Введение

Дифференциальное уравнение, важное для физики

Волновое уравнение — это линейное частичное дифференциальное уравнение второго порядка, используемое для описания волн или стационарных волновых полей, таких как механические волны (например, волны на воде, звуковые волны и сейсмические волны) или электромагнитные волны (включая световые волны). Оно возникает в таких областях, как акустика, электромагнетизм и гидродинамика. В данной статье рассматриваются волны, распространяющиеся в обоих направлениях, в классической физике. Отдельные механические или электромагнитные волны, распространяющиеся в заданном направлении, также могут быть описаны с помощью волнового уравнения первого порядка для односторонних волн, которое гораздо проще решить и также применимо к неоднородным средам. Квантовая физика часто использует операторное волновое уравнение, в том числе в релятивистском варианте.

Введение

Волновое уравнение (двустороннее) — это дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее волны, включая бегущие и стоячие волны; последние можно рассматривать как линейные суперпозиции волн, распространяющихся в противоположных направлениях. В данной статье основное внимание уделяется скалярному волновому уравнению, описывающему волны в скалярных полях с помощью скалярных функций u = u(x, y, z, t) от временной переменной t (переменной, представляющей время) и одной или нескольких пространственных переменных x, y, z (переменных, представляющих положение в рассматриваемом пространстве), в то время как существуют и векторные волновые уравнения, описывающие волны в векторных полях, такие как волны для электрического поля, магнитного поля, векторного потенциала магнитного поля и упругие волны. По сравнению с векторными волновыми уравнениями, скалярное волновое уравнение можно рассматривать как частный случай векторных волновых уравнений; в декартовой системе координат скалярное волновое уравнение является уравнением, которому должна удовлетворять каждая компонента (для каждой оси координат, например, компонента x для оси x) векторной волны без источников волн в рассматриваемой области (то есть в пространстве и времени). Например, в декартовой системе координат, при описании волны электрического поля в отсутствие источников волн, каждая компонента по координатным осям (i = x, y, z) должна удовлетворять скалярному волновому уравнению. Другие решения скалярного волнового уравнения u соответствуют физическим величинам в скалярных полях, таким как давление в жидкости или газе, или смещение частиц вибрирующего твердого тела вдоль некоторого конкретного направления от их положения равновесия. Скалярное волновое уравнение имеет вид:

где c — фиксированный неотрицательный действительный коэффициент. Иными словами: u — это величина, представляющая отклонение от состояния равновесия, это может быть давление газа выше или ниже нормального, или высота воды в пруду выше или ниже уровня покоя, или что-то иное. t представляет время. — это член, показывающий, насколько быстро изменяется отклонение. x представляет пространство или положение. — это член, описывающий, как отклонение изменяется в точке x в одном из измерений (например, на одной из осей графика). Это не скорость изменения отклонения в пространстве, а скорость изменения самого изменения в пространстве, то есть его вторая производная. Другими словами, этот член показывает, насколько изменения отклонения сжаты в небольшой окрестности. Уравнение утверждает, что в любой момент времени, в любой точке, ускорение отклонения пропорционально тому, насколько изменения отклонения сжаты в окрестности. Или, проще говоря: более заостренное отклонение сильнее отталкивается обратно. Используя обозначения ньютоновской механики и векторного исчисления, волновое уравнение можно записать более компактно:

где двойная точка над u обозначает вторую производную u по времени, ∇ — оператор набла, а ∇² = ∇ · ∇ — (пространственный) оператор Лапласа (не векторный Лапласиан):

Еще более компактное обозначение, иногда используемое в физике, выглядит следующим образом:

где все операторы объединены в оператор Д’Аламбера (обозначается квадратом):

Решение этого (двустороннего) волнового уравнения может быть довольно сложным, но его можно проанализировать как линейную комбинацию простых решений, представляющих собой синусоидальные плоские волны с различными направлениями распространения и длинами волн, но все с одинаковой скоростью распространения c. Этот анализ возможен, поскольку волновое уравнение является линейным и однородным, поэтому любое кратное решению также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. Это свойство называется принципом суперпозиции в физике. Само волновое уравнение не определяет физическое решение; уникальное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как начальные условия, которые задают амплитуду и фазу волны. Другой важный класс задач возникает в замкнутых пространствах, определяемых граничными условиями, для которых решения представляют собой стоячие волны или гармоники, аналогичные гармоникам музыкальных инструментов. Двустороннее волновое уравнение, описывающее поле стоячей волны, является простейшим примером гиперболического дифференциального уравнения второго порядка. Оно и его модификации играют фундаментальную роль в механике сплошных сред, квантовой механике, физике плазмы, общей теории относительности, геофизике и многих других научных и технических дисциплинах. В случае, когда интересует распространение только одной волны в заданном направлении, можно рассмотреть дифференциальное уравнение первого порядка — одностороннее волновое уравнение.

Вывод волнового уравнения

Волновое уравнение в одном пространственном измерении может быть получено в различных физических условиях. Наиболее известным примером является вывод для случая вибрирующей струны в двумерной плоскости, где каждый её элемент испытывает воздействие силы натяжения, направленной в противоположные стороны. Другой физический контекст для вывода волнового уравнения в одном пространственном измерении основан на законе Гука. В теории упругости закон Гука представляет собой приближение, справедливое для определенных материалов, и утверждает, что величина деформации (напряжение) материального тела линейно связана с силой, вызывающей эту деформацию (нагрузкой).

Скалярное волновое уравнение в общем измерении и формулы Кирхгоффа

Мы хотим найти решения уравнения 1=utt − Δu = 0 для u : 'R'^(n) × (0, ∞) → 'R' с начальными условиями 1=u(x, 0) = g(x) и 1=ut(x, 0) = h(x). Подробности можно найти в работе Эванса.

Волновое уравнение для неоднородных сред, трехмерный случай

Для одностороннего распространения волны, то есть когда волны распространяются в заранее заданном направлении (или) в неоднородной среде, распространение волны также можно рассчитать с помощью тензорного одностороннего волнового уравнения (полученного в результате факторизации векторного двустороннего волнового уравнения), и для него можно вывести аналитическое решение.

Другие системы координат

В трех измерениях волновое уравнение, записанное в эллиптических цилиндрических координатах, может быть решено методом разделения переменных, приводящим к дифференциальному уравнению Матье.