Введение

Алгебраическая структура с сложением, умножением и делением. Алгебраическая структура.

В математике поле — это множество, на котором определены сложение, вычитание, умножение и деление и которые подчиняются тем же правилам, что и соответствующие операции над рациональными и действительными числами. Таким образом, поле является фундаментальной алгебраической структурой, широко используемой в алгебре, теории чисел и многих других областях математики. Наиболее известными полями являются поле рациональных чисел, поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Многие другие поля, такие как поля рациональных функций, алгебраических функций, алгебраических чисел и p-адические поля, обычно используются и изучаются в математике, особенно в теории чисел и алгебраической геометрии. Большинство криптографических протоколов основаны на конечных полях, то есть полях с конечным числом элементов. Теория полей доказывает невозможность построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. Теория Галуа, посвященная изучению симметрий расширений полей, предоставляет элегантное доказательство теоремы Абеля — Руффини о том, что общие уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах. Поля служат основополагающими понятиями в различных математических областях, включая различные разделы математического анализа, которые базируются на полях с дополнительной структурой. Основные теоремы анализа опираются на структурные свойства поля действительных чисел. Особенно важно для алгебраических целей, что любое поле может быть использовано в качестве поля скаляров для векторного пространства, что является стандартным общим контекстом для линейной алгебры. Числовые поля, являющиеся обобщением поля рациональных чисел, глубоко изучаются в теории чисел. Поля функций могут помочь в описании свойств геометрических объектов.

Классическое определение

Формально, поле представляет собой множество F вместе с двумя бинарными операциями на F, называемыми сложением и умножением. Бинарная операция на F — это отображение F × F → F, то есть соответствие, которое сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов F единственный элемент F. Результат сложения a и b называется суммой a и b и обозначается a + b. Аналогично, результат умножения a и b называется произведением a и b и обозначается ab или a ⋅ b. Эти операции должны удовлетворять следующим свойствам, называемым аксиомами поля (в этих аксиомах a, b и c — произвольные элементы поля F): ассоциативность сложения и умножения: a + (b + c) = (a + b) + c и a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c. Коммутативность сложения и умножения: a + b = b + a и a ⋅ b = b ⋅ a. Наличие аддитивного и мультипликативного нейтрального элемента: в F существуют два различных элемента 0 и 1, такие, что a + 0 = a и a ⋅ 1 = a. Аддитивные обратные: для каждого a в F существует элемент в F, обозначаемый −a, называемый аддитивным обратным к a, такой, что a + (−a) = 0. Мультипликативные обратные: для каждого a ≠ 0 в F существует элемент в F, обозначаемый a⁻¹ или 1/a, называемый мультипликативным обратным к a, такой, что a ⋅ a⁻¹ = 1. Распределительность умножения относительно сложения: a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). Эквивалентное и более краткое определение: поле имеет две коммутативные операции, называемые сложением и умножением; оно является группой относительно сложения с 0 в качестве нейтрального элемента; ненулевые элементы образуют группу относительно умножения с 1 в качестве нейтрального элемента; и умножение распределяется относительно сложения. Еще более кратко: поле — это коммутативное кольцо, где 0 ≠ 1 и все ненулевые элементы обратимы относительно умножения.

Альтернативное определение

Поля также могут быть определены различными, но эквивалентными способами. Можно также определить поле четырьмя бинарными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) и их необходимыми свойствами. Деление на ноль, по определению, исключено. Чтобы избежать использования кванторов существования, поля можно определить двумя бинарными операциями (сложение и умножение), двумя унарными операциями (генерирующими соответственно аддитивную и мультипликативную обратные) и двумя нульарными операциями (константы 0 и 1). Эти операции затем должны удовлетворять вышеуказанным условиям. Избежание кванторов существования важно в конструктивной математике и информатике. Эквивалентно можно определить поле теми же двумя бинарными операциями, одной унарной операцией (мультипликативной обратной) и двумя (не обязательно различными) константами 1 и −1, поскольку 1 = 0 = 1 + (−1) и 1 = −a = (−1)a.

