Кіріспе
Математика философиясындағы бағдарлама. Математика философиясында логицизм – «логика» сөзінің белгілі бір мағынасында математика логиканың кеңейтілуі, математиканың кейбір немесе барлық бөлімдері логикаға келтірілуі, немесе математиканың кейбір немесе барлық бөлімдері логика арқылы модельделуі мүмкін деген бір немесе бірнеше тезистерді қамтитын бағдарлама. Бертран Рассел мен Альфред Норт Уайтхед осы бағдарламаны қолдады, ол Готтлоб Фреге бастап, кейін Ричард Дедекинд және Джузеппе Пеано тарапынан дамытылды.
In the philosophy of mathematics, logicism is a programme comprising one or more of the theses that – for some coherent meaning of 'logic' – mathematics is an extension of logic, some or all of mathematics is reducible to logic, or some or all of mathematics may be modelled in logic. Bertrand Russell and Alfred North Whitehead championed this programme, initiated by Gottlob Frege and subsequently developed by Richard Dedekind and Giuseppe Peano.
Шолу
Дедекиндтің логицизмге жолы рационалды сандардың белгілі бір жиындарын пайдалана отырып, нақты сандарды сипаттайтын аксиомаларды қанағаттандыратын модель құрастыра алған кезде өзгерді. Осы және осымен байланысты идеялар оны арифметика, алгебра және анализді табиғи сандарға және сыныптардың «логикасына» дейін келтіруге болатынына көндірді. 1872 жылға қарай ол натуралдардың өзі жиындар мен бейнелеулерге келтірілуі мүмкін деген қорытындыға келді. 1872 жылы жарияланған нақты сандардың жаңа теориялары басқа логиктерді, ең бастысы Фрегені де басшылыққа алып жүрген болуы мүмкін. Фрегенің логицистік бағдарламасының философиялық ықпалы, «Арифметика негіздерінен» бастап, сол кездегі табиғи сандарға қатысты эпистемологиялық және онтологиялық міндеттемелерге қанағаттанбауы және Канттың табиғи сандар туралы шындықтарды синтетикалық априорлық шындықтардың мысалы ретінде пайдалануы дұрыс емес деген сенімінен туындады. Бұл Дедекинд пен Фрегені негізгі жақтаушылар ретінде логицизмнің кеңею кезеңін бастады. Алайда, логицистік бағдарламаның бұл бастапқы кезеңі жиын теориясының классикалық парадокстарын (Кантордың 1896 жылғы, Зермело мен Расселдің 1900–1901 жылдардағы) ашумен дағдарысқа ұшырады. Рассел өзінің «Арифметика заңдарында» баяндалған Фреге жүйесіндегі қайшылықты анықтаған парадоксын танып, жеткізгеннен кейін Фреге жобадан бас тартты. Наивтік жиын теориясы да осы қиындыққа тап болады екенін ескеріңіз. Екінші жағынан, Рассел 1903 жылы Джузеппе Пеаноның геометрия мектебінің парадокстарын және дамуларын пайдаланып «Математика қағидалары» еңбегін жазды. Геометрия және жиын теориясындағы бастапқы ұғымдарды қарастырғандықтан, бұл мәтін логицизмнің дамуындағы шешуші кезең болып табылады. Рассел мен Уайтхед логицизмнің дәлелдерін «Principia Mathematica» еңбегінде жинақтады. Бүгінгі таңда математиканың көп бөлігі логикалық тұрғыдан аз ғана экстралогикалық аксиомалардан, мысалы, Зермело-Франкель жиын теориясының аксиомаларынан (немесе оның кеңейтімі ZFC) шығарылуы мүмкін деп есептеледі, олардан әлі ешқандай қайшылықтар алынбаған. Осылайша, логицистік бағдарламалардың элементтері өміршең болып шықты, бірақ процесте сыныптар, жиындар мен бейнелеулер теориясы және Хенкин семантикасынан басқа жоғары ретті логика экстралогикалық болып саналды, ішінара Куайннің