Темы

Теория полей

Field Theory · 34 статей

  1. Алгебраически замкнутые поля: определение и свойства

    Алгебраически замкнутое поле: определение, примеры (комплексные числа). Полиномы с корнями в поле. Не замкнуты рациональные и вещественные числа.

    #92 · 7 мин чтения

  2. Расширения полей с полиномиальными корнями

    Алгебраические расширения полей в математике: определение, свойства, примеры (рациональные числа, комплексные числа). Трансцендентные расширения и их отличие.

    #394 · 2 мин чтения

  3. Алгебраическое замыкание поля

    Алгебраическое замыкание поля: определение, существование и единственность (с точностью до изоморфизма). Ключевые понятия абстрактной алгебры и расширения полей.

    #674 · 2 мин чтения

  4. Поле в математике: определение и свойства

    Поле в математике: определение, свойства и примеры (рациональные, вещественные, комплексные числа). Применение в алгебре, криптографии и теории чисел.

    #2495 · 14 мин чтения

  5. Конечные поля и поля Галуа

    Конечное поле (Галуа) в математике: определение, свойства, примеры (целые числа по модулю p). Порядок поля – простое число или степень простого числа.

    #2757 · 9 мин чтения

  6. Расширения полей в алгебре: построение и свойства

    Расширение полей в алгебре: определение, примеры (комплексные числа, рациональные числа). Подполя, характеристики полей и их роль в теории Галуа.

    #2761 · 9 мин чтения

  7. Галуа группы и теория Галуа

    Галуа группа в математике: определение, связь с расширениями полей и полиномами. Основы теории Галуа и автоморфизмы полей. Абстрактная алгебра.

    #3018 · 4 мин чтения

  8. Алгебраические числа и целостность относительно кольца целых чисел

    Алгебраические числа: определение, свойства и связь с полиномами с целыми коэффициентами. Область алгебраических целых чисел и кольцо целых чисел.

    #22957 · 4 мин чтения

  9. Корни из единицы: математическое определение и свойства

    Корни из единицы: определение, свойства и применение в математике (теория чисел, преобразование Фурье). Комплексные числа и конечные поля.

    #52307 · 4 мин чтения

  10. Абелево расширение и теория Галуа

    Абелево расширение в алгебре: определение, свойства и связь с цикличными и разрешимыми расширениями. Теория полей классов и конечные поля.

    #52906 · 1 мин чтения

  11. Трансцендентные расширения полей и базис трансцендентности

    Трансцендентные расширения полей в математике: определение, базис трансцендентности, степень трансцендентности. Неалгебраические расширения и их применение.

    #72629 · 6 мин чтения

  12. Теория полей: глоссарий основных понятий

    Теория полей: математический глоссарий. Определение характеристики поля – наименьшего n, при котором n*1 = 0. Характеристика может быть и 0.

    #73210 · 4 мин чтения

  13. Гауссовы рациональные числа и поле Q(i)

    Гауссовы рациональные числа: определение, свойства и структура поля Q(i). Алгебраическое, квадратичное и циклотомическое расширение рациональных чисел.

    #77956 · 1 мин чтения

  14. Полиномиальные кольца: структура, свойства и алгоритмы факторизации.

    Полиномиальные кольца в алгебре: определение, свойства и применение в математике (теория чисел, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия).

    #87187 · 6 мин чтения

  15. Теорема о первообразном элементе в теории полей

    Теорема о примитивном элементе в теории полей: каждое конечное сепарабельное расширение поля простое. Примеры и доказательства для алгебраических чисел.

    #100314 · 3 мин чтения

  16. Галуа расширения полей

    Расширение Галуа: алгебраическое расширение полей, нормальное и сепарабельное. Теория Галуа, автоморфизмы, фиксированное поле и построение расширений.

    #101771 · 1 мин чтения

  17. Сопряжённые элементы в теории полей

    Алгебраические сопряжённые элементы: определение, свойства и связь с минимальным полиномом и автоморфизмами полей. Основы теории Галуа.

    #101984 · 2 мин чтения

  18. Фильтрация группы Галуа локального расширения поля

    Фильтрация группы Галуа локального расширения поля: теория разветвлений, локальная теория классов, расширения оценок. Математика, алгебра, теория чисел.

    #108620 · 1 мин чтения

  19. Совершенные поля и кольца: свойства и построение.

    Совершенные поля в алгебре: определение, свойства и признаки. Неприводимые полиномы, алгебраические и сепарабельные расширения. Математика, алгебра.

    #109258 · 3 мин чтения

  20. Арифметика в конечных полях

    Конечные поля: арифметика, свойства (p^n), применение в криптографии (AES), кодировании (BCH, Reed-Solomon), теории кодирования и дизайне экспериментов.

    #118865 · 5 мин чтения

  21. Теория Куммера и расширения полей

    Теория Куммера в абстрактной алгебре: расширения полей, корни n-й степени, теорема Ферма. Основа теории полей и абелевых расширений.

    #119537 · 2 мин чтения

  22. Обратная задача Галуа и реализация конечных групп как групп Галуа

    Обратная задача Галуа: существует ли расширение рациональных чисел с заданной группой Галуа? Не решена с 19 века. Группы до 5 степени известны.

    #139938 · 3 мин чтения

  23. Нормальное расширение поля

    Расширение полей в алгебре: нормальное расширение, его свойства и связь с расширениями Галуа. Определение, теоремы и эквивалентные условия.

    #161104 · 1 мин чтения

  24. Нормальные базисы в теории Галуа и алгебраической теории полей.

    Нормальное базисное расширение полей в алгебре: определение, теорема о нормальном базисе, отличие от базиса простых элементов. Галуа расширения.

    #172608 · 4 мин чтения

  25. Примитивные полиномы в конечных полях

    Примитивный полином в конечном поле: определение, свойства и связь с примитивным элементом GF(p^m). Неприводимость и условие делимости на x.

    #172695 · 4 мин чтения

  26. Теорема Кронекера — Вебера: об абелевых расширениях рациональных чисел

    Теорема Кронекера — Вебера: каждое конечное абелево расширение рациональных чисел Q содержится в некотором круговом поле. Алгебраическая теория чисел.

    #179006 · 2 мин чтения

  27. Обобщённые полиномы и обратная задача Галуа

    Обобщённый полином в теории Галуа: определение, свойства и связь с обратной задачей Галуа. Существование и построение для групп Sn.

    #213416 · 2 мин чтения

  28. Соответствие между полями и подгруппами в теории Галуа

    Теорема Галуа: связь полей и групп в математике. Описывает соответствие между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа для конечных расширений полей.

    #266914 · 2 мин чтения

  29. Gauss's lemma (polynomials)

    #300063 · 3 мин чтения

  30. Absolute Galois group

    #353830 · 1 мин чтения

  31. Степень расширения поля как размерность векторного пространства

    Степень расширения поля: определение, роль в алгебре и теории чисел. Размерность векторного пространства E над полем F обозначается [E:F].

    #439721 · 3 мин чтения

  32. Purely inseparable extension

    #460239 · 4 мин чтения

  33. Simple extension

    #460362 · 1 мин чтения

  34. Witt vector

    #497489 · 6 мин чтения