Конструируемые числа

В древности несколько геометрических проблем касались (не)возможности построения определенных чисел с помощью циркуля и линейки. Например, грекам было неизвестно, что в общем случае невозможно построить угол, равный одной трети заданного угла, используя только циркуль и линейку. Эти проблемы могут быть решены с помощью теории конструктивных чисел. Конструктивные числа по определению – это длины отрезков, которые можно построить из точек 0 и 1 за конечное число шагов, используя только циркуль и линейку. Эти числа, наделенные операциями поля вещественных чисел, ограниченными конструктивными числами, образуют поле, которое строго включает в себя поле 'Q' рациональных чисел. На иллюстрации показано построение квадратных корней из конструктивных чисел, не обязательно принадлежащих 'Q'. Используя обозначения на иллюстрации, постройте отрезки AB, BD и полуокружность над AD (с центром в середине C), которая пересекает перпендикуляр к AD, проходящий через B, в точке F, находящейся на расстоянии от B, равном , когда BD имеет длину один. Не все действительные числа являются конструктивными. Можно показать, что число не является конструктивным, что означает невозможность построения с помощью циркуля и линейки длины стороны куба объемом 2 – еще одной задачи, поставленной древними греками.

Элементарные понятия

В этом разделе F обозначает произвольное поле, а a и b — произвольные элементы F.

Адитивные и умножающие группы поля

Аксиомы поля F подразумевают, что оно является абелевой группой относительно сложения. Эта группа называется аддитивной группой поля и иногда обозначается (F, +), когда обозначение просто F может быть неоднозначным. Аналогично, ненулевые элементы F образуют абелеву группу относительно умножения, называемую мультипликативной группой, и обозначаются F* или просто *, или F^(×). Таким образом, поле можно определить как множество F, снабженное двумя операциями – сложением и умножением – такими, что F является абелевой группой относительно сложения, F* является абелевой группой относительно умножения (где 0 является нейтральным элементом сложения), и умножение распределительно относительно сложения. Следовательно, некоторые элементарные утверждения о полях можно получить, применяя общие свойства групп. Например, аддитивный и мультипликативный обратные элементы −a и a^(−1) однозначно определяются элементом a. Требование 1 ≠ 0 вводится по соглашению для исключения тривиального кольца, состоящего из одного элемента; это определяет выбор аксиом, определяющих поля. Каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической (см.).

Подполя и основные поля

Подполе E поля F — это подмножество F, являющееся полем относительно полевых операций F. Эквивалентно, E — это подмножество F, содержащее 1 и замкнутое относительно сложения, умножения, взятия аддитивной обратной и взятия мультипликативной обратной ненулевого элемента. Это означает, что 1 ∈ E, что для всех a, b ∈ E оба элемента a + b и a ⋅ b принадлежат E, и что для всех a ≠ 0 в E оба элемента −a и 1/a принадлежат E. Гомоморфизмы полей — это отображения φ: E → F между двумя полями, такие что φ(e1 + e2) = φ(e1) + φ(e2), φ(e1e2) = φ(e1)φ(e2) и φ(1E) = 1F, где e1 и e2 — произвольные элементы E. Все гомоморфизмы полей инъективны. Если φ также сюръективно, то оно называется изоморфизмом (или поля E и F называются изоморфными). Поле называется простым полем, если у него нет собственных (то есть строго меньших) подполей. Любое поле F содержит простое поле. Если характеристика F равна p (простому числу), то простое поле изоморфно конечному полю Fp, вводимому ниже. В противном случае простое поле изоморфно Q.

Создание полей из колец

Коммутативное кольцо – это множество, снабжённое операциями сложения и умножения и удовлетворяющее всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных элементов a⁻¹. Например, целые числа Z образуют коммутативное кольцо, но не поле: обратная величина целого числа n не является целым числом, если только n = ±1 или n = 1. В иерархии алгебраических структур поля можно охарактеризовать как коммутативные кольца R, в которых каждый ненулевой элемент является обратимым элементом (то есть каждый элемент имеет обратный). Аналогично, поля – это коммутативные кольца, имеющие ровно два различных идеала: (0) и R. Поля также являются коммутативными кольцами, в которых (0) – единственный простой идеал. Для заданного коммутативного кольца R существует два способа построения поля, связанного с R, то есть два способа модификации R так, чтобы все ненулевые элементы стали обратимыми: построение поля частных и построение полей вычетов. Поле частных Z – это Q, рациональные числа, а поля вычетов Z – конечные поля Fₚ.