кейінгі ойларының ықпалынан. Курт Гёдельдің толық емес теоремалары табиғи сандар үшін Пеано аксиомаларын шығаратын ешқандай формальды жүйе, мысалы, Расселдің «PM» жүйелері, сол жүйенің барлық дұрыс құрылған сөйлемдерін шеше алмайды. Бұл нәтиже Дэвид Гильберттің математика негіздері жөніндегі бағдарламасына зиян келтірді, онда «шексіз» теориялар – «PM» сияқты – шекті теориялардан дұрыс екені дәлелденуі керек, соның нәтижесінде «шексіз әдістерге» алаңдаушылар олардың қолданылуы қарама-қайшылыққа әкелмейтініне сенімді болар еді. Гёдельдің нәтижесі логицистік ұстанымды сақтау үшін, классикалық математиканың мүмкіндігінше көп бөлігін сақтап, шексіздік аксиомасын логиканың бөлігі ретінде қабылдау қажеттігін көрсетеді. Бұл логицистік бағдарламаға да зиян келтіреді, бірақ тек «шексіз әдістерге» күмәнданатындар үшін. Дегенмен, логицизмнен де, Гильберттік финитизмнен де алынған ұстанымдар Гёдельдің нәтижесі жарияланғаннан бері ұсыныла берді. Логицизмнен алынған бағдарламалардың жарамдылығын дәлелдейтін бір аргумент – толық емес теоремалар «басқа теоремалар сияқты логикамен дәлелденген». Алайда, бұл аргумент бірінші реттік логика теоремалары мен жоғары реттік логика теоремалары арасындағы айырмашылықты мойындамайды. Біріншісі финистік әдістерді қолдану арқылы дәлелденуі мүмкін, ал екіншісі жалпы алғанда дәлелденуі мүмкін емес. Тарскидің анықталмау теоремасы Гёдель нөмірлеуін синтаксистік конструкцияларды дәлелдеу үшін, бірақ семантикалық мәлімдемелер үшін емес, қолдануға болатынын көрсетеді. Сондықтан, логицизм жарамды бағдарлама болып қала береді деген талап, табиғи сандардың бар болуы мен қасиеттеріне негізделген дәлелдеу жүйесі белгілі бір формальды жүйеге негізделгеннен гөрі аз сенімді деп есептеуге мәжбүр етеді. Логицизм, әсіресе Фрегенің Рассел мен Витгенштейнге, кейін Дэмметке тигізген әсері арқылы, ХХ ғасырда аналитикалық философияның дамуына маңызды үлес қосты.
"Логизм" атаусының шығу тегі
Ивор Граттан Гиннес француз сөзін 'Logistique' "Кутура және басқалар 1904 жылғы Халықаралық философиялық конгрессінде енгізді, ал Расселл және басқалар содан кейін оны әртүрлі тілдерге бейімделіп қолданды" дейді (G G 2000:501). Расселлдің алғашқы (және жалғыз) қолданылуы 1919 жылы кездеседі: "Расселл Фрегеге бірнеше рет сілтеме жасап, оны математиканы "логикаландыруда" алғашқы табысқа жеткен адам ретінде таныстырды" (7-бет). Бұл үзінді арифметиканың математикадағы рөлі туралы Расселлдің өз көзқарасын түсіндіруінен басқа, оның цитата белгілеріне алған сөзімен ерекшеленеді, бірақ олардың болуы күдік білдіреді, және ол бұл сөзді ешқашан қайта қолданбады, сондықтан 'логицизм' 1920-жылдардың соңына дейін пайда болған жоқ (G G 2002:434). Шамамен сол кезде Рудольф Карнаппен (1929) бірдей, бірақ көрінеу тәуелсіз, Френкель (1928) бұл сөзді қолданды: "Ол ешқандай түсіндірме бермей, Уайтхед/Расселл позициясын сипаттау үшін 'логицизм' атауын қолданды (244-беттегі бөлімнің тақырыбында, 263-бетте түсіндірмесі)" (G G 2002:269). Карнап сәл өзгеше 'Logistik' сөзін қолданды; Бехман Карнаптың қолжазбасында оның қолданылуына қарсы болды, сондықтан Карнап 'Logizismus' сөзін ұсынды, бірақ ол ақырында 'Logistik' сөзін таңдады (G G 2002:501). Нәтижесінде "таралудың негізгі себебі 1930 жылдан бастап Карнап болды" (G G 2000:502).
