Введение

Построение большего алгебраического поля путем "добавления элементов" к меньшему полю. В математике, особенно в алгебре, расширение поля (обозначаемое ) — это пара полей , такая, что операции в K являются операциями в L, ограниченными K. В этом случае L является расширением поля K, а K — подполем L. Например, при обычном понимании сложения и умножения, комплексные числа являются расширением поля действительных чисел; действительные числа являются подполем комплексных чисел. Расширения полей фундаментальны в алгебраической теории чисел и в изучении корней многочленов посредством теории Галуа, а также широко используются в алгебраической геометрии.

Подполе

Подполе поля — это подмножество, которое само является полем относительно операций поля, унаследованных от него. Эквивалентно, подполе — это подмножество, содержащее 0 и 1, и замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения и взятия обратного ненулевого элемента. Поскольку 1 = 1 – 0, последнее определение подразумевает, что 0 и 1 имеют один и тот же нулевой элемент. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, которое, в свою очередь, является подполем поля комплексных чисел. В более общем случае, поле рациональных чисел является (или изоморфно) подполем любого поля характеристики *p*. Характеристика подполя совпадает с характеристикой исходного поля.

Поле расширения

Если K является подполем L, то L является расширением поля или просто расширением K, и эта пара полей образует расширение поля. Такое расширение поля обозначается (читается как "L над K"). Если L является расширением F, которое, в свою очередь, является расширением K, то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением, или подрасширением) в расширении . Большее поле L является векторным пространством над K. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается .

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение называется тривиальным. Расширения степени 2 и 3 называются квадратичными и кубическими расширениями соответственно. Конечное расширение – это расширение, имеющее конечную степень. Для двух расширений и , расширение конечно, если и только если оба расширения и конечны. В этом случае имеет место следующее равенство: .

Для расширения поля и подмножества S в L существует наименьшее подполе L, содержащее K и S. Это пересечение всех подполей L, содержащих K и S, и обозначается K(S) (читается как "K и S"). Говорят, что K(S) – это поле, порожденное S над K, и что S – это порождающее множество для K(S) над K. Когда , пишут вместо и говорят, что K(S) имеет степень над K. Если S состоит из одного элемента s, то расширение K(s) / K называется простым расширением, а s называется примитивным элементом расширения. Часто говорят, что поле расширения вида K(S) получается в результате присоединения S к K.

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивных элементах, которая не верна для полей ненулевой характеристики. Если простое расширение K(s) / K не конечно, то поле K(s) изоморфно полю рациональных функций от s над K.

Кавеат

Обозначение L / K является чисто формальным и не подразумевает образование кольца частных или группы частных, или какого-либо другого вида деления. Вместо этого косая черта выражает слово "над". В некоторых публикациях используется обозначение L:K. Часто бывает полезно говорить о расширениях поля в ситуациях, когда меньшее поле фактически не содержится в большем, но естественно вложено в него. С этой целью расширение поля абстрактно определяется как инъективный гомоморфизм колец между двумя полями. Любой ненулевой гомоморфизм колец между полями является инъективным, поскольку поля не имеют нетривиальных собственных идеалов, поэтому расширения поля являются, по сути, морфизмами в категории полей. В дальнейшем мы будем опускать упоминание об инъективном гомоморфизме и будем подразумевать, что мы имеем дело с фактическими подполями.

Алгебраическое расширение

Элемент x расширения поля алгебраический над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Например, √2 алгебраический над рациональными числами, потому что он является корнем многочлена x² - 2. Если элемент x из L алгебраический над K, то моничный многочлен наименьшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом x. Этот минимальный многочлен неприводим над K.

Элемент s из L алгебраический над K тогда и только тогда, когда простое расширение K(s) / K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, и базис векторного пространства K(s) над K состоит из 1, s, s², ..., s^(d-1), где d – степень минимального многочлена. Множество элементов L, алгебраических над K, образует подрасширение, которое называется алгебраическим замыканием K в L. Это следует из предыдущей характеристики: если s и t алгебраические, то расширения K(s) / K и K(s)(t) / K(s) конечны. Следовательно, K(s, t) / K также конечно, как и подрасширения K(s ± t) / K, K(st) / K и K(1/s) / K (если s ≠ 0). Отсюда следует, что s ± t, st и 1/s также алгебраические. Алгебраическое расширение – это расширение, в котором каждый элемент L алгебраический над K. Эквивалентно, алгебраическое расширение – это расширение, порожденное алгебраическими элементами. Например, ℂ является алгебраическим расширением ℝ, потому что i и π алгебраичны над ℝ.

