Введение
Математическая модель деформирования твердых тел
Линейная упругость – это математическая модель, описывающая деформацию твердых тел и возникновение внутренних напряжений под действием заданных нагрузок. Она является упрощением более общей нелинейной теории упругости и относится к области механики сплошных сред. Основными "линеаризующими" предположениями линейной упругости являются: малые деформации или напряжения (или деформации) и линейная зависимость между компонентами напряжения и деформации. Кроме того, линейная упругость применима только к состояниям напряжения, не вызывающим текучесть. Эти предположения обоснованы для многих инженерных материалов и задач инженерного проектирования. Поэтому линейная упругость широко используется в структурном анализе и инженерном проектировании, часто с применением метода конечных элементов.
Математическая формулировка
Уравнения, описывающие линейно-упругую задачу теории упругости, основаны на трех тензорных частных дифференциальных уравнениях равновесия линейного импульса и шести соотношениях малых деформаций и перемещений. Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических соотношений, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями.
Форма картезианских координат
Выраженные в терминах компонент относительно прямоугольной декартовой системы координат, основные уравнения линейной упругости имеют вид: Эластостатическая краевая задача для изотропной однородной среды представляет собой систему из 15 независимых уравнений и такого же числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации и перемещений, и 6 конститутивных уравнений). Задавая граничные условия, краевая задача полностью определяется. Для решения системы можно применить два подхода, в зависимости от граничных условий краевой задачи: метод перемещений и метод напряжений.
An elastostatic boundary value problem for an isotropic homogeneous media is a system of 15 independent equations and equal number of unknowns (3 equilibrium equations, 6 strain displacement equations, and 6 constitutive equations). Specifying the boundary conditions, the boundary value problem is completely defined. To solve the system two approaches can be taken according to boundary conditions of the boundary value problem: a displacement formulation, and a stress formulation.
BoussinesqРешение Серрути - точечная сила на начале бесконечного изотропного полупространства
Другим полезным решением является задача о точечной силе, действующей на поверхность бесконечного полупространства. Она была получена Буссинеском для нормальной силы и Серрути для тангенциальной силы, а вывод представлен в работе Ландау и Лифшица. Точечная сила на поверхности изотропного полупространства. См. также страницу, посвященную контактной механике.