Логиканың мақсаты
Логикалық жүйенің ашық мақсаты – барлық математиканы символдық логикадан тудыру (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). Алгебралық логикадан (Бул логикасы) ерекшеленетіні, символдық логика өте шектеулі таңбалар жиынымен (арифметикалық емес таңбалармен) басталады, «ойлау заңдарын» бейнелейтін бірнеше «логикалық» аксиомалармен және таңбаларды қалай құрастыру және өңдеу керектігін анықтайтын логикалық қорытындылар ережесімен – мысалы, алмастыру және modus ponens (яғни [1] A, B-ны логикалық тұрғыдан білдіреді және [2] A болса, B-ны тудыруға болады). Логицизм Фрегеден бастап, табиғи тілдегі мәлімдемелерді «субъект|предикат» түрінен «пропозициялық атомдарға» немесе «жалпылаудың» «аргумент|функциясына» дейін азайтуды да қабылдайды – «барлығы», «кейбіреуі», «класс» (жинақ, топ) және «қатынас» ұғымдары. Натурал сандар мен олардың қасиеттерін логикалық тұрғыдан шығару кезінде, санның «интуициясы» аксиома ретінде немесе жай ғана кездейсоқ түрде «енуіне» жол берілмеуі керек. Мақсат – барлық математиканы, ең алдымен санау сандарынан, содан кейін нақты сандардан, тек таңдалған «ойлау заңдарынан» ғана тудыру, «бұрын» және «кейін» немесе «кем» және «көп» туралы ешқандай жасырын болжамдарсыз, тіпті «кейінгі» және «алдындағы» туралы да болжамдарсыз. Гёдель 1944 жылы Расселдің логикалық «құрылыстарын» интуиционизм мен формализмнің («Гилберт мектебі») негізгі жүйелеріндегі «құрылыстармен» салыстырғанда былай деп қорытындылады: «Бұл екі мектеп те өздерінің құрылыстарын математикалық интуицияға негіздейді, одан аулақ болу Расселдің конструктивізмінің басты мақсаттарының бірі» (Гёдель 1944, Жинақталған еңбектер 1990:119).
Эпистемология, онтология және логика
Дедекинд пен Фреге эпистемологиясы Расселдікінен нашар анықталған сияқты, бірақ екеуі де қарапайым пікірлер (әдетте сенім) туралы дәстүрлі «ойлау заңдарын» априори ретінде қабылдаған көрінеді; егер бұл заңдар сыныптар теориясымен және жалпыламалықпен байланысты x және y арасындағы қатынастармен (мысалы, x R y) толықтырылса, олар өздері жеткілікті болар еді. «Келесі жолдарда мен ой-санамыздың әрбір нысанын нәрсе деп түсінемін»; біз адамдар осы санамыздағы «нәрселерді» талқылау үшін символдарды қолданамыз; «Бір нәрсе оны растайтын немесе ойланатын барлық нәрселермен толық анықталады» (44-бет). Кейінгі абзацта Дедекинд «S жүйесі» дегенді талқылайды: ол жиын, көптүрлілік, байланысты элементтердің (нәрселердің) жиынтығы a, b, c; ол «осындай жүйе S . ойлау нысаны ретінде де нәрсе (1); ол әр нәрсеге қатысты ол S-тің құрамында ма, жоқ па, анықталғанда толық анықталады» (45-бет, курсив қосылған). * белгісі төменгі жазбада: «Кронекер жақында (Crelle's Journal, Vol. 99, б. 334–336) математикадағы ұғымдарды еркін құруға белгілі бір шектеулер қоюға тырысты, менің ойымша, бұл ақталуға жарамайды» (45-бет). Ол сондай-ақ Кронекердің «осы шектеулердің қажеттілігі немесе тиімділігі туралы себептерін жариялауын» күтеді (45-бет). «Құдай бүтін сандарды жаратты, ал қалғанының бәрі адамның еңбегі» деген пікірімен танымал Кронекердің өзіне қарсыластары болды, олардың