Кіріспе
Дөңес функциялардың теоремасы
Аналитикалық функциялар үшін Дженсеннің теңсіздігі
Jensen's inequality for analytic functions
In mathematics, Jensen's inequality, named after the Danish mathematician Johan Jensen, relates the value of a convex function of an integral to the integral of the convex function. It was proved by Jensen in 1906, building on an earlier proof of the same inequality for doubly differentiable functions by Otto Hölder in 1889. Given its generality, the inequality appears in many forms depending on the context, some of which are presented below. In its simplest form the inequality states that the convex transformation of a mean is less than or equal to the mean applied after convex transformation; it is a simple corollary that the opposite is true of concave transformations. Jensen's inequality generalizes the statement that the secant line of a convex function lies above the graph of the function, which is Jensen's inequality for two points: the secant line consists of weighted means of the convex function (for t ∈ [0,1]),
while the graph of the function is the convex function of the weighted means,
Thus, Jensen's inequality is
In the context of probability theory, it is generally stated in the following form: if X is a random variable and φ is a convex function, then
The difference between the two sides of the inequality, , is called the Jensen gap.
Математикада, даниялық математик Йохан Дженсеннің есімімен аталатын Дженсеннің теңсіздігі, интегралдың дөңес функциясының мәнін, дөңес функцияның интегралымен байланыстырады. Дженсен бұл теңсіздікті 1906 жылы дәлелдеді, бұл 1889 жылы Отто Хёльдердің екі рет дифференциалданатын функциялар үшін осы теңсіздіктің алдыңғы дәлеліне негізделген. Теңсіздік өте жалпы болғандықтан, контекстке байланысты түрлі формаларда кездеседі, олардың кейбіреулері төменде келтірілген. Ең қарапайым түрінде теңсіздік, орташа шаманың дөңес түрлендірілуі, дөңес түрлендірілгеннен кейін қолданылған орташа шамадан кем немесе тең болады демекші. Бұл дөңес түрлендірілуге қатысты керісінше де дұрыс екенін көрсетеді. Дженсеннің теңсіздігі, дөңес функцияның графигінің үстінде жататын қисық сызығын да көрсетеді, яғни екі нүкте үшін Дженсеннің теңсіздігі: қисық сызығы – бұл дөңес функцияның салмақты орташасы (t ∈ [0,1] үшін), ал функцияның графигі – салмақты орташаның дөңес функциясы. Осылайша, Дженсеннің теңсіздігі:
Jensen's inequality for analytic functions
In mathematics, Jensen's inequality, named after the Danish mathematician Johan Jensen, relates the value of a convex function of an integral to the integral of the convex function. It was proved by Jensen in 1906, building on an earlier proof of the same inequality for doubly differentiable functions by Otto Hölder in 1889. Given its generality, the inequality appears in many forms depending on the context, some of which are presented below. In its simplest form the inequality states that the convex transformation of a mean is less than or equal to the mean applied after convex transformation; it is a simple corollary that the opposite is true of concave transformations. Jensen's inequality generalizes the statement that the secant line of a convex function lies above the graph of the function, which is Jensen's inequality for two points: the secant line consists of weighted means of the convex function (for t ∈ [0,1]),
while the graph of the function is the convex function of the weighted means,
Thus, Jensen's inequality is
In the context of probability theory, it is generally stated in the following form: if X is a random variable and φ is a convex function, then
The difference between the two sides of the inequality, , is called the Jensen gap.
Ықтималдықтар теориясы контекстінде, ол әдетте мынадай түрде айтылады: егер X – кездейсоқ айнымалы және φ – дөңес функция болса, онда
Jensen's inequality for analytic functions
In mathematics, Jensen's inequality, named after the Danish mathematician Johan Jensen, relates the value of a convex function of an integral to the integral of the convex function. It was proved by Jensen in 1906, building on an earlier proof of the same inequality for doubly differentiable functions by Otto Hölder in 1889. Given its generality, the inequality appears in many forms depending on the context, some of which are presented below. In its simplest form the inequality states that the convex transformation of a mean is less than or equal to the mean applied after convex transformation; it is a simple corollary that the opposite is true of concave transformations. Jensen's inequality generalizes the statement that the secant line of a convex function lies above the graph of the function, which is Jensen's inequality for two points: the secant line consists of weighted means of the convex function (for t ∈ [0,1]),
while the graph of the function is the convex function of the weighted means,
Thus, Jensen's inequality is
In the context of probability theory, it is generally stated in the following form: if X is a random variable and φ is a convex function, then
The difference between the two sides of the inequality, , is called the Jensen gap.
Теңсіздіктің екі жағының арасындағы айырмашылық, , Дженсеннің қабығы деп аталады.
