Введение

Функция, повторяющая свои значения через регулярные интервалы или периоды.

Периодическая функция или циклическая функция, также называемая периодической формой волны (или просто периодической волной), – это функция, которая повторяет свои значения через равные интервалы или периоды. Повторяющаяся часть функции или формы волны называется циклом. Например, тригонометрические функции, повторяющиеся через интервалы в 2π радиан, являются периодическими функциями. Периодические функции широко используются в науке для описания колебаний, волн и других явлений, демонстрирующих периодичность. Любая функция, не являющаяся периодической, называется апериодической.

Двухпериодические функции

Функция, областью определения которой являются комплексные числа, может иметь два несоизмеримых периода, не являясь при этом постоянной. Эллиптические функции – пример таких функций. ("Несоизмеримый" в данном контексте означает не выразимые друг через друга как действительные кратные.)

Антипериодические функции

Одним из подмножеств периодических функций является множество антипериодических функций. Это функция, такая что для всех. Например, функции синуса и косинуса являются одновременно антипериодическими и периодическими. Хотя антипериодическая функция является периодической функцией, обратное не всегда верно.

Блох-периодические функции

Дальнейшее обобщение возникает в контексте теорем Блоха и теории Флоке, которые описывают решение различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно имеет вид

где – действительное или комплексное число (волновой вектор Блоха или показатель Флоке). Функции такого вида иногда называют периодическими по Блоху в этом контексте. Периодическая функция является частным случаем при , а антипериодическая функция – частным случаем при . Если является рациональным числом, то функция также периодична.

Коэффициентные пространства как домен

В обработке сигналов возникает проблема, заключающаяся в том, что ряды Фурье представляют периодические функции и удовлетворяют теоремам свёртки (то есть свёртка рядов Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции нельзя свертывать в обычном смысле, поскольку соответствующие интегралы расходятся. Одним из возможных решений является определение периодической функции на ограниченной, но периодической области. Для этого можно использовать понятие фактор-пространства: то есть каждый элемент в является классом эквивалентности действительных чисел, имеющих одинаковую дробную часть. Таким образом, функция вида является представлением периодической функции с периодом 1.

Период расчета

Рассмотрим реальную форму волны, состоящую из суперпозиции частот, выраженных в виде множества отношений к фундаментальной частоте, f: F = 1/f[f f f f], где все ненулевые элементы ≥1 и по крайней мере один элемент множества равен 1. Чтобы найти период, T, сначала найдите наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех элементов множества. Период можно найти как T = НОЗ/f. Учитывая, что для простой синусоиды T = 1/f, НОЗ можно рассматривать как множитель периодичности. Для множества, представляющего все ноты западной мажорной гаммы: [1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8], НОЗ равен 24, следовательно, T = 24/f. Для множества, представляющего все ноты мажорного трезвучия: [1 5/4 3/2], НОЗ равен 4, следовательно, T = 4/f. Для множества, представляющего все ноты минорного трезвучия: [1 6/5 3/2], НОЗ равен 10, следовательно, T = 10/f. Если наименьший общий знаменатель не существует, например, если один из элементов иррационален, то волна не будет периодической.