Введение
Топологическое пространство в математике
В топологии длинная линия (или линия Александрова) — топологическое пространство, в некотором смысле похожее на действительную прямую, но «длиннее». Она ведет себя локально так же, как и действительная прямая, но обладает иными свойствами в крупном масштабе (например, она не является ни линделёфовским, ни сепарабельным). Поэтому она служит важным контрпримером в топологии. Интуитивно, обычная действительная прямая состоит из счетного числа отрезков прямой, соединенных последовательно, в то время как длинная линия построена из несчетного числа таких отрезков.
In topology, the long line (or Alexandroff line) is a topological space somewhat similar to the real line, but in a certain way "longer". It behaves locally just like the real line, but has different large scale properties (e. g., it is neither Lindelöf nor separable). Therefore, it serves as an important counterexample in topology. Intuitively, the usual real number line consists of a countable number of line segments laid end to end, whereas the long line is constructed from an uncountable number of such segments.
Определение
Закрытый длинный луч определяется как декартово произведение первого несчётного ординала с полуоткрытым интервалом, снабжённым топологией порядка, возникающей из лексикографического порядка на . Открытый длинный луч получается из закрытого длинного луча путём удаления наименьшего элемента. Длинная линия получается путём «склеивания» двух длинных лучей, один в положительном направлении, а другой — в отрицательном. Более строго, её можно определить как топологию порядка на непересекающемся объединении обращённого открытого длинного луча («обращённый» означает, что порядок изменён на противоположный) (это отрицательная половина) и (не обращённого) закрытого длинного луча (положительная половина), полностью упорядоченного таким образом, чтобы точки последнего были больше точек первого. Альтернативно, возьмите две копии открытого длинного луча и отождествите открытый интервал одного с тем же интервалом другого, но при этом измените направление интервала, то есть отождествите точку (где — действительное число, такое, что) из одной копии с точкой из другой, и определите длинную линию как топологическое пространство, полученное склеиванием двух открытых длинных лучей вдоль отождествлённого открытого интервала между ними. (Первая конструкция предпочтительнее, поскольку она определяет порядок на длинной линии и показывает, что топология является топологией порядка; вторая предпочтительнее, поскольку использует склеивание вдоль открытого множества, что более наглядно с топологической точки зрения.) Интуитивно, закрытый длинный луч похож на вещественную (закрытую) полупрямую, за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и замкнутый на другом. Открытый длинный луч похож на вещественную прямую (или, эквивалентно, открытую полупрямую), за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и короткий (открытый) на другом. Длинная линия длиннее вещественных прямых в обоих направлениях: мы говорим, что она длинная в обоих направлениях. Однако многие авторы говорят о «длинной линии», когда подразумевают (закрытый или открытый) длинный луч, и существует значительная путаница между различными длинными пространствами. Однако во многих применениях или в контрпримерах это различие несущественно, поскольку важной является «длинная» часть линии, и не имеет значения, что происходит на другом конце (длинная, короткая или замкнутая). Связанное пространство, (закрытый) расширенный длинный луч, получается как одноточечное компактное расширение путём добавления дополнительного элемента к правому концу . Аналогично можно определить расширенную длинную линию, добавив два элемента к длинной линии, по одному на каждом конце.
The long line is obtained by "gluing" together two long rays, one in the positive direction and the other in the negative direction. More rigorously, it can be defined as the order topology on the disjoint union of the reversed open long ray (“reversed” means the order is reversed) (this is the negative half) and the (not reversed) closed long ray (the positive half), totally ordered by letting the points of the latter be greater than the points of the former. Alternatively, take two copies of the open long ray and identify the open interval of the one with the same interval of the other but reversing the interval, that is, identify the point (where is a real number such that ) of the one with the point of the other, and define the long line to be the topological space obtained by gluing the two open long rays along the open interval identified between the two. (The former construction is better in the sense that it defines the order on the long line and shows that the topology is the order topology; the latter is better in the sense that it uses gluing along an open set, which is clearer from the topological point of view.) Intuitively, the closed long ray is like a real (closed) half line, except that it is much longer in one direction: we say that it is long at one end and closed at the other. The open long ray is like the real line (or equivalently an open half line) except that it is much longer in one direction: we say that it is long at one end and short (open) at the other. The long line is longer than the real lines in both directions: we say that it is long in both directions. However, many authors speak of the “long line” where we have spoken of the (closed or open) long ray, and there is much confusion between the various long spaces. In many uses or counterexamples, however, the distinction is unessential, because the important part is the “long” end of the line, and it doesn't matter what happens at the other end (whether long, short, or closed). A related space, the (closed) extended long ray, is obtained as the one point compactification of by adjoining an additional element to the right end of One can similarly define the extended long line by adding two elements to the long line, one at each end.
