Введение
Тип волны, распространяющейся в трех измерениях.
In physics, a plane wave is a special case of wave or field: a physical quantity whose value, at any moment, is constant through any plane that is perpendicular to a fixed direction in space. For any position in space and any time , the value of such a field can be written as
where is a unit length vector, and is a function that gives the field's value as dependent on only two real parameters: the time , and the scalar valued displacement of the point along the direction The displacement is constant over each plane perpendicular to
The values of the field may be scalars, vectors, or any other physical or mathematical quantity. They can be complex numbers, as in a complex exponential plane wave. When the values of are vectors, the wave is said to be a longitudinal wave if the vectors are always collinear with the vector , and a transverse wave if they are always orthogonal (perpendicular) to it.
В физике плоская волна — это частный случай волны или поля: физическая величина, значение которой в любой момент времени постоянно на любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве. Для любой точки в пространстве и любого времени , значение такого поля можно записать как
In physics, a plane wave is a special case of wave or field: a physical quantity whose value, at any moment, is constant through any plane that is perpendicular to a fixed direction in space. For any position in space and any time , the value of such a field can be written as
where is a unit length vector, and is a function that gives the field's value as dependent on only two real parameters: the time , and the scalar valued displacement of the point along the direction The displacement is constant over each plane perpendicular to
The values of the field may be scalars, vectors, or any other physical or mathematical quantity. They can be complex numbers, as in a complex exponential plane wave. When the values of are vectors, the wave is said to be a longitudinal wave if the vectors are always collinear with the vector , and a transverse wave if they are always orthogonal (perpendicular) to it.
где — единичный вектор, а — функция, определяющая значение поля, зависящее только от двух вещественных параметров: времени и скалярного смещения точки вдоль направления . Смещение постоянно на каждой плоскости, перпендикулярной .
In physics, a plane wave is a special case of wave or field: a physical quantity whose value, at any moment, is constant through any plane that is perpendicular to a fixed direction in space. For any position in space and any time , the value of such a field can be written as
where is a unit length vector, and is a function that gives the field's value as dependent on only two real parameters: the time , and the scalar valued displacement of the point along the direction The displacement is constant over each plane perpendicular to
The values of the field may be scalars, vectors, or any other physical or mathematical quantity. They can be complex numbers, as in a complex exponential plane wave. When the values of are vectors, the wave is said to be a longitudinal wave if the vectors are always collinear with the vector , and a transverse wave if they are always orthogonal (perpendicular) to it.
Значения поля могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами, как, например, в случае комплексной экспоненциальной плоской волны. Если значения являются векторами, то волна называется продольной, если векторы всегда коллинеарны вектору , и поперечной, если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему.
In physics, a plane wave is a special case of wave or field: a physical quantity whose value, at any moment, is constant through any plane that is perpendicular to a fixed direction in space. For any position in space and any time , the value of such a field can be written as
where is a unit length vector, and is a function that gives the field's value as dependent on only two real parameters: the time , and the scalar valued displacement of the point along the direction The displacement is constant over each plane perpendicular to
The values of the field may be scalars, vectors, or any other physical or mathematical quantity. They can be complex numbers, as in a complex exponential plane wave. When the values of are vectors, the wave is said to be a longitudinal wave if the vectors are always collinear with the vector , and a transverse wave if they are always orthogonal (perpendicular) to it.
Путешествующая плоская волна
Часто термин "плоская волна" относится конкретно к бегущей плоской волне, эволюцию которой во времени можно описать как простое перемещение поля с постоянной волновой скоростью вдоль направления, перпендикулярного волновым фронтам. Такое поле можно записать как
где теперь является функцией одного действительного параметра , описывающего "профиль" волны, то есть значение поля в момент времени , для каждого смещения . В этом случае называется направлением распространения. Для каждого смещения , движущаяся плоскость, перпендикулярная к на расстоянии от начала координат, называется "волновым фронтом". Эта плоскость перемещается вдоль направления распространения со скоростью ; и значение поля при этом одинаково и постоянно во времени во всех её точках.
Синусоидальная плоская волна
Термин также используется, ещё более конкретно, для обозначения "монохроматической" или синусоидальной плоской волны: бегущей плоской волны, профиль которой описывается синусоидальной функцией. То есть, параметр , который может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны; скалярный коэффициент – это её "пространственная частота"; а скаляр – её "фазовый сдвиг". Истинная плоская волна не может физически существовать, поскольку для этого ей пришлось бы заполнять всё пространство. Тем не менее, модель плоской волны важна и широко используется в физике. Волны, излучаемые любым источником с конечными размерами в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами при наблюдении над любой частью этой области, достаточно малой по сравнению с расстоянием до источника. Такова, например, ситуация со световыми волнами от далёкой звезды, достигающими телескопа.
The parameter , which may be a scalar or a vector, is called the amplitude of the wave; the scalar coefficient is its "spatial frequency"; and the scalar is its "phase shift". A true plane wave cannot physically exist, because it would have to fill all space. Nevertheless, the plane wave model is important and widely used in physics. The waves emitted by any source with finite extent into a large homogeneous region of space can be well approximated by plane waves when viewed over any part of that region that is sufficiently small compared to its distance from the source. That is the case, for example, of the light waves from a distant star that arrive at a telescope.
Самолет стоящая волна
Стоячая волна — это поле, значение которого может быть выражено как произведение двух функций, одна из которых зависит только от положения, а другая — только от времени. Плоская стоячая волна, в частности, может быть выражена как
где — функция одного скалярного параметра (смещения) со скалярными или векторными значениями, а — скалярная функция времени. Это представление не является единственным, поскольку те же значения поля получаются, если и масштабируются обратными друг другу факторами. Если ограничена на интересующем временном интервале (что обычно происходит в физических контекстах), и можно масштабировать так, чтобы ее максимальное значение было равно 1. Тогда будет максимальная величина поля, наблюдаемая в данной точке.
Свойства
Плоскостную волну можно изучить, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления; то есть, рассматривая функцию как волну в одномерной среде. Любой локальный оператор, линейный или нелинейный, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с одним и тем же нормальным вектором также является плоской волной. Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению; в частности, , где является частной производной от по первому аргументу. Дивергенция векторной плоской волны зависит только от проекции вектора на это направление. В частности, поперечная плоская волна удовлетворяет условиям для всех и .
In particular, a transverse planar wave satisfies for all and .