Jensen's inequality for analytic functions
In mathematics, Jensen's inequality, named after the Danish mathematician Johan Jensen, relates the value of a convex function of an integral to the integral of the convex function. It was proved by Jensen in 1906, building on an earlier proof of the same inequality for doubly differentiable functions by Otto Hölder in 1889. Given its generality, the inequality appears in many forms depending on the context, some of which are presented below. In its simplest form the inequality states that the convex transformation of a mean is less than or equal to the mean applied after convex transformation; it is a simple corollary that the opposite is true of concave transformations. Jensen's inequality generalizes the statement that the secant line of a convex function lies above the graph of the function, which is Jensen's inequality for two points: the secant line consists of weighted means of the convex function (for t ∈ [0,1]),
while the graph of the function is the convex function of the weighted means,
Thus, Jensen's inequality is
In the context of probability theory, it is generally stated in the following form: if X is a random variable and φ is a convex function, then
The difference between the two sides of the inequality, , is called the Jensen gap.
Айғақтар
Дженсен теңсіздігінің классикалық түрі бірнеше сандар мен салмақтарды қамтиды. Бұл теңсіздікті өлшемдер теориясының немесе (эквивалентті) ықтималдық тілінде өте жалпы түрде тұжырымдауға болады. Ықтималдық аясында теңсіздіктің толық күшіне дейін жалпылауға болады.
Ықтималдық форма
Сол нәтиже ықтималдықтар теориясы шеңберінде, жай ғана белгілеуді өзгерту арқылы да дәл сол түрінде айтылуы мүмкін. болсын – ықтималдық кеңістігі, X – интегралданатын нақты мәнді кездейсоқ шама, ал φ – дөңес функция. Онда:
Осы ықтималдық шеңберінде μ өлшемі ықтималдық ретінде, μ-ге қатысты интеграл математикалық күту ретінде, ал функциясы кездейсоқ шама X ретінде қарастырылады. Теңдік тек қана φ функциясы белгілі бір дөңес жиынтықтағы сызықтық функция болған жағдайда ғана орындалады (бұл төмендегі өлшемдік теориялық дәлелді қарастыру арқылы көрінеді).
Ықтималдық ортадағы жалпы теңсіздік
Жалпы алғанда, T нақты топологиялық векторлық кеңістік болсын, ал X – T-мен бағаланған интегралданатын кездейсоқ айнымалы. Бұл жалпы жағдайда интегралданатындығы, T кеңістігінде бір элемент бар екенін білдіреді, осылайша, T-тің жұптасқан кеңістігіндегі кез келген z элементі үшін: , және содан кейін, кез келген өлшенетін дөңес функция φ және кез келген σ-алгебрасы үшін: Мұндағы – бұл σ-алгебрасына шартты күтуді білдіреді. Бұл жалпы тұжырым, T топологиялық векторлық кеңістігі нақты ось болғанда және σ-алгебрасы {∅, Ω} тривиалды болғанда (мұнда ∅ – бос жиын, ал Ω – ықтималдық кеңістігі) бұрынғы тұжырымдарға дейін тоғытылады.
Here stands for the expectation conditioned to the σ algebra This general statement reduces to the previous ones when the topological vector space T is the real axis, and is the trivial σ algebra {∅, Ω} (where ∅ is the empty set, and Ω is the sample space).
Интуитивті графикалық дәлелдеу
Дженсен теңсіздігін бірнеше тәсілмен дәлелдеуге болады, және жоғарыда келтірілген әртүрлі тұжырымдарға сәйкес үш түрлі дәлел ұсынылады. Бірақ, осы математикалық шығарылымдарға кіріспес бұрын, X нақты сан болатын жағдайдағы ықтималдыққа негізделген интуитивті графикалық аргументті талдау маңызды (суретті қараңыз). X мәндерінің гипотетикалық таралуын қарастыра отырып, графтағы орнын және оның бейнесін бірден анықтауға болады. мәндерінің дөңес функциясы үшін, Y мәндерінің сәйкес таралуы X-тің өсуімен бірге «жоғары қарай созылатынын» байқағанда, Y-тің таралуы X > X0 аралығында кеңейеді және X < X0 аралығында тарыздығын көру оңай; әсіресе, бұл сондай-ақ үшін де дұрыс. Осылайша, осы суретте Y-тің күтілетін мәні әрқашан A-ның орнына қатысты жоғарыға қарай жылжиды. Егер X-тің таралуы дөңес функцияның кемитін бөлігін, немесе кемитін және өсетін бөліктерін қамтыса, ұқсас қорытынды жасауға болады. Бұл теңсіздікті «дәлелдейді», яғни φ(X) қатаң дөңес болмағанда, мысалы, ол түзу сызық болғанда, немесе X дегенеративті таралымды ұстанғанда (яғни тұрақты мән болғанда) теңдік орындалады. Төмендегі дәлелдер осы интуитивті түсінікті формалдайды.
with equality when φ(X) is not strictly convex, e. g. when it is a straight line, or when X follows a degenerate distribution (i. e. is a constant). The proofs below formalize this intuitive notion.