Кіріспе
Қатты денелердің деформациялануын сипаттайтын математикалық модель. Сызықтық серпімділік – қатты денелердің белгілі бір жүктеме жағдайларында деформациялануын және ішкі керіліске ұшырауын сипаттайтын математикалық модель. Бұл серпімділік теориясының жалпы сызықтық емес түрінің және континуум механикасының бір саласы. Сызықтық серпімділіктің негізгі "сызықтықтандыру" шарттары: ықшам деформациялар немесе "кішкентай" деформациялар (немесе кернеулер) және кернеу мен деформация компоненттері арасындағы сызықтық байланыстар. Сонымен қатар, сызықтық серпімділік тек беріктік шегін тудырмайтын кернеу күйлері үшін ғана қолданылады. Бұл шарттар көптеген инженерлік материалдар мен инженерлік есептеулер үшін қанағаттанарлық. Сондықтан сызықтық серпімділік құрылымдық талдау және инженерлік есептеулерде, көбінесе шекті элементтер әдісімен бірге кеңінен қолданылады.
Linear elasticity is a mathematical model of how solid objects deform and become internally stressed due to prescribed loading conditions. It is a simplification of the more general nonlinear theory of elasticity and a branch of continuum mechanics. The fundamental "linearizing" assumptions of linear elasticity are: infinitesimal strains or "small" deformations (or strains) and linear relationships between the components of stress and strain. In addition linear elasticity is valid only for stress states that do not produce yielding. These assumptions are reasonable for many engineering materials and engineering design scenarios. Linear elasticity is therefore used extensively in structural analysis and engineering design, often with the aid of finite element analysis.
Математикалық тұжырымдамасы
Сызықтық серпімді шектік мәселені басқаратын теңдеулер, сызықтық импульстің тепе-теңдігі үшін үш тензорлық дербес дифференциалдық теңдеулерге және алты инфинитезимальды деформация-ығысу байланыстарына негізделген. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі сызықтық алгебралық құрылымдық қатынастар жиынтығымен толықтырылады.
Картезиандық координаттар нысаны
Тікбұрышты Картезиандық координаттар жүйесіне қатысты компоненттер түрінде жазылған сызықтық серпімділіктің басқару теңдеулері: Изотроптық біртекті орта үшін эластостатикалық шекаралық мәселе – 15 тәуелсіз теңдеу және сол санға тең белгісіздерден (3 тепе-теңдік теңдеуі, 6 деформация-қозғалыс теңдеуі және 6 құрау теңдеуі) тұратын жүйе. Шекаралық шарттарды белгілеу арқылы шекаралық мәселе толыққанды анықталады. Мұндай мәселенің шекаралық шарттарына қарай жүйені шешу үшін екі тәсіл қолданылуы мүмкін: орын ауыстыру бойынша және кернеу бойынша есептеу.
An elastostatic boundary value problem for an isotropic homogeneous media is a system of 15 independent equations and equal number of unknowns (3 equilibrium equations, 6 strain displacement equations, and 6 constitutive equations). Specifying the boundary conditions, the boundary value problem is completely defined. To solve the system two approaches can be taken according to boundary conditions of the boundary value problem: a displacement formulation, and a stress formulation.
БоуссинескСеррути шешімі - шексіз изотроптық жарты кеңістіктің бастауындағы нүктелік күш
Тағы бір пайдалы шешім – шексіз жарты кеңістіктің бетіне әрекет ететін нүктелік күш. Оны Boussinesq нормальді күш үшін, ал Cerruti жанама күш үшін шығарған, ал оның шығарылуы Landau & Lifshitz еңбегінде келтірілген. Изотропты жарты кеңістіктің бетіндегі нүктелік күш. Сондай-ақ, «Байланыс механикасы» бетіне қараңыз.