функцией на некотором выпуклом множестве C, таком что X ∈ C (что следует из рассмотрения теоретико-измерительного доказательства ниже).

Общее неравенство в вероятностных условиях

Более общим образом, пусть T — вещественное топологическое векторное пространство, а X — T-значная интегрируемая случайная величина. В этом общем случае интегрируемость означает, что существует элемент в T, такой, что для любого элемента z из сопряженного пространства T: , а затем для любой измеримой выпуклой функции φ и любой подалгебры σ из :

Здесь обозначает математическое ожидание, обусловленное σ-алгеброй. Это общее утверждение сводится к предыдущим, когда топологическое векторное пространство T является действительной прямой, а σ является тривиальной σ-алгеброй {∅, Ω} (где ∅ — пустое множество, а Ω — пространство элементарных событий).

Интуитивное графическое доказательство

Неравенство Йенсена может быть доказано несколькими способами, и будут предложены три различных доказательства, соответствующих различным вышеуказанным утверждениям. Однако, прежде чем приступить к этим математическим выводам, стоит проанализировать интуитивный графический аргумент, основанный на вероятностном случае, когда X – действительное число (см. рисунок). Предполагая гипотетическое распределение значений X, можно сразу определить положение X и его образ φ(X) на графике. Заметив, что для выпуклых отображений φ некоторых значений x соответствующее распределение значений Y все больше "растягивается" вверх при увеличении значений X, легко увидеть, что распределение Y шире в интервале, соответствующем X > X₀, и уже в интервале X < X₀ для любого X₀; в частности, это также верно для E[X]. Следовательно, на этой схеме математическое ожидание Y всегда будет смещаться вверх относительно положения E[X]. Аналогичные рассуждения справедливы, если распределение X охватывает убывающую часть выпуклой функции, или как убывающую, так и возрастающую ее части. Это "доказывает" неравенство, то есть φ(E[X]) ≥ E[φ(X)], с равенством, когда φ(X) не является строго выпуклой, например, когда это прямая линия, или когда X имеет вырожденное распределение (то есть является константой). Ниже приведены доказательства, формализующие это интуитивное представление.