Свойства
Закрытый длинный луч состоит из несчётного числа копий, «склеенных вместе» конец к концу. Сравните это с тем, что для любого счётного ординала, склеивание копий даёт пространство, которое всё ещё гомеоморфно (и ординарно изоморфно) . (И если мы попытаемся склеить более копий, то полученное пространство больше не будет локально гомеоморфно к ). Каждая возрастающая последовательность в сходится к пределу в ; это следствие того, что (1) элементы являются счётными ординалами, (2) супремум любой счётной семьи счётных ординалов является счётным ординалом, и (3) любая возрастающая и ограниченная последовательность вещественных чисел сходится. Следовательно, не может существовать строго возрастающей функции . Фактически, любая непрерывная функция в конечном итоге постоянна. Как ординарные топологии, (возможно, расширенные) длинные лучи и линии являются нормальными пространствами Гаусдорфа. Все они имеют ту же кардинальность, что и вещественная прямая, но они «намного длиннее». Все они локально компактны. Ни один из них не метризуем; это можно увидеть, поскольку длинный луч последовательно компактен, но не компактен и даже не линделёфов. (Нерасширенная) длинная линия или луч не является паракомпактным. Она связна, локально связна, просто связна, но не стягиваема. Это одномерное топологическое многообразие, с границей в случае закрытого луча. Она первая счётна, но не вторая счётна и не сепарабельна, поэтому авторы, требующие последних свойств в своих многообразиях, не называют длинную линию многообразием. Имеет смысл рассматривать все длинные пространства одновременно, поскольку каждое связное (непустое) одномерное (не обязательно сепарабельное) топологическое многообразие, возможно, с границей, гомеоморфно либо окружности, либо замкнутому интервалу, либо открытому интервалу (вещественной прямой), либо полуоткрытому интервалу, либо замкнутому длинному лучу, либо открытому длинному лучу, либо длинной линии. Длинная линия или луч могут быть снабжены структурой (несепарабельного) дифференцируемого многообразия (с границей в случае закрытого луча). Однако, в отличие от топологической структуры, которая является уникальной (топологически существует только один способ сделать вещественную прямую «длиннее» с обоих концов), дифференцируемая структура не уникальна: на самом деле, на ней существует несчётное количество (в точности) попарно недиффеоморфных гладких структур. Это резко контрастирует с вещественной прямой, где также есть различные гладкие структуры, но все они диффеоморфны стандартной. Длинная линия или луч может даже быть снабжена структурой (вещественного) аналитического многообразия (с границей в случае закрытого луча). Однако это намного сложнее, чем для дифференцируемого случая (это зависит от классификации (сепарабельных) одномерных аналитических многообразий, что сложнее, чем для дифференцируемых многообразий). Опять же, любая заданная структура может быть расширена бесконечным числом способов до различных (=аналитических) структур (которые являются попарно недиффеоморфными как аналитические многообразия). Длинная линия или луч не могут быть снабжены римановой метрикой, индуцирующей её топологию. Причина в том, что римановы многообразия, даже без предположения о паракомпактности, могут быть показаны как метризуемые. Расширенный длинный луч компактен. Это одноточечная компактификация замкнутого длинного луча, но также и его компактификация Стоуна — Чеха, поскольку любая непрерывная функция с (замкнутого или открытого) длинного луча на вещественную прямую в конечном итоге постоянна. также связна, но не путь-связна, поскольку длинная линия «слишком длинна», чтобы быть покрытой путём, являющимся непрерывным образом интервала. не является многообразием и не является первой счётной.
Every increasing sequence in converges to a limit in ; this is a consequence of the facts that (1) the elements of are the countable ordinals, (2) the supremum of every countable family of countable ordinals is a countable ordinal, and (3) every increasing and bounded sequence of real numbers converges. Consequently, there can be no strictly increasing function In fact, every continuous function is eventually constant. As order topologies, the (possibly extended) long rays and lines are normal Hausdorff spaces. All of them have the same cardinality as the real line, yet they are 'much longer'. All of them are locally compact. None of them is metrizable; this can be seen as the long ray is sequentially compact but not compact, or even Lindelöf. The (non extended) long line or ray is not paracompact. It is path connected, locally path connected and simply connected but not contractible. It is a one dimensional topological manifold, with boundary in the case of the closed ray. It is first countable but not second countable and not separable, so authors who require the latter properties in their manifolds do not call the long line a manifold. It makes sense to consider all the long spaces at once because every connected (non empty) one dimensional (not necessarily separable) topological manifold possibly with boundary, is homeomorphic to either the circle, the closed interval, the open interval (real line), the half open interval, the closed long ray, the open long ray, or the long line. The long line or ray can be equipped with the structure of a (non separable) differentiable manifold (with boundary in the case of the closed ray). However, contrary to the topological structure which is unique (topologically, there is only one way to make the real line "longer" at either end), the differentiable structure is not unique:
in fact, there are uncountably many ( to be precise) pairwise non diffeomorphic smooth structures on it. This is in sharp contrast to the real line, where there are also different smooth structures, but all of them are diffeomorphic to the standard one. The long line or ray can even be equipped with the structure of a (real) analytic manifold (with boundary in the case of the closed ray). However, this is much more difficult than for the differentiable case (it depends on the classification of (separable) one dimensional analytic manifolds, which is more difficult than for differentiable manifolds). Again, any given structure can be extended in infinitely many ways to different (=analytic) structures (which are pairwise non diffeomorphic as analytic manifolds). The long line or ray cannot be equipped with a Riemannian metric that induces its topology. The reason is that Riemannian manifolds, even without the assumption of paracompactness, can be shown to be metrizable. The extended long ray is compact. It is the one point compactification of the closed long ray but it is also its Stone Čech compactification, because any continuous function from the (closed or open) long ray to the real line is eventually constant. is also connected, but not path connected because the long line is 'too long' to be covered by a path, which is a continuous image of an interval. is not a manifold and is not first countable.
Более высокие размеры
Некоторые примеры непаракомпактных многообразий в более высоких размерностях включают многообразие Прюфера, произведения любого непаракомпактного многообразия с любым непустым многообразием, шар большого радиуса и так далее. Теорема о волынке показывает, что существуют классы изоморфизма непаракомпактных поверхностей, даже если предполагается обобщение паракомпактности, ω-ограниченность. Нет комплексных аналогов длинной линии, так как каждая поверхность Римана паракомпактна, но Калаби и Розенлихт привели пример непаракомпактного комплексного многообразия комплексной размерности 2.