Введение
Статистика, которая делит набор данных на 100 частей и анализирует его в процентах. В статистике k-й процентиль, также известный как процентный балл или центиль, является значением, ниже которого находится заданный процент k значений в его частотном распределении («исключающее» определение) или значением, равным или ниже которого находится заданный процент («включающее» определение). Процентили выражаются в той же единице измерения, что и исходные значения, а не в процентах; например, если значения относятся к весу человека, соответствующие процентили будут выражаться в килограммах или фунтах. В пределе бесконечного размера выборки процентиль приближается к функции процентиля, которая является обратной кумулятивной функции распределения. Процентили – это тип квантилей, полученных путем разделения на 100 групп. 25-й процентиль также известен как первый квартиль (Q1), 50-й процентиль как медиана или второй квартиль (Q2), а 75-й процентиль как третий квартиль (Q3). Например, 50-й процентиль (медиана) – это значение, ниже (или равное или ниже, в зависимости от определения), которое находится 50% значений в распределении. Связанным показателем является процентный ранг значения, выраженный в процентах, который представляет собой долю значений в его распределении, которые меньше этого значения, согласно исключающему определению. Процентные баллы и процентные ранги часто используются при представлении результатов тестов, основанных на нормах, но, как уже отмечалось, они не идентичны. Для процентных рангов задается значение и вычисляется процент. Процентные ранги являются исключающими: если процентный ранг для заданного значения составляет 90%, то 90% значений были меньше. В отличие от этого, для процентилей задается процент и определяется соответствующее значение, которое может быть либо исключающим, либо включающим. Значение для заданного процента (например, 90-й) указывает на значение, ниже которого (исключающее определение) или равное или ниже которого (включающее определение) находятся другие значения в распределении.
In statistics, a k th percentile, also known as percentile score or centile, is a score below which a given percentage k of scores in its frequency distribution falls ("exclusive" definition) or a score at or below which a given percentage falls ("inclusive" definition). Percentiles are expressed in the same unit of measurement as the input scores, not in percent; for example, if the scores refer to human weight, the corresponding percentiles will be expressed in kilograms or pounds. In the limit of an infinite sample size, the percentile approximates the percentile function, the inverse of the cumulative distribution function. Percentiles are a type of quantiles, obtained adopting a subdivision into 100 groups. The 25th percentile is also known as the first quartile (Q1), the 50th percentile as the median or second quartile (Q2), and the 75th percentile as the third quartile (Q3). For example, the 50th percentile (median) is the score below (or at or below, depending on the definition) which 50% of the scores in the distribution are found. A related quantity is the percentile rank of a score, expressed in percent, which represents the fraction of scores in its distribution that are less than it, an exclusive definition. Percentile scores and percentile ranks are often used in the reporting of test scores from norm referenced tests, but, as just noted, they are not the same. For percentile ranks, a score is given and a percentage is computed. Percentile ranks are exclusive: if the percentile rank for a specified score is 90%, then 90% of the scores were lower. In contrast, for percentiles a percentage is given and a corresponding score is determined, which can be either exclusive or inclusive. The score for a specified percentage (e. g., 90th) indicates a score below which (exclusive definition) or at or below which (inclusive definition) other scores in the distribution fall.
Нормальное распределение и процентили
Методы, приведенные в разделе «методы расчета» (ниже), являются приближениями для использования в статистике малых выборок. В общем случае, для очень больших популяций, подчиняющихся нормальному распределению, процентили часто можно представить, ссылаясь на график нормальной кривой. Нормальное распределение отображается вдоль оси, масштабированной в стандартных отклонениях, или сигма-единицах. Математически нормальное распределение простирается до отрицательной бесконечности слева и до положительной бесконечности справа. Однако следует отметить, что лишь очень небольшая доля индивидуумов в популяции попадает за пределы диапазона от -3σ до +3σ. Например, в случае роста человека очень мало людей превышают уровень +3σ. Перцентили представляют собой площадь под нормальной кривой, возрастающую слева направо. Каждое стандартное отклонение соответствует фиксированному процентилю. Таким образом, при округлении до двух десятичных знаков, −3σ соответствует 0,13-му процентилю, −2σ – 2,28-му процентилю, −1σ – 15,87-му процентилю, 0σ – 50-му процентилю (как среднее, так и медиана распределения), +1σ – 84,13-му процентилю, +2σ – 97,72-му процентилю, и +3σ – 99,87-му процентилю. Это связано с правилом 68–95–99,7 или правилом трех сигм. Следует отметить, что теоретически 0-й процентиль находится в отрицательной бесконечности, а 100-й процентиль – в положительной бесконечности, хотя во многих практических приложениях, таких как