Введение

Алгебраическая структура, в которой все многочлены имеют корни.

В математике, поле F называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен с ненулевой степенью в F[x] (кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами в F) имеет корень в F.

Примеры

Например, поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, поскольку полиномиальное уравнение не имеет решений в действительных числах, хотя все его коэффициенты (1 и 0) являются действительными. Тот же аргумент доказывает, что никакое подполе поля действительных чисел не является алгебраически замкнутым; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. В отличие от этого, фундаментальная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другим примером алгебраически замкнутого поля является поле (комплексных) алгебраических чисел. Ни одно конечное поле F не является алгебраически замкнутым, поскольку если a1, a2, ..., an – элементы F, то многочлен (x – a1)(x – a2)…(x – an) + 1 не имеет корней в F. Однако объединение всех конечных полей с фиксированной характеристикой p является алгебраически замкнутым полем, которое, фактически, является алгебраическим замыканием поля из p элементов.

Единственные необратимые многочлены - это многочлены первой степени.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственными неприводимыми многочленами в кольце многочленов F[x] являются многочлены степени один. Утверждение "многочлены первой степени неприводимы" тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнуто и p(x) — неприводимый многочлен из F[x], то у него есть корень a, и следовательно, p(x) делится на x − a. Поскольку p(x) неприводим, это означает, что p(x) = k(x − a), для некоторого k ∈ F \ {0}. С другой стороны, если F не является алгебраически замкнутым, то существует некоторый многочлен p(x) в F[x], не являющийся константой, без корней в F. Пусть q(x) — некоторый неприводимый множитель p(x). Поскольку p(x) не имеет корней в F, то и q(x) не имеет корней в F. Следовательно, степень q(x) больше единицы, поскольку каждый многочлен первой степени имеет корень в F.

Каждый многочлен - произведение многочленов первой степени

Поле F алгебраически замкнуто, если и только если каждый многочлен p(x) степени n ≥ 1 с коэффициентами в F разлагается на линейные множители. Иными словами, существуют элементы k, x₁, x₂, ..., xₙ поля F такие, что p(x) = k(x − x₁)(x − x₂)...(x − xₙ). Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый многочлен ненулевой степени в F[x] имеет корень в F; другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, то, что указанное свойство выполняется для F, если F алгебраически замкнуто, следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K любой многочлен в K[x] может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов.

У многочленов простых степеней есть корни

Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F, то каждый многочлен ненулевой степени имеет корень в F. Следовательно, поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F.

Поле не имеет надлежащего алгебраического расширения

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного алгебраического расширения. Если у F нет собственного алгебраического расширения, пусть p(x) – некоторый неприводимый многочлен в F[x]. Тогда факторкольцо F[x] по идеалу, порожденному p(x), является алгебраическим расширением F, степень которого равна степени p(x). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1, а следовательно, степень p(x) равна 1. С другой стороны, если у F есть некоторое собственное алгебраическое расширение K, то минимальный многочлен элемента из K \ F является неприводимым, и его степень больше 1.

Поле не имеет правильного конечного расширения

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного конечного расширения, поскольку если в предыдущем доказательстве заменить термин "алгебраическое расширение" на термин "конечное расширение", доказательство останется верным. (Конечные расширения по необходимости являются алгебраическими.)

Каждый эндоморфизм Fn имеет какой-то собственный вектор

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа n любая линейная карта из Fn в себя имеет хотя бы один собственный вектор. Эндоморфизм Fn имеет собственный вектор тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнуто, каждый эндоморфизм Fn имеет хотя бы один собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм Fn имеет собственный вектор, пусть p(x) – элемент F[x]. Разделив его на старший коэффициент, получим другой многочлен q(x), который имеет корни тогда и только тогда, когда p(x) имеет корни. Но если q(x) = xⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀, то q(x) является характеристическим многочленом для n×n компаньонской матрицы.

Разложение рациональных выражений

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждая рациональная функция одной переменной x с коэффициентами в F может быть представлена в виде суммы многочлена и рациональных функций вида a/(x − b)ⁿ, где n – натуральное число, а a и b – элементы F.

Если F алгебраически замкнуто, то, поскольку все неприводимые многочлены в F[x] имеют степень 1, указанное выше свойство следует из теоремы о разложении на простейшие дроби. С другой стороны, предположим, что указанное выше свойство выполняется для поля F. Пусть p(x) – неприводимый элемент в F[x]. Тогда рациональная функция 1/p может быть представлена в виде суммы многочлена q и рациональных функций вида a/(x − b)ⁿ. Следовательно, рациональное выражение

можно представить в виде частного двух многочленов, в котором знаменатель является произведением многочленов первой степени. Поскольку p(x) неприводим, он должен делить это произведение и, следовательно, сам должен быть многочленом первой степени.

Относительно простые многочлены и корни

Для любого поля F, если два многочлена p(x), q(x) ∈ F[x] взаимно просты, то у них нет общего корня, поскольку если a ∈ F был бы общим корнем, то p(x) и q(x) оба были бы делимы на x − a и, следовательно, не были бы взаимно простыми. Поля, для которых верно обратное утверждение (то есть поля, такие что если два многочлена не имеют общего корня, то они взаимно просты), являются именно алгебраически замкнутыми полями. Если поле F алгебраически замкнуто, пусть p(x) и q(x) — два многочлена, которые не являются взаимно простыми, и пусть r(x) — их наибольший общий делитель. Тогда, поскольку r(x) не является константой, у него будет корень a, который, следовательно, будет общим корнем p(x) и q(x). Если F не является алгебраически замкнутым, пусть p(x) — многочлен степени не меньше 1, не имеющий корней. Тогда p(x) и p(x) не являются взаимно простыми, но у них нет общих корней (поскольку ни один из них не имеет корней).

Другие свойства

Если F — алгебраически замкнутое поле, а n — натуральное число, то F содержит все n-е корни из единицы, поскольку это (по определению) n (не обязательно различных) корней многочлена xⁿ − 1. Расширение поля, содержащееся в расширении, порожденном корнями из единицы, называется циклотомическим расширением, а расширение поля, порожденное всеми корнями из единицы, иногда называют его циклотомическим замыканием. Таким образом, алгебраически замкнутые поля являются циклотомически замкнутыми. Обратное неверно. Даже предположение о том, что каждый многочлен вида xⁿ − a разлагается на линейные множители, недостаточно для того, чтобы гарантировать, что поле алгебраически замкнуто. Если утверждение, которое может быть выражено на языке логики первого порядка, истинно для алгебраически замкнутого поля, то оно истинно для любого алгебраически замкнутого поля с той же характеристикой. Более того, если такое утверждение верно для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно верно не только для всех остальных алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N, такое что утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля с характеристикой p при p > N.

Каждое поле F имеет расширение, которое является алгебраически замкнутым. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением. Среди всех таких расширений существует ровно одно (с точностью до изоморфизма, но не единственного изоморфизма), которое является алгебраическим расширением F; оно называется алгебраическим замыканием F.

Теория алгебраически замкнутых полей обладает свойством элиминации кванторов.