Введение

Алгебраическое расширение поля

В математике, в частности в абстрактной алгебре, алгебраическое замыкание поля K — это алгебраическое расширение K, которое является алгебраически замкнутым. Это одно из многих замыканий в математике. Используя лемму Зорна или более слабую лемму ультрафильтров, можно показать, что каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и что алгебраическое замыкание поля K уникально с точностью до изоморфизма, фиксирующего каждый элемент K. В силу этой существенной уникальности мы часто говорим об алгебраическом замыкании K, а не об алгебраическом замыкании K.

Алгебраическое замыкание поля K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K.
Чтобы увидеть это, заметим, что если L — любое алгебраическое расширение K, то алгебраическое замыкание L также является алгебраическим замыканием K, и, следовательно, L содержится в алгебраическом замыкании K.
Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K,
потому что если M — любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K, то элементы M, алгебраические над K, образуют алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность, что и K, если K бесконечно, и счетно бесконечно, если K конечно.

Существование алгебраического закрытия и разделения полей

Пусть – множество всех мо́нических неприводимых многочленов в K[x]. Для каждого вводим новые переменные , где . Пусть R – полиномиальное кольцо над K, порожденное всеми для всех и всех . Запишем

с . Пусть I – идеал в R, порожденный . Поскольку I строго меньше R, лемма Зорна влечет за собой существование максимального идеала M в R, содержащего I. Поле K1 = R/M обладает свойством, что каждый многочлен с коэффициентами в K раскладывается в произведение и, следовательно, имеет все корни в K1. Аналогичным образом можно построить расширение K2 поля K1 и так далее. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K, поскольку любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некотором Kn при достаточно большом n, а затем его корни лежат в Kn+1 и, следовательно, в самом объединении. Можно показать аналогичным образом, что для любого подмножества S из K[x] существует поле расщепления S над K.

Отдельная закрытка

Алгебраическое замыкание Kalg поля K содержит единственное сепарабельное расширение Ksep поля K, содержащее все (алгебраические) сепарабельные расширения K, находящиеся внутри Kalg. Это подрасширение называется сепарабельным замыканием K. Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова является сепарабельным, не существует конечных сепарабельных расширений Ksep степени больше 1. Другими словами, K содержится в сепарабельно замкнутом алгебраическом поле. Оно единственно с точностью до изоморфизма. Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K является совершенным полем. Например, если K – поле характеристики p и X трансцендентно над K, то это несепарабельное алгебраическое расширение поля. В общем случае, абсолютная группа Галуа поля K является группой Галуа Ksep над K.