Введение

Непрерывная функция, не являющаяся абсолютно непрерывной

В математике функция Кантора является примером функции, которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна. Это широко известный контрпример в анализе, поскольку он ставит под сомнение интуитивные представления о непрерывности, производной и мере. Хотя она непрерывна во всех точках и её производная равна нулю почти всюду, её значение всё равно изменяется от 0 до 1 при изменении аргумента от 0 до 1. Таким образом, в одном смысле функция кажется очень похожей на постоянную, которая не может возрастать, а в другом – она действительно монотонно возрастает. Она также известна как троичная функция Кантора, функция Лебега, сингулярная функция Лебега, функция Кантора-Витали, «лестница дьявола», функция-лестница Кантора и функция Кантора-Лебега. Ввёл функцию Кантора и отметил, что Шеффер указал на то, что она является контрпримером к расширению фундаментальной теоремы исчисления, предложенному Харнаком. Функция Кантора была исследована и популяризирована , и .

Свойства

Функция Кантора бросает вызов интуитивным представлениям о непрерывности и мере; хотя она непрерывна во всех точках и имеет нулевую производную почти всюду, она изменяется от 0 до 1 вместе с изменением аргумента от 0 до 1, принимая все промежуточные значения. Функция Кантора является наиболее часто приводимым примером вещественной функции, которая является равномерно непрерывной (точнее, она является Holder-непрерывной с показателем α = log 2 / log 3), но не абсолютно непрерывной. Она постоянна на интервалах вида (0.x1x2x3…xn022222, 0.x1x2x3…xn200000), и каждая точка, не принадлежащая множеству Кантора, находится в одном из этих интервалов, поэтому её производная равна 0 вне множества Кантора. С другой стороны, она не имеет производной ни в одной точке неисчислимого подмножества множества Кантора, содержащего описанные выше конечные точки интервалов. Функцию Кантора также можно рассматривать как функцию кумулятивного распределения вероятности меры Бернулли μ с параметрами 1/2 и 1/2, сосредоточенной на множестве Кантора: это распределение вероятности, называемое распределением Кантора, не имеет дискретной части. То есть, соответствующая мера не имеет атомов. Именно поэтому в функции отсутствуют разрывные скачки; любой такой скачок соответствовал бы атому в мере. Однако, ни одна неконстантная часть функции Кантора не может быть представлена в виде интеграла функции плотности вероятности; интегрирование любой предполагаемой функции плотности вероятности, которая не равна нулю почти всюду, по любому интервалу даст положительную вероятность некоторому интервалу, которому это распределение присваивает вероятность ноль. В частности, как было отмечено, функция не является интегралом своей производной, хотя производная существует почти всюду. Функция Кантора является стандартным примером сингулярной функции. Функция Кантора также является стандартным примером функции с ограниченной вариацией, но, как упоминалось выше, не является абсолютно непрерывной. Однако, каждая абсолютно непрерывная функция непрерывна и имеет ограниченную вариацию. Функция Кантора не убывает, и, следовательно, её график определяет поправимую кривую. Было показано, что длина дуги её графика равна 2. Следует отметить, что график любой неубывающей функции, такой что и , имеет длину не более 2. В этом смысле функция Кантора является экстремальной.

Отсутствие абсолютной преемственности

Поскольку мера Лебега несчетного множества Кантора равна 0, для любого положительного ε < 1 и δ существует конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов общей длины < δ, на которых функция Кантора кумулятивно возрастает более чем на ε. Фактически, для каждого δ > 0 существует конечное число попарно непересекающихся интервалов (xk, yk) (1 ≤ k ≤ M) с и .

Фрактальный объем

Функция Кантора тесно связана с множеством Кантора. Множество Кантора C можно определить как множество тех чисел в интервале [0, 1], которые не содержат цифру 1 в их троичном (триадическом) представлении, за исключением случаев, когда за 1 следуют только нули (в этом случае окончание 1000 можно заменить на 0222, чтобы исключить любые 1). Оказывается, что множество Кантора является фракталом, содержащим (несчетно) бесконечное число точек (объем нулевой размерности), но имеющим нулевую длину (объем одномерной размерности). Только D-мерный объем (в смысле меры Хаусдорфа) принимает конечное значение, где D – фрактальная размерность C. Мы можем определить функцию Кантора альтернативно как D-мерный объем сечений множества Кантора.