Введение

Комплексное число с рациональными компонентами
В математике, гауссово рациональное число — это комплексное число вида p + qi, где p и q — рациональные числа. Множество всех гауссовых рациональных чисел образует гауссово рациональное поле, обозначаемое Q(i), полученное присоединением мнимой единицы i к полю рациональных чисел Q.

Свойства поля

Поле гауссовских рациональных чисел представляет собой пример алгебраического поля чисел, которое является одновременно и квадратичным полем, и циклотомическим полем (поскольку i является четвертым корнем из единицы). Как и все квадратичные поля, оно является расширением Галуа поля Q с циклической группой Галуа порядка два, в данном случае порожденной комплексным сопряжением, и, следовательно, является абелевым расширением Q с проводником 4. Подобно циклотомическим полям в более общем случае, поле гауссовских рациональных чисел не упорядочено и не является полным (как метрическое пространство). Целые числа Гаусса Z[i] образуют кольцо целых чисел поля Q(i). Множество всех гауссовских рациональных чисел счетно бесконечно. Поле гауссовских рациональных чисел также является двумерным векторным пространством над Q с естественным базисом.

Сферы Форда

Концепция Фордских окружностей может быть обобщена от рациональных чисел до гауссовых рациональных чисел, приводя к Фордским сферам. В этой конструкции комплексные числа вкладываются в виде плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, и для каждой гауссовой рациональной точки в этой плоскости строится сфера, касательная к плоскости в этой точке. Для гауссова рационального числа, представленного в несократимом виде как , радиус этой сферы должен быть равен , где обозначает комплексное сопряжение. Полученные сферы касаются друг друга для пар гауссовых рациональных чисел и с , и в противном случае они не пересекаются.