арасында Гилберт те болды. Гилберт Кронекерді «толық санды оның маңызды қасиеттерімен догма ретінде қабылдап, артқа қарамайтын дәрежеде догматист» деп атады және оның экстремалды конструктивистік ұстанымын Брауердің интуиционизмімен теңестірді, екеуін де «субъективизммен» айыптады: «Ғылымның міндетінің бір бөлігі – бізді еріксіздіктен, сезімнен және әдеттен азат ету және Кронекердің көзқарастарында сезілген және менің ойымша, интуиционизмде ең жоғарғы шегіне жеткен субъективизмнен қорғау». Содан кейін Гилберт «математика – алдын ала болжамсыз ғылым. Оны негіздеу үшін маған Кронекерге де қажет емес Құдай…» (479-бет) дейді. Расселдің реализмі оған британдық идеализмге қарсы дәрі ретінде қызмет етті, оның бөліктері еуропалық рационализм мен британдық эмпиризмнен алынған. Бастапқыда «Рассел екі маңызды мәселе бойынша реалист болды: универсалдар мен материалдық нысандар» (Рассел, 1912: xi). Рассел үшін үстелдер – бақылаушы Расселден тәуелсіз болатын нақты нысандар. Рационализм априорлы білім туралы түсінікке, ал эмпиризм тәжірибелік білімнің рөліне (тәжірибеден индукция) үлес қосты. Рассел Канттың «априорлы» білім туралы идеясын қабылдады, бірақ ол Кантқа «шешуші» деп санайтын қарсылық білдірді: «[әлемнің] фактілері әрқашан логика мен арифметикаға сәйкес болуы керек. Логика мен арифметиканы біз енгіздік деу мұны түсіндірмейді» (1912: 87); Рассел біздегі априорлы білім «нәрселер туралы, тек ойлар туралы емес» (1912: 89) деген қорытындыға келді. Осы тұста Расселдің эпистемологиясы Дедекиндтің «сандар – адам санасының еркін туындылары» (Дедекинд, 1887: 31) деген сенімінен өзгеше көрінеді. Бірақ оның логикалық принциптерге қатысты эпистемологиясы (1912: 74) күрделі. Ол Платонның «универсалдарына» (1912: 91–118) күшті, нақты қолдау көрсетті және шындық пен жалғандық «сыртта» екенін қорытындылады; сана сенімдерді жасайды және сенімді шындыққа айналдыратын нәрсе – факт, «және бұл факт (ерекше жағдайларда ғана) сенімге ие адамның санасына қатысы жоқ» (1912: 130). Рассел осы эпистемиялық ұғымдарды қайдан алды? Ол бұл туралы 1903 жылғы «Математика қағидалары» еңбегінің кіріспе сөзінде айтады. Назар аударыңыз, ол «Эмили – қоян» деген сенімнің жоқ екенін айтады, бірақ бұл жоқ пікірдің шындығы кез келген білуші санадан тәуелсіз; егер Эмили шын мәнінде қоян болса, бұл шындықтың фактісі Рассел немесе басқа сана тірі немесе өлі болса да, жоқ болса да бар, ал Эмилидің қоянмен қарым-қатынасы «соңғы»: «Философияның негізгі мәселелері бойынша менің ұстанымым, оның барлық басты белгілері, Г. Э. Мурдан алынған. Мен одан пікірлердің болмау табиғатын (болуын мәлімдегендерді қоспағанда) және олардың кез келген білуші санадан тәуелсіздігін қабылдадым; сонымен қатар әлемді қарастыратын плюрализм, бар және бар, сондай-ақ өзара тәуелсіз субъектілердің шексіз санынан тұрады, олардың қатынастары түпкілікті, олардың терминдерінің немесе олар құрайтын тұтастықтың сипаттамаларына төмендетілмейді. . Менің ойымша, жоғарыда аталған ілімдер математиканың кез келген, тіпті қанағаттанарлық философиясы үшін өте қажет, өйткені келесі беттерде көрсетілетіндей…».