Поле дробей

Для заданного интегрального домена R его поле частных Q(R) строится как множество дробей двух элементов R, аналогично тому, как Q строится из целых чисел. Более точно, элементы Q(R) – это дроби вида a/b, где a и b принадлежат R, и b ≠ 0. Две дроби a/b и c/d равны тогда и только тогда, когда ad = bc. Операции над дробями выполняются точно так же, как и над рациональными числами. Например, легко показать, что если кольцо является интегральным доменом, то множество дробей образует поле. Поле F(x) рациональных функций над полем (или интегральным доменом) F является полем частных полиномиального кольца F[x]. Поле F((x)) рядов Лорана над полем F является полем частных кольца F[[x]] формальных степенных рядов (где k ≥ 0). Поскольку любой ряд Лорана можно представить в виде частного степенного ряда и некоторой степени x (в отличие от произвольного степенного ряда), представление дробей в этом случае менее существенно.

Создание полей в большом поле

Поля могут быть построены внутри заданного большего поля-контейнера. Пусть дано поле E и поле F, содержащее E как подполе. Для любого элемента x из F существует наименьшее подполе F, содержащее E и x, называемое подполем F, порожденным x и обозначаемое E(x). Переход от E к E(x) называется присоединением элемента к E. В более общем смысле, для подмножества S ⊆ F существует минимальное подполе F, содержащее E и S, обозначаемое E(S). Композитум двух подполей E и некоторого поля F является наименьшим подполем F, содержащим оба поля E и . Композитум можно использовать для построения наибольшего подполя F, удовлетворяющего определенному свойству, например, наибольшего подполя F, которое, в языке, вводимом ниже, алгебраично над E.

Основы трансцендентности

Вышеупомянутое поле рациональных дробей E(X), где X – неопределённость, не является алгебраическим расширением E, поскольку не существует многочленного уравнения с коэффициентами из E, корнем которого является X. Элементы, такие как X, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. Неформально говоря, неопределённость X и её степени не взаимодействуют с элементами E. Аналогичную конструкцию можно осуществить с набором неопределённостей, а не только с одной. Вновь, рассмотренное выше расширение поля E(x) / E является ключевым примером: если x не является алгебраическим (то есть, x не является корнем многочлена с коэффициентами в E), то E(x) изоморфно E(X). Этот изоморфизм получается заменой x на X в рациональных дробях. Подмножество S поля F является базисом трансцендентности, если оно алгебраически независимо (не удовлетворяет никаким полиномиальным соотношениям) над E и если F является алгебраическим расширением E(S). Любое расширение поля F / E имеет базис трансцендентности. Таким образом, расширения поля можно разделить на расширения вида E(S) / E (чисто трансцендентные расширения) и алгебраические расширения.

Поля с дополнительной структурой

Поскольку поля широко распространены в математике и за её пределами, ряд уточнений этой концепции был адаптирован к нуждам различных областей математики.

Дифференциальные поля

Дифференциальные поля — это поля, снабженные операцией взятия производной, то есть позволяющие вычислять производные элементов поля. Например, поле R(X) вместе со стандартной производной многочленов образует дифференциальное поле. Эти поля играют центральную роль в дифференциальной теории Галуа — разделе теории Галуа, изучающем линейные дифференциальные уравнения.

Инварианты полей

Основные инварианты поля F включают характеристику и степень трансцендентности F над его простым полем. Последняя определяется как максимальное число элементов в F, алгебраически независимых над простым полем. Два алгебраически замкнутых поля E и F изоморфны тогда и только тогда, когда эти два инварианта совпадают. Это означает, что любые два несчётные алгебраически замкнутые поля одинаковой кардинальности и одинаковой характеристики изоморфны. Например, и 'C' изоморфны (но не изоморфны как топологические поля).