Простое расширение алгебраическое тогда и только тогда, когда оно конечно. Это подразумевает, что расширение алгебраическое тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим. Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое, с точностью до изоморфизма, является наибольшим полем расширения K, алгебраическим над K, а также наименьшим полем расширения, в котором каждый многочлен с коэффициентами в K имеет корень. Например, ℂ является алгебраическим замыканием ℝ, но не алгебраическим замыканием ℚ, поскольку оно не алгебраично над ℚ (например, e не алгебраичен над ℚ).

Трансцендентальное расширение

При расширении поля, подмножество S поля L называется алгебраически независимым над K, если среди элементов S не существует ненулевого полиномиального соотношения с коэффициентами в K. Наибольшая кардинальность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности L/K. Всегда можно найти множество S, алгебраически независимое над K, такое что L/K(S) является алгебраическим расширением. Такое множество S называется базисом трансцендентности L/K. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую кардинальность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение называется чисто трансцендентным тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентности S такой, что L = K(S). Такое расширение обладает свойством, что все элементы L, кроме элементов K, являются трансцендентными над K, но, тем не менее, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными – класс таких расширений имеет вид L/K, где и L, и K алгебраически замкнуты. Если L/K чисто трансцендентно и S является базисом трансцендентности расширения, это не обязательно означает, что L = K(S). Наоборот, даже если известен базис трансцендентности, может быть трудно определить, является ли расширение чисто сепарабельным, и если это так, может быть трудно найти базис трансцендентности S, такой что L = K(S). Например, рассмотрим расширение, где α трансцендентно над K, а β является корнем уравнения f(x) = 0. Такое расширение можно определить как K(α, β), где α и β – эквивалентные классы. Очевидно, что множество {α} является трансцендентным над K, а расширение K(α, β)/K алгебраическим; следовательно, α является базисом трансцендентности, который не порождает расширение. Аналогично, β является базисом трансцендентности, который не порождает всё расширение. Однако расширение чисто трансцендентно, так как, если взять множество {α, β}, то K(α, β) = K(α)β и, таким образом, оно порождает всё расширение. Чисто трансцендентные расширения алгебраически замкнутого поля возникают как поля функций рациональных многообразий. Проблема нахождения рациональной параметризации рационального многообразия эквивалентна проблеме нахождения базиса трансцендентности, который порождает всё расширение.

Нормальные, отделяемые и галоисовые расширения

Алгебраическое расширение называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен в K[X], имеющий корень в L, полностью разлагается на линейные множители над L. Каждое алгебраическое расширение F/K допускает нормальное замыкание L, которое является полем расширения F, нормальным и минимальным по этому свойству. Алгебраическое расширение называется разделимым, если минимальный многочлен каждого элемента L над K является разделимым, то есть не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании над K. Расширение Галуа – это расширение поля, которое является одновременно нормальным и разделимым. Следствие теоремы о примитивном элементе состоит в том, что каждое конечное разделимое расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым). Для любого расширения поля можно рассмотреть его группу автоморфизмов, состоящую из всех автоморфизмов поля α: L → L, таких что α(x) = x для всех x из K. Если расширение является расширением Галуа, то эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелева, называются абелевыми расширениями. Для заданного расширения поля часто представляют интерес промежуточные поля (подполя L, содержащие K). Значение расширений Галуа и групп Галуа заключается в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует взаимно однозначное соответствие между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемое фундаментальной теоремой теории Галуа.

Обобщения

Расширения поля могут быть обобщены на кольцевые расширения, состоящие из кольца и одного из его подколец. Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) – кольцевые расширения над полем, которые являются простыми алгебрами (не имеют нетривиальных двусторонних идеалов, как и поле) и центр которых равен этому полю. Например, единственным конечным расширением поля действительных чисел являются комплексные числа, тогда как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, и все CSA над действительными числами Брауэра эквивалентны действительным числам или кватернионам. CSA можно обобщить до алгебр Азумаи, где базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом.

Расширение скаляров

При расширении поля можно "расширить скаляры" на связанные с ним алгебраические объекты. Например, для заданного вещественного векторного пространства можно получить комплексное векторное пространство посредством комплексификации. Помимо векторных пространств, расширение скаляров можно применять к ассоциативным алгебрам, определенным над полем, таким как многочлены или групповые алгебры, а также к связанным с ними представлениям групп. Расширение скаляров для многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может быть рассмотрено и более формально. Расширение скаляров имеет множество применений, как обсуждается в статье "Расширение скаляров: применения".