Введение

Многозначная функция в математике

В математике функция Ламберта W, также называемая функцией омега или логарифмом произведения, является многозначной функцией, а именно ветвями обратной функции к функции 1=f(w) = we^(w), где w – любое комплексное число, а e^(w) – экспоненциальная функция. Функция названа в честь Иоганна Ламберта, который рассматривал связанную с ней задачу в 1758 году. Развивая работу Ламберта, Леонард Эйлер описал функцию W непосредственно в 1783 году. Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая Wk(z), которая является комплекснозначной функцией одного комплексного аргумента. W0 называется главной ветвью. Эти функции обладают следующим свойством: если z и w – любые комплексные числа, то

выполняется тогда и только тогда, когда

При работе только с действительными числами достаточно двух ветвей: W0 и W−1. Для действительных чисел x и y уравнение

можно решить относительно y только если; получается 1=y = W0(x) при x ≥ 0 и два значения 1=y = W0(x) и 1=y = W−1(x) при
Ветви функции Ламберта W нельзя выразить через элементарные функции. Она полезна в комбинаторике, например, при перечислении деревьев. Её можно использовать для решения различных уравнений, содержащих экспоненты (например, для нахождения максимумов распределений Планка, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака), а также она встречается в решении дифференциальных уравнений с задержкой, таких как 1=y′(t) = a y(t − 1). В биохимии, и в частности в энзимной кинетике, аналитическое решение для анализа кинетики временного хода кинетики Михаэлиса — Ментен описывается с использованием функции Ламберта W.

Терминология

Главная ветвь W0 обозначается Wp в Цифровой библиотеке математических функций, а ветвь W−1 обозначается Wm там. Выбранная здесь конвенция обозначений (с W0 и W−1) следует каноническому справочнику по функции Ламберта W, написанному Корлессом, Гоннетом, Харом, Джеффри и Кнутом. Название "логарифм произведения" можно понять следующим образом: поскольку обратная функция к 1 = f(w) = e^w называется логарифмом, логично называть обратную "функцию" произведения we^w "логарифмом произведения". (Техническое замечание: как и комплексный логарифм, она многозначна, и поэтому W описывается как обратное соотношение, а не обратная функция.) Она связана с константой омега, которая равна W0(1).

Элементарные свойства, разветвления и диапазон

Существует счетное множество ветвей функции W, обозначаемых Wk(z), для целых k; W0(z) является главной (или основной) ветвью. W0(z) определена для всех комплексных чисел z, а Wk(z) при k ≠ 0 определена для всех ненулевых z. При этом W0(0) = 0 и для всех k ≠ 0. Точка ветвления для главной ветви находится в , с разрезом ветви, простирающимся до −∞ вдоль отрицательной вещественной оси. Этот разрез ветви отделяет главную ветвь от двух ветвей W−1 и W1. Во всех ветвях Wk с k ≠ 0 есть точка ветвления в z = 0 и разрез ветви вдоль всей отрицательной вещественной оси. Функции Wk(z), k ∈ 'Z', являются инъективными, и их области значений не пересекаются. Область значений всей многозначной функции W – это комплексная плоскость. Образ вещественной оси – это объединение вещественной оси и квадратрисы Гиппия, параметрической кривой w = −t cot t + it.

Интегральный

Функция W(x) и многие другие выражения, включающие W(x), могут быть проинтегрированы с помощью подстановки w = W(x), то есть x = we^w. (Последнее уравнение более распространено в литературе, но не определено при x = 0). Одним из следствий этого (используя тот факт, что W₀(e) = 1) является тождество.

Время зависимости потока в простых гидравлических системах

Основная ветвь функции Ламберта W применяется в области машиностроения при изучении нестационарного переноса ньютоновских жидкостей между двумя резервуарами с изменяющимися уровнями свободной поверхности с использованием центробежных насосов. Функция Ламберта W позволила получить точное решение для расхода жидкости как в ламинарном, так и в турбулентном режимах:

где – начальный расход, а – время.

Нейроизображение

Функция Ламберта W применяется в нейровизуализации для установления связи между изменениями мозгового кровотока и потребления кислорода в пределах вокселя мозга и соответствующим BOLD-сигналом (сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови).

Химическая инженерия

Функция Ламберта W применяется в химической инженерии для моделирования толщины пористой плёнки электрода в суперконденсаторе на основе стеклоуглерода, предназначенного для электрохимического накопления энергии. Функция Ламберта W предоставляет точное решение для процесса термической активации в газовой фазе, где рост углеродной плёнки и её сгорание конкурируют между собой.