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
1902 жылы Рассел Фрегедің «Арифметиканың негізгі заңдарында» «жаман шеңберді» (Расселдің парадоксы) тапты, ол Фрегедің Негізгі заң V-тен туындады және ол 1903 жылғы «Математика қағидаларында» оны қайталамауға ниеттенді. Соңғы минутта қосылған екі қосымшада ол Фреге теориясын өзімен салыстырып, парадоксқа түзету енгізуге 28 бет арнады. Бірақ ол нәтижеге үмітсіз болды:
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
«Сыныптар жағдайында, мойндауым керек, сынып ұғымының шарттарын қанағаттандыратын кез келген ұғымды көре алмадым. Х тарауында талқыланған қайшылық біреудің дұрыс емес екенін дәлелдейді, бірақ бұл не екенін әзірге анықтай алмадым» (Расселдің 1903 жылғы «Математика қағидаларына» алғы сөзі: vi).
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
Гёдель 1944 жылы жас Расселдің (1903 жылғы «[менің алғышарттарым] математиканың шын болуына мүмкіндік береді») пікірімен келіспесе де, Расселдің жоғарыда келтірілген мәлімдемесімен («біреудің дұрыс емес екені») келісуі мүмкін. Расселдің теориясы математиканың қанағаттанарлық негізін табуға жетпеді: нәтиже «негізінен теріс болды; яғни осы жолмен енгізілген сыныптар мен ұғымдар математиканы пайдалану үшін қажетті барлық қасиеттерге ие емес» (Гёдель, 1944: 132). Рассел осы жағдайға қалай келді? Гёдель Расселдің таң қалдыратын «реалист» екенін, бірақ ерекшелігі бар екенін байқайды: ол Расселдің 1919: 169 «Логика зоология сияқты әлеммен тікелей байланысты» деген сөзін келтіреді (Гёдель, 1944: 120). Бірақ ол «ол нақты проблемаға кіріскенде, талдауға тиіс нысандар (мысалы, сыныптар немесе пікірлер) көбінесе «логикалық қиялға» айналады. [дегені] біз оларды тікелей қабылдамаймыз» (Гёдель, 1944: 120).
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
Расселдің логицизмінің ерекше ерекшелігіне қатысты Перри Расселдің реализмнің үш кезеңінен өтті деді: экстремалды, орташа және конструктивті (Перри, 1997: xxv). 1903 жылы ол экстремалды кезеңде болды; 1905 жылға қарай орташа кезеңде болар еді. Бірнеше жылдан кейін ол «[1914] жылғы «Сыртқы әлем туралы біліміміз» кітабында физикалық немесе материалдық нысандарды әлемнің негізгі құрамдас бөліктері ретінде қабылдамайтын болады. Ол оларды сезімдік деректерден құрастыруға тырысады» (Перри, 1997: xxvi). Бұл құрылымдар Гёдельдің 1944 жылы «номиналистік конструктивизм – жақсырақ айтқанда, фикционализм» деп атайтын нәрседен туындады (б. 125): «класс немесе ұғымдар ешқашан нақты нысандар ретінде болмайды және осы терминдерді қамтитын сөйлемдер басқа нәрселер туралы әңгімелеудің бір жолы ретінде ғана мағыналы» (б. 125). Төмендегі Сынаптар бөлімін қараңыз.
