Введение

Расширение математического поля с полиномиальными корнями

В математике алгебраическое расширение — это расширение поля L/K, такое что каждый элемент большего поля L является алгебраическим над меньшим полем K; то есть каждый элемент L является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Расширение поля, которое не является алгебраическим, называется трансцендентным и должно содержать трансцендентные элементы, то есть элементы, которые не являются алгебраическими. Алгебраические расширения поля рациональных чисел называются алгебраическими числовыми полями и являются основными объектами изучения алгебраической теории чисел. Другим примером распространенного алгебраического расширения является расширение поля действительных чисел полем комплексных чисел.

Некоторые свойства

Все трансцендентные расширения имеют бесконечную степень. Это, в свою очередь, подразумевает, что все конечные расширения являются алгебраическими. Однако обратное неверно: существуют бесконечные расширения, которые являются алгебраическими. Например, поле всех алгебраических чисел является бесконечным алгебраическим расширением рациональных чисел. Пусть E – поле расширения K, а a ∈ E. Наименьшее подполе E, содержащее K и a, обычно обозначается K(a). Если a алгебраична над K, то элементы K(a) могут быть выражены как многочлены от a с коэффициентами в K; то есть K(a) также является наименьшим кольцом, содержащим K и a. В этом случае K(a) является конечным расширением K (это конечномерное векторное пространство над K), и все его элементы являются алгебраическими над K. Эти свойства не выполняются, если a не является алгебраической. Например, и они оба являются бесконечномерными векторными пространствами над .

Алгебраически замкнутое поле F не имеет собственных алгебраических расширений, то есть не существует алгебраических расширений E таких, что F ⊂ E. Примером является поле комплексных чисел. Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое является алгебраически замкнутым (называемым его алгебраическим замыканием), но доказательство этого в общем случае требует некоторой формы аксиомы выбора. Расширение L/K является алгебраическим тогда и только тогда, когда каждая K-субалгебра L является полем.

Относительные алгебраические замкнутости

При заданных полях k и K, содержащем k, относительной алгебраической замыкаемостью k в K называется подполе K, состоящее из всех элементов K, алгебраических над k, то есть всех элементов K, являющихся корнем некоторого ненулевого многочлена с коэффициентами в k.