Введение
В математике пространство Линделёфа — это топологическое пространство, в котором любое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие. Свойство Линделёфа является ослаблением более часто используемого понятия компактности, требующего существования конечного подпокрытия. Наследственно линделёфское пространство — это топологическое пространство, любое подпространство которого является пространством Линделёфа. Такое пространство иногда называют сильно линделёфским, однако эта терминология может ввести в заблуждение, поскольку иногда используется в совершенно ином значении. Термин "наследственно линделёфское" более распространён и однозначен. Пространства Линделёфа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделёфа.
Свойства пространств Линделофа
Любое компактное пространство, и в более общем случае любое σ-компактное пространство, является Линделёфом. В частности, каждое счётное пространство является Линделёфом. Пространство Линделёфа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно. Каждое пространство второго порядка счётности является Линделёфом, но не наоборот. Например, существует множество компактных пространств, которые не являются пространствами второго порядка счётности. Метрическое пространство является Линделёфом тогда и только тогда, когда оно сепарабельно, и тогда и только тогда, когда оно пространства второго порядка счётности. Любое регулярное пространство Линделёфа является нормальным. Любое регулярное пространство Линделёфа является паракомпактным. Счётное объединение подпространств Линделёфа топологического пространства является Линделёфом. Любое замкнутое подпространство пространства Линделёфа является Линделёфом. Следовательно, любое множество Fσ в пространстве Линделёфа является Линделёфом. Произвольные подпространства пространства Линделёфа не обязаны быть Линделёфами. Непрерывное отображение пространства Линделёфа является Линделёфом. Произведение пространства Линделёфа и компактного пространства является Линделёфом. Произведение пространства Линделёфа и σ-компактного пространства является Линделёфом. Это следствие предыдущего свойства. Произведение двух пространств Линделёфа не обязано быть Линделёфом. Например, линия Соргенфрея является Линделёфом, но плоскость Соргенфрея не является Линделёфом. В пространстве Линделёфа каждое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счётное.
Свойства наследственных пространств Линделофа
Пространство является наследственно линделофовым тогда и только тогда, когда каждое открытое подпространство является линделофовым. Наследственно линделофовы пространства замкнуты относительно счётных объединений, подпространств и непрерывных образов. Регулярное линделофово пространство является наследственно линделофовым тогда и только тогда, когда оно вполне нормальное. Каждое пространство второго порядка счётности является наследственно линделофовым. Каждое счётное пространство является наследственно линделофовым. Каждое пространство Суслина является наследственно линделофовым. Каждая мера Радона на наследственно линделофовом пространстве является умеренной.
Обобщение
Следующее определение обобщает определения компактности и Линделёфа: топологическое пространство является -компактным (или -линделёфовским), где является любым кардиналом, если для любого открытого покрытия существует подпокрытие кардинальности строго меньшей, чем . Тогда -компактное пространство является -компактным, а -линделёфовское пространство является -компактным. Степень Линделёфа, или число Линделёфа, — это наименьший кардинал , такой что для любого открытого покрытия пространства существует подпокрытие размера не более . В этой записи, пространство является линделёфовским, если . Число Линделёфа, как определено выше, не различает компактные и некомпактные линделёфовские пространства. Некоторые авторы используют название "число Линделёфа" для другого понятия: наименьшего кардинала , такого что для любого открытого покрытия пространства существует подпокрытие размера строго меньшего, чем . В этом последнем (и менее употребительном) смысле число Линделёфа — это наименьший кардинал , такой что топологическое пространство является -компактным. Это понятие иногда также называют степенью компактности пространства.