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
Натурал сандардың логикалық құрылысының мысалы: Расселдің Principia-дағы құрылымы
Фреге мен Дедекиндтің логикасы Расселдің логикасына ұқсас, бірақ ерекшеліктері бар (төмендегі сынды қараңыз). Жалпы алғанда, табиғи сандардың логикалық туындылары, мысалы, Зермелоның жиын теориясы ("Z") аксиомаларынан алынған туындылардан өзгеше. Z-ден туынды жасағанда, "сан" анықтамасы осы жүйенің аксиомасын қолданады – жұптастыру аксиомасын, ол "реттелген жұп" анықтамасына әкеледі. Ал әртүрлі логикалық аксиомалық жүйелерде табиғи сандарды туындыруға мүмкіндік беретін нақты сан аксиомасы жоқ. Санның анықтамасын туындыру үшін қажетті аксиомалар жиын теориясының аксиомалық жүйелеріне қарай өзгеруі мүмкін. Мысалы, ZF және ZFC-де жұптастыру аксиомасы, демек, реттелген жұп түсінігі ақыр соңында шексіздік аксиомасы мен алмастыру аксиомасынан туындайды және фон Нейман сандарының анықтамасы үшін қажет (бірақ Зермело сандары үшін емес). Ал NFU-да Фреге сандарын Грундгесетцедегідей алуға болады. Принципиа, оның алдын баулы Грундгезе сияқты, сандарды "сынып", "ұсыныс функциясы" және әсіресе "ұқсастық" ("эквинумероситет": жиындардың элементтерін бір-бірге сәйкестендіру) және "реттеу" ( "азаттық" қатынасын қолдану) сияқты бастапқы ұйғарымдардан құрайды. Логикалық туынды осылайша құрастырылған кардинал сандарды табиғи сандарға теңестіреді, және бұл сандардың бәрі бірдей "түрге" – сыныптардың сыныбы ретінде жатады. Ал кейбір жиын теориялық құрылымдарда – мысалы, фон Нейман және Зермело сандарында – әрбір санның алдындағысы кіші жиын болып табылады. Клине келесіні байқайды. (Клиненің (1) және (2) болжамдары 0-де P қасиеті бар және егер n-де P қасиеті болса, n+1-де де P қасиеті бар деп айтады.) "Бұл көзқарас [Кронекердің] "Құдай бүтін сандарды жасады" деген максимінен және Пеаноның сан және математикалық индукция аксиомаларынан] өте өзгеше, онда біз табиғи сан тізбесін интуитивті түсіндіріп, одан белгілі бір P қасиеті бар кезде (1) және (2) орындалса, кез келген табиғи санның P қасиетіне ие болуы керек деген қағиданы шығардық" (Клине 1952:44). Логикалық бағдарлама үшін табиғи сандарды құрудың маңыздылығы Расселдің "Барлық дәстүрлі таза математиканы табиғи сандардан туындыруға болады деген пікір жақында ғана ашылды, бірақ бұрыннан күдік тудырған" (1919:4) деген тұжырымынан туындайды. Нақты сандардың бір туындысы рационал сандардағы Дедекинд кесімінен алынады, ал рационал сандар өз кезегінде натурал сандардан туындайды. Мұның қалай жасалатынын көрсететін мысал пайдалы болғанымен, ол алдымен табиғи сандарды туындыруға негізделген. Сондықтан, егер табиғи сандардың логикалық туындысында философиялық қиындықтар туындаса, осы мәселелер шешілгенше бағдарламаны тоқтату жеткілікті болуы керек (төмендегі сынды қараңыз). Табиғи сандарды құруға жасалған бір әрекетті Бернейс 1930–1931 жылдары жинақтаған. Бірақ Бернейстің кейбір егжей-тегжейлі мәліметтері толық емес тұжырымын пайдаланудың орнына, Расселдің құрылысын парафразалауға тырысу, кейбір шекті иллюстрацияларды қоса, төменде келтірілген:
"The viewpoint here is very different from that of [Kronecker]'s maxim that 'God made the integers' plus Peano's axioms of number and mathematical induction], where we presupposed an intuitive conception of the natural number sequence, and elicited from it the principle that, whenever a particular property P of natural numbers is given such that (1) and (2), then any given natural number must have the property P." (Kleene 1952:44). The importance to the logicist programme of the construction of the natural numbers derives from Russell's contention "That all traditional pure mathematics can be derived from the natural numbers is a fairly recent discovery, though it had long been suspected" (1919:4). One derivation of the real numbers derives from the theory of Dedekind cuts on the rational numbers, rational numbers in turn being derived from the naturals. While an example of how this is done is useful, it relies first on the derivation of the natural numbers. So, if philosophical difficulties appear in a logicist derivation of the natural numbers, these problems should be sufficient to stop the program until these are resolved (see Criticisms, below). One attempt to construct the natural numbers is summarized by Bernays 1930–1931. But rather than use Bernays' précis, which is incomplete in some details, an attempt at a paraphrase of Russell's construction, incorporating some finite illustrations, is set out below:
Алдын ала мәліметтер
Рассел үшін коллекциялар (сыныптар) – бұл ұсыныстардың (бір немесе бірнеше нәрсе туралы фактілерді растау) нәтижесінде пайда болатын, меншікті есімдермен көрсетілген "заттардың" жиынтығы. Рассел осы жалпы түсінікті талдады. Ол сөйлемдегі "терминдермен" бастайды, оларды былайша талдады: Рассел үшін "терминдер" – бұл "заттар" немесе "тұжырымдамалар": "Мен ойдың нысаны немесе кез келген нақты немесе жалған ұсыныста болатын, немесе біреу ретінде саналатын нәрсені термин деймін. Бұл философиялық лексикадағы ең кең сөз. Мен оны бірлік, жеке және нысан деген сөздермен мағыналас қолданамын. Бірінші екеуі әрбір терминнің біреу екенін, ал үшіншісі әрбір терминнің болуын, яғни қандай да бір мағынада бар екенін көрсетеді. Адам, сәт, сан, сынып, қатынас, қиял немесе басқа да айтылуы мүмкін кез келген нәрсе термин болуы керек; және мұндай нәрсенің термин екенін жоққа шығару әрқашан жалған болады" (Рассел 1903:43). "Терминдер арасында екі түрді ажыратуға болады, оларды мен тиісінше заттар мен тұжырымдамалар деймін; біріншісі – жеке есімдермен көрсетілген терминдер, екіншісі – басқа барлық сөздермен көрсетілгендер. Тұжырымдамалардың арасында кем дегенде екі түрін ажырату керек, атап айтқанда, сипаттау сөздермен және етістіктермен көрсетілгендер" (1903:44). "Алғашқы түрін көбінесе предикаттар немесе сыныптық тұжырымдамалар дейді; соңғылары әрқашан немесе көбінесе қатынастар болып табылады" (1903:44). "Мен ұсыныстың терминдері туралы, ұсыныста кездесетін және ұсыныстың тақырыбы ретінде қарастырылатын, қаншама болса да, терминдер ретінде айтамын. Ұсыныстың терминдерінің ең маңызды қасиеті – олардың кез келгенін басқа нысанмен алмастыруға болады, біз ұсынысты жоғалтпаймыз. Осылайша, «Сократ – адам» деген ұсынымы тек бір терминге ие; ұсыныстың қалған бөлігінің бірі – етістік, екіншісі – предикат. Демек, предикаттар – бұл етістіктерден басқа, тек бір термин немесе субъект бар ұсыныстарда кездесетін тұжырымдамалар" (1903:45). Егер біреу бір нысанды көрсетіп: «Менің алдымдағы «Эмили» деп аталатын нысан – әйел» десе, онда бұл ұсыныс, сыртқы әлемнің «фактілеріне» қарсы тексерілетін сөйлеушінің сенімін растау болады: «Адамның санасы шындықты немесе жалғандықты жаратпайды. Олар сенімді жаратады. Сенімді шындыққа айналдыратын нәрсе – факт, және бұл факт (ерекше жағдайларда ғана) сенімге ие адамның санасына ешқандай қатысы жоқ» (1912:130). Егер айтылған сөзді зерттеу және «фактпен» сәйкестіру арқылы Рассел Эмилидің қоян екенін анықтаса, онда оның сөзі «жалған» деп есептеледі; егер Эмили әйел адам болса (Рассел адамдарды Диоген Лаэрттің Платон туралы әңгімесіне сәйкес «қауырсынсыз екі аяқты» деп атайды), онда оның сөзі «нағыз» деп есептеледі. «Сынып, сыныптық тұжырымдамаға қарама-қарсы, берілген предикаты бар барлық терминдердің қосындысы немесе біріктірілісі» (1903 ж. 55). Сыныптар кеңейту арқылы (олардың мүшелерін тізімдеу) немесе интенция арқылы, яғни «x – u» немесе «x – v» сияқты «ұсынымдық функция» арқылы анықталуы мүмкін. Бірақ «егер біз кеңейтуді таза алсақ, біздің сынып оның терминдерін санау арқылы анықталады, және бұл әдіс бізге Символикалық логика сияқты шексіз сыныптармен жұмыс істеуге мүмкіндік бермейді. Сондықтан біздің сыныптарымыз тұжырымдамалармен белгіленетін нысандар ретінде қарастырылуы керек, және осы шамада интенциялық көзқарас маңызды» (1909 ж. 66). «Сыныптық тұжырымдаманың жалпы терминдерден ерекшелігі – «x – u» тұжырымдық функция болып табылады, егер және тек қана егер u – сыныптық тұжырымдама болса» (1903:56). «71. Сынып кеңейтілген немесе интенциялық түрде анықталуы мүмкін. Яғни, біз қандай нысанды сынып деп, немесе қандай тұжырымдаманы сынып деп атай алатынымызды анықтауымыз мүмкін: бұл осыған байланысты кеңейту мен интенцияның қарама-қарсылығының дәл мағынасы. Бірақ жалпы тұжырымды осы екі рет анықтауға болады, бірақ нақты сыныптар, олар шекті болған кезде ғана, тек интенциялық түрде, яғни осындай және осындай тұжырымдамалармен белгіленетін нысандар ретінде анықталуы мүмкін. Логикалық тұрғыдан; кеңейтілген анықтама шексіз сыныптарға да бірдей қолданылады, бірақ іс жүзінде, егер біз оны жасауға тырыссақ, өлім біздің мақтауға лайық әрекетімізді мақсатына жетпей тұрып тоқтатады» (1903:69).
