Введение

Математическая группа, основанная на конечном числе элементов.

В абстрактной алгебре конечная группа — это группа, базовое множество которой конечно. Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Важными примерами конечных групп являются циклические группы и группы перестановок. Изучение конечных групп является неотъемлемой частью теории групп с момента её возникновения в XIX веке. Одной из основных областей исследований является классификация: классификация конечных простых групп (тех, у которых нет нетривиальных нормальных подгрупп) была завершена в 2004 году.

История

В течение двадцатого века математики глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп. В результате была достигнута полная классификация конечных простых групп, то есть теперь известны все простые группы, из которых можно построить любые конечные группы. Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Штайнберг, также углубили наше понимание конечных аналогов классических групп и других связанных с ними групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями. Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, если эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли, которую можно рассматривать как изучение "непрерывной симметрии", в значительной степени определяется связанными с ней группами Вейля. Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими в конечномерном евклидовом пространстве. Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких областях, как теоретическая физика и химия.

Пермутационные группы

Симметрическая группа Sn на конечном множестве из n символов — это группа, элементами которой являются все перестановки этих n символов, а групповой операцией — композиция таких перестановок, рассматриваемых как биективные функции из множества символов в само себя. Поскольку существует n! (n факториал) возможных перестановок множества из n символов, следует, что порядок (количество элементов) симметрической группы Sn равен n!.

Циклические группы

Циклическая группа Zn — это группа, все элементы которой являются степенями некоторого элемента a, где e — нейтральный элемент. Типичной реализацией этой группы является множество комплексных корней из единицы. Отображение a в первообразный корень из единицы дает изоморфизм между этими группами. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.

Конечные абелевы группы

Абелева группа, также называемая коммутативной группой, — это группа, в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от порядка этих элементов (аксиома коммутативности). Она названа в честь Нильса Хенрика Абеля. Любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп простого степенного порядка, и эти порядки однозначно определены, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые разработана в работе Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера в 1879 году, а затем упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, что составляет важную главу линейной алгебры.

Группы типа Ли

Группа типа Ли — это группа, тесно связанная с группой G(k) рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы G со значениями в поле k. Конечные группы типа Ли составляют основную часть неабелевых конечных простых групп. К особым случаям относятся классические группы, группы Шевалье, группы Штайнберга и группы Сузуки — Ри. Конечные группы типа Ли были одними из первых групп, рассматриваемых в математике, после циклических, симметричных и чередующихся групп, при этом проективные специальные линейные группы над конечными полями PSL(2, p) были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп типа Ли началось с теоремы Камилла Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL(n, q) конечных простых групп. Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале XX века. В 1950-х годах Клод Шевалье понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k, что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалье. Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы (теорема простоты Тица). Хотя с XIX века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалье вместе с циклическими и чередующимися группами. Более того, исключения — спорадические группы — имеют много общих свойств с конечными группами типа Ли и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Тица. Это убеждение теперь стало теоремой — классификацией конечных простых групп. Анализ списка конечных простых групп показывает, что группы типа Ли над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, чередующихся групп, группы Тица и 26 спорадических простых групп.

Теорема Лагранжа

Для любой конечной группы G порядок (количество элементов) каждой подгруппы H группы G делит порядок G. Теорема названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.

Теоремы Силоу

Это даёт частичное обратное к теореме Лагранжа, предоставляющее информацию о количестве подгрупп заданного порядка, содержащихся в G.

Теорема Кейли

Теорема Кейли, названная в честь Артура Кейли, утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы, действующей на множестве G. Это можно рассматривать как пример действия группы G на элементы множества G.

Теорема Бернсайд

Теорема Бернсайда в теории групп утверждает, что если G — конечная группа порядка pq, где p и q — простые числа, а a и b — неотрицательные целые числа, то G разрешима. Следовательно, порядок каждой неабелевой конечной простой группы делится по крайней мере на три различных простых числа.

Факты теоремы Томпсона

Теорема Фейта-Томпсона, или теорема о группах нечетного порядка, утверждает, что любая конечная группа нечетного порядка является разрешимой. Она была доказана

Количество групп данного порядка

При заданном положительном целом числе n, определение количества типов изоморфизма групп порядка n вовсе не является тривиальной задачей. Каждая группа простого порядка циклична, поскольку теорема Лагранжа подразумевает, что циклическая подгруппа, порожденная любым её неединичным элементом, совпадает со всей группой. Если n является квадратом простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма групп порядка n, и оба они абелевы. Если n является более высокой степенью простого числа, то результаты Грэма Хигмана и Чарльза Симса дают асимптотически точные оценки количества типов изоморфизма групп порядка n, и это число очень быстро растет с увеличением степени. В зависимости от разложения n на простые множители, на структуру групп порядка n могут быть наложены определенные ограничения, как следствие, например, теорем Силоу. Например, каждая группа порядка pq циклична, когда q < p – простые числа и p − 1 не делится на q. Для необходимого и достаточного условия обратитесь к понятию циклического числа. Если n свободно от квадратов, то любая группа порядка n разрешима. Теорема Бернсайда, доказанная с использованием характеров групп, утверждает, что каждая группа порядка n разрешима, когда n делится менее чем на три различных простых числа, то есть если n = paqb, где p и q – простые числа, а a и b – неотрицательные целые числа. По теореме Фейта — Томпсона, которая имеет длинное и сложное доказательство, каждая группа порядка n разрешима, когда n нечетно. Для каждого положительного целого числа n большинство групп порядка n разрешимы. Убедиться в этом для конкретного порядка обычно несложно (например, существует одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60, если рассматривать их с точностью до изоморфизма), но доказательство этого для всех порядков использует классификацию конечных простых групп. Для любого положительного целого числа n существует не более двух простых групп порядка n, и существует бесконечно много положительных целых чисел n, для которых существуют две неизоморфные простые группы порядка n.