Введение

Семьи решений связанных дифференциальных уравнений

Функции Бесселя, впервые определенные математиком Даниэлем Бернулли и затем обобщенные Фридрихом Бесселем, являются каноническими решениями y(x) дифференциального уравнения Бесселя для произвольного комплексного числа ν, представляющего порядок функции Бесселя. Хотя ν и -ν порождают одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять различные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, чтобы функции Бесселя в основном были гладкими функциями от ν. Наиболее важными являются случаи, когда ν – целое или полуцелое число. Функции Бесселя для целых ν также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники, поскольку они возникают при решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Сферические функции Бесселя с полуцелым ν получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах.

Функции Бесселя первого типа:

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как Jα(x), являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целого или положительного α, функции Бесселя первого рода конечны в начале координат (при x = 0); в то время как для отрицательного нецелого α, функции Бесселя первого рода стремятся к бесконечности при x, стремящемся к нулю. Функция может быть определена через ряд Маклорена, умноженный на коэффициент (обратите внимание, что α не обязательно должно быть целым числом, а нецелые степени недопустимы в ряде Тейлора), который можно получить, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя:

где Γ(z) – гамма-функция, обобщение факториала на нецелые значения. Функция Бесселя первого рода является целой функцией, если α – целое число, в противном случае это многозначная функция с сингулярностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как затухающие колебания, подобные синусоиде или косинусоиде, убывающие пропорционально (см. также их асимптотические формы ниже), хотя их корни обычно не являются периодическими, за исключением асимптотического случая при больших x. (Ряд указывает, что −J1(x) является производной J0(x), подобно тому, как −sin x является производной cos x; в более общем случае производная Jn(x) может быть выражена через Jn ± 1(x) с помощью тождеств, приведенных ниже.) Для нецелого α функции Jα(x) и J−α(x) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целого порядка n справедлива следующая зависимость (гамма-функция имеет простые полюса во всех неположительных целых числах):

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Дифференциальные отношения

В дальнейшем, fn обозначает любую из функций jn, yn, для n = 0, ±1, ±2, ...