Введение
Резюмирующая статистика изменчивости. Среднее абсолютное отклонение (AAD) набора данных — это среднее значение абсолютных отклонений от центральной точки. Это сводная статистическая характеристика, описывающая статистическую дисперсию или изменчивость. В общем случае центральной точкой может быть среднее арифметическое, медиана, мода или результат любого другого показателя центральной тенденции, либо любое опорное значение, связанное с данным набором данных. AAD включает в себя среднее абсолютное отклонение и медианное абсолютное отклонение (оба сокращенно MAD).
The average absolute deviation (AAD) of a data set is the average of the absolute deviations from a central point. It is a summary statistic of statistical dispersion or variability. In the general form, the central point can be a mean, median, mode, or the result of any other measure of central tendency or any reference value related to the given data set. AAD includes the mean absolute deviation and the median absolute deviation (both abbreviated as MAD).
Меры дисперсии
Несколько мер статистической дисперсии определяются на основе абсолютных отклонений. Термин "среднее абсолютное отклонение" не является однозначным обозначением меры статистической дисперсии, поскольку существует несколько способов измерения абсолютных отклонений, а также несколько мер центральной тенденции, которые могут быть использованы. Таким образом, для однозначного определения абсолютного отклонения необходимо указывать как меру отклонения, так и меру центральной тенденции. В статистической литературе до сих пор не принята единая нотация, поскольку как среднее абсолютное отклонение от среднего, так и медиана абсолютных отклонений от медианы обозначаются аббревиатурой "MAD", что может приводить к путанице, поскольку в общем случае их значения могут существенно различаться.
Среднее абсолютное отклонение от среднего значения
Среднее абсолютное отклонение (MAD), также называемое «средним отклонением» или иногда «средним абсолютным отклонением», представляет собой среднее значение абсолютных отклонений данных от среднего значения этих данных: среднее (абсолютное) расстояние от среднего. Термин «среднее абсолютное отклонение» может относиться как к этому определению, так и к общей форме относительно заданной центральной точки (см. выше). Предлагается использовать MAD вместо стандартного отклонения, поскольку он лучше отражает реальные условия. Благодаря тому, что MAD является более простой мерой изменчивости, чем стандартное отклонение, он может быть полезен при обучении в школе. Точность прогнозирования этого метода тесно связана с методом среднеквадратичной ошибки (MSE), который представляет собой просто среднюю квадратичную ошибку прогнозов. Хотя эти методы тесно связаны, MAD используется чаще, поскольку его легче вычислить (без необходимости возведения в квадрат) и понять. Для нормального распределения отношение среднего абсолютного отклонения к стандартному отклонению равно. Таким образом, если X — нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 0, то см. Geary (1935). Иными словами, для нормального распределения среднее абсолютное отклонение приблизительно в 0,8 раза меньше стандартного отклонения. Однако при измерениях на выборках соотношение среднего отклонения к стандартному отклонению для данной гауссовой выборки n принимает значения в пределах: , с погрешностью для малых n.
In other words, for a normal distribution, mean absolute deviation is about 0.8 times the standard deviation. However, in sample measurements deliver values of the ratio of mean average deviation / standard deviation for a given Gaussian sample n with the following bounds: , with a bias for small n.
The mean absolute deviation from the mean is less than or equal to the standard deviation; one way of proving this relies on Jensen's inequality.
Среднее абсолютное отклонение от среднего не превышает стандартное отклонение; один из способов доказательства этого основан на неравенстве Йенсена.
In other words, for a normal distribution, mean absolute deviation is about 0.8 times the standard deviation. However, in sample measurements deliver values of the ratio of mean average deviation / standard deviation for a given Gaussian sample n with the following bounds: , with a bias for small n.
The mean absolute deviation from the mean is less than or equal to the standard deviation; one way of proving this relies on Jensen's inequality.
Среднее абсолютное отклонение вокруг центральной точки
В то время как в принципе среднее значение или любая другая центральная точка могли бы быть приняты за центральную точку для вычисления медианного абсолютного отклонения, чаще всего вместо этого используется медиана.
Среднее абсолютное отклонение от медианы
Медиана абсолютных отклонений (также MAD) — это медиана абсолютных отклонений от медианы. Это устойчивая оценка разброса. Для примера {2, 2, 3, 4, 14}: медиана равна 3, поэтому абсолютные отклонения от медианы составляют {1, 1, 0, 1, 11} (упорядоченные как {0, 1, 1, 1, 11}) с медианой 1, которая в данном случае не подвержена влиянию значения выброса 14, следовательно, медиана абсолютных отклонений равна 1. Для симметричного распределения медиана абсолютных отклонений равна половине межквартильного размаха.
Максимальное абсолютное отклонение
Максимальное абсолютное отклонение вокруг произвольной точки — это максимум абсолютных отклонений выборки от этой точки. Хотя это и не является строгой мерой центральной тенденции, максимальное абсолютное отклонение можно найти, используя формулу для среднего абсолютного отклонения, как указано выше, с , где — максимум выборки.
Оценка
Среднее абсолютное отклонение выборки является смещенной оценкой среднего абсолютного отклонения генеральной совокупности. Чтобы абсолютное отклонение было несмещенной оценкой, математическое ожидание (среднее) всех абсолютных отклонений выборки должно равняться абсолютному отклонению генеральной совокупности. Однако это не так. Для генеральной совокупности 1, 2, 3 как абсолютное отклонение от медианы, так и абсолютное отклонение от среднего значения равны 2/3. Среднее значение всех абсолютных отклонений выборки размера 3, которые можно извлечь из генеральной совокупности, составляет 44/81, в то время как среднее значение всех абсолютных отклонений выборки от медианы составляет 4/9. Следовательно, абсолютное отклонение является смещенной оценкой. Однако этот аргумент основан на понятии средней несмещенности. Каждая мера положения имеет свою форму несмещенности (см. статью о смещенной оценке). Соответствующей формой несмещенности в данном случае является несмещенность относительно медианы.