Введение

Гиперболическое уравнение в частных производных
Уравнение синуса-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных для функции, зависящей от двух переменных, обычно обозначаемых *x* и *t*, включающее волновой оператор и синус *u*. Оно было первоначально введено при изучении поверхностей постоянной отрицательной кривизны как уравнение Гаусса-Кодацци для поверхностей с постоянной гауссовой кривизной −1 в трехмерном пространстве. Уравнение было вновь открыто при изучении кристаллических дислокаций, известных как модель Френкеля-Конторовой. Это уравнение привлекло значительное внимание в 1970-х годах благодаря наличию солитонных решений и является примером интегрируемого уравнения в частных производных. Среди известных интегрируемых уравнений в частных производных уравнение синуса-Гордона является единственной релятивистской системой благодаря своей инвариантности Лоренца.

Новые решения из старых

Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферных поверхностей в 19 веке Бьянки и Бэклунда привело к открытию преобразований Бэклунда. Другим преобразованием псевдосферных поверхностей является преобразование Ли, введенное Софьюсом Ли в 1879 году, которое соответствует преобразованиям Лоренца для решений уравнения синус-Гордона. Существуют также более простые способы построения новых решений, но они не приводят к новым поверхностям. Поскольку уравнение синус-Гордона является нечетным, отрицание любого решения также является решением. Однако это не дает новой поверхности, так как изменение знака сводится к выбору направления нормали к поверхности. Новые решения можно получить, сдвигая решение: если является решением, то и является решением, где – целое число.

Механическая модель

Представьте себе ряд маятников, подвешенных на одной прямой при постоянном ускорении свободного падения. Соедините грузы маятников нитью, поддерживая постоянное натяжение. Пусть угол отклонения маятника в точке с координатой *x* будет θ(x), тогда схематически динамика ряда маятников описывается вторым законом Ньютона: и это уравнение синуса-Гордона после соответствующего масштабирования времени и расстояния. Следует отметить, что это не совсем точно, поскольку результирующая сила, действующая на маятник из-за натяжения нити, не равна точно *T*sin(θ), а более точно выражается как Однако это дает наглядное представление об уравнении синуса-Гордона. Точные механические реализации уравнения синуса-Гордона можно получить, используя более сложные методы.

Режимы ренормализации

Для различных значений параметра изменяются свойства перенормируемости теории синуса Гордона. Выявление этих режимов приписывается Юргу Фрелиху. Конечный режим соответствует , где не требуется никаких контртермов для корректного определения теории. Суперперенормируемый режим соответствует , где необходимо конечное число контртермов для корректного определения теории. С каждым пройденным порогом требуется всё больше контртермов. При , теория становится некорректно определенной. Граничные значения равны и , которые соответствуют, соответственно, точке свободных фермионов, поскольку теория дуальна свободному фермиону посредством соответствия Колемана, и точке самодвойственности, где вершинные операторы образуют аффинную sl2-подалгебру, и теория становится строго перенормируемой (перенормируемой, но не суперперенормируемой).

Суперсимметричная синусо-Гордонская модель

Существует также суперсимметричное расширение модели Синуса-Гордона. Интеграбельность, сохраняющие граничные условия для этого расширения, также могут быть найдены. Модель Синуса-Гордона принадлежит к тому же классу универсальности, что и эффективное действие кулоновского газа вихрей и антивихрей в непрерывной классической XY-модели, которая является моделью магнетизма. Следовательно, фазовый переход Костерлица-Таулеса для вихрей может быть получен из анализа ренормализационной группы теории поля Синуса-Гордона. Уравнение Синуса-Гордона также возникает как формальный континуальный предел другой модели магнетизма, квантовой модели Гейзенберга, в частности модели XXZ.