Материаловедение

Функция Ламберта W применяется в области эпитаксиального роста для определения критической толщины пленки, при которой начинается образование дислокаций. Это вычисленная толщина эпитаксиальной пленки, при которой, согласно термодинамическим принципам, в пленке образуются кристаллографические дислокации для минимизации накопленной упругой энергии. До использования функции Ламберта W для решения этой задачи, критическую толщину приходилось определять, решая неявное уравнение. Функция Ламберта W позволяет представить ее в виде явного уравнения, что облегчает аналитическую обработку.

Пористые среды

Функция Ламберта W была применена в области течения жидкости в пористых средах для моделирования наклона границы раздела между двумя жидкостями, разделенными по плотности, в однородном наклонном пористом слое с постоянным углом наклона и толщиной, где более тяжелая жидкость, подаваемая в нижнюю часть, вытесняет более легкую жидкость, которая добывается с той же скоростью из верхней части. Основная ветвь решения соответствует стабильным вытеснениям, а ветвь −1 применяется в случае нестабильного вытеснения, когда более тяжелая жидкость располагается под более легкой.

Статистика

Центроид набора гистограмм, определенных по отношению к симметричной дивергенции Кульбака — Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффриса), может быть выражен в замкнутой форме с использованием функции Ламберта W.

Объединение анализов на инфекционные заболевания

Решение задачи определения оптимального размера группы для совместного тестирования с целью выявления хотя бы одного инфицированного требует использования функции Ламберта W.

Точный раствор константы сцепления QCD

В квантовой хромодинамике, квантовой теории поля сильного взаимодействия, константа связи вычисляется возмутительно, порядок n соответствует диаграммам Фейнмана, включающим n квантовых петель. Решение первого порядка, n=1, является точным (в данном порядке) и аналитическим. При более высоких порядках, n>1, точного аналитического решения не существует, и обычно используется итерационный метод для получения приближенного решения. Однако для второго порядка, n=2, функция Ламберта предоставляет точное (хотя и не аналитическое) решение.

Фазовое разделение полимерных смесей

При расчете фазовой диаграммы термодинамически несовместимых полимерных смесей согласно модели Эдмонда Огстона, решения для бинодальных и спинодальных кривых формулируются с использованием функций Ламберта W.

Закон смещения Вина в трехмерной вселенной

Закон смещения Вина выражается как С и , где – спектральная плотность энергии, можно найти , где – число степеней свободы для пространственного перемещения. Решение показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности пространства.

Переписка AdS/CFT

Классические поправки, связанные с конечным размером, к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов, одиночных пиков и струн GKP могут быть выражены через функцию Ламберта W.

Эпидемиология

В пределе t → ∞ для модели SIR доля восприимчивых и выздоровевших людей выражается через функцию Ламберта W.

Определение времени полета снаряда

Общее время полета снаряда, испытывающего сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, может быть определено в точной форме с использованием функции Ламберта W.

Распространение электромагнитных поверхностных волн

Трансцендентальное уравнение, возникающее при определении волнового числа распространения электромагнитной осесимметричной поверхностной волны (моды TM01 с низким затуханием), распространяющейся в цилиндрическом металлическом проводе, приводит к уравнению вида 1 = u ln u = v (где u и v объединяют геометрические и физические параметры задачи), которое решается с помощью функции Ламберта W. Первое решение этой задачи, предложенное Зоммерфельдом около 1898 года, уже содержало итеративный метод для определения значения функции Ламберта W.

Ортогональные траектории реальных эллипсов

Семья эллипсов с центром в начале координат параметризуется эксцентриситетом. Ортогональные траектории этой семьи задаются дифференциальным уравнением, общее решение которого представляет собой семейство .

Программное обеспечение

Функция Ламберта W реализована как LambertW в Maple, lambertw в GP (и glambertW в PARI), lambertw в Matlab, также lambertw в Octave с пакетом specfun, как lambert w в Maxima, как ProductLog (с неявным псевдонимом LambertW) в Mathematica, как lambertw в пакете специальных функций Python scipy, как LambertW в модуле ntheory в Perl, и как gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1 в разделе специальных функций GNU Scientific Library (GSL). В библиотеках Boost C++ вызовы имеют вид lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_prime и lambert_wm1_prime. В R функция Ламберта W реализована как функции lambertW0 и lambertWm1 в пакете lamW. Код на C++ для всех ветвей комплексной функции Ламберта W доступен на домашней странице Иштвана Мезё.