For Russell, "terms" are either "things" or "concepts": "Whatever may be an object of thought, or may occur in any true or false proposition, or can be counted as one, I call a term. This, then, is the widest word in the philosophical vocabulary. I shall use as synonymous with it the words, unit, individual, and entity. The first two emphasize the fact that every term is one, while the third is derived from the fact that every term has being, i. e. is in some sense. A man, a moment, a number, a class, a relation, a chimaera, or anything else that can be mentioned, is sure to be a term; and to deny that such and such a thing is a term must always be false" (Russell 1903:43)
"Among terms, it is possible to distinguish two kinds, which I shall call respectively things and concepts; the former are the terms indicated by proper names, the latter those indicated by all other words . Among concepts, again, two kinds at least must be distinguished, namely those indicated by adjectives and those indicated by verbs" (1903:44). "The former kind will often be called predicates or class concepts; the latter are always or almost always relations." (1903:44)
"I shall speak of the terms of a proposition as those terms, however numerous, which occur in a proposition and may be regarded as subjects about which the proposition is. It is a characteristic of the terms of a proposition that anyone of them may be replaced by any other entity without our ceasing to have a proposition. Thus we shall say that "Socrates is human" is a proposition having only one term; of the remaining component of the proposition, one is the verb, the other is a predicate . Predicates, then, are concepts, other than verbs, which occur in propositions having only one term or subject." (1903:45)
Suppose one were to point to an object and say: "This object in front of me named 'Emily' is a woman." This is a proposition, an assertion of the speaker's belief, which is to be tested against the "facts" of the outer world: "Minds do not create truth or falsehood. They create beliefs . what makes a belief true is a fact, and this fact does not (except in exceptional cases) in any way involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). If by investigation of the utterance and correspondence with "fact", Russell discovers that Emily is a rabbit, then his utterance is considered "false"; if Emily is a female human (a female "featherless biped" as Russell likes to call humans, following Diogenes Laërtius's anecdote about Plato), then his utterance is considered "true". "The class, as opposed to the class concept, is the sum or conjunction of all the terms which have the given predicate" (1903 p. 55). Classes can be specified by extension (listing their members) or by intension, i. e. by a "propositional function" such as "x is a u" or "x is v". But "if we take extension pure, our class is defined by enumeration of its terms, and this method will not allow us to deal, as Symbolic Logic does, with infinite classes. Thus our classes must in general be regarded as objects denoted by concepts, and to this extent the point of view of intension is essential." (1909 p. 66)
"The characteristic of a class concept, as distinguished from terms in general, is that "x is a u" is a propositional function when, and only when, u is a class concept." (1903:56)
"71. Class may be defined either extensionally or intensionally. That is to say, we may define the kind of object which is a class, or the kind of concept which denotes a class: this is the precise meaning of the opposition of extension and intension in this connection. But although the general notion can be defined in this two fold manner, particular classes, except when they happen to be finite, can only be defined intensionally, i. e. as the objects denoted by such and such concepts. . logically; the extensional definition appears to be equally applicable to infinite classes, but practically, if we were to attempt it, Death would cut short our laudable endeavour before it had attained its goal. "(1903:69)