Абсолютная группа Галуа

Для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми (или не сепарабельно замкнутыми), абсолютная группа Галуа Gal(F) имеет фундаментальное значение: расширяя случай конечных расширений Галуа, описанный выше, эта группа управляет всеми конечными сепарабельными расширениями F. Элементарными средствами можно показать, что группа Gal(Fq) является группой Пруфера, проконечным завершением Z. Это утверждение включает в себя тот факт, что единственными алгебраическими расширениями Gal(Fq) являются поля Gal(Fq^n) для n > 0, и что группы Галуа этих конечных расширений задаются как Gal(Fq^n / Fq) = Z/nZ. Описание с точки зрения образующих и соотношений также известно для групп Галуа p-адических числовых полей (конечных расширений Qp). Представления групп Галуа и связанных с ними групп, таких как группа Вейля, фундаментальны во многих областях арифметики, например, в программе Ленгландса. Когомологическое изучение таких представлений проводится с использованием когомологии Галуа. Например, группа Брауэра, которая классически определяется как группа центральных простых F-алгебр, может быть переинтерпретирована как группа когомологии Галуа, а именно Br(F) = H²(F, Gm).

Геометрия: область функций

Функции на подходящем топологическом пространстве X в поле F могут быть сложены и перемножены поточечно, например, произведение двух функций определяется произведением их значений в области определения: это делает эти функции F-коммутативной алгеброй. Для получения поля функций необходимо рассматривать алгебры функций, являющиеся целостными областями. В этом случае отношения двух функций, то есть выражения вида, образуют поле, называемое полем функций. Это происходит в двух основных случаях. Когда X является комплексным многообразием. В этом случае рассматривается алгебра голоморфных функций, то есть комплексно дифференцируемых функций. Их отношения образуют поле мероморфных функций на X. Поле функций алгебраического многообразия X (геометрического объекта, определяемого как общие нули полиномиальных уравнений) состоит из отношений регулярных функций, то есть отношений полиномиальных функций на многообразии. Поле функций n-мерного пространства над полем F равно F(x₁, …, xₙ), то есть поле, состоящее из отношений многочленов от n переменных. Поле функций X совпадает с полем функций любого открытого плотного подмногообразия. Другими словами, поле функций нечувствительно к замене X на (немного) меньшее подмногообразие. Поле функций инвариантно относительно изоморфизмов и бирациональной эквивалентности многообразий. Поэтому оно является важным инструментом для изучения абстрактных алгебраических многообразий и классификации алгебраических многообразий. Например, размерность, равная степени трансцендентности F(X), инвариантна относительно бирациональной эквивалентности. Для кривых (то есть, размерность равна единице), поле функций F(X) очень близко к X: если X гладкое и проективное (аналог компактности), X может быть восстановлено, с точностью до изоморфизма, по его полю функций. В более высоких размерностях поле функций запоминает меньше, но всё же важную информацию о X. Изучение полей функций и их геометрического смысла в более высоких размерностях называется бирациональной геометрией. Минимальная модель программа стремится определить простейшие (в определенном точном смысле) алгебраические многообразия с заданным полем функций.

Связанные понятия

В дополнение к дополнительной структуре, которой могут обладать поля, поля допускают различные другие связанные понятия. Поскольку в любом поле 0 ≠ 1, любое поле содержит как минимум два элемента. Тем не менее, существует понятие поля с одним элементом, которое рассматривается как предел конечных полей Fp при стремлении p к 1. Помимо колец деления, существуют различные другие более слабые алгебраические структуры, связанные с полями, такие как квазиполя, почти поля и полуполя. Существуют также собственные классы, обладающие структурой поля, которые иногда называют Полями с заглавной буквы "F". Сюрреальные числа образуют Поле, содержащее действительные числа, и являлись бы полем, если бы не тот факт, что они представляют собой собственный класс, а не множество. Нимберы, концепция из теории игр, также образуют такое Поле.

Разделительные кольца

Отбрасывание одной или нескольких аксиом в определении поля приводит к другим алгебраическим структурам. Как уже упоминалось выше, коммутативные кольца удовлетворяют всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных. Отказ от коммутативности умножения приводит к понятию кольца делений или скошенного поля; иногда ассоциативность также ослабляется. Единственными кольцами делений, являющимися конечномерными векторными пространствами над R, являются само R, C (которое является полем) и кватернионы H (в которых умножение некоммутативно). Этот результат известен как теорема Фробениуса. Октонионы O, для которых умножение не является ни коммутативным, ни ассоциативным, представляют собой нормированную альтернативную алгебру деления, но не являются кольцом делений. Этот факт был доказан методами алгебраической топологии в 1958 году Мишелем Кервером, Раулем Ботом и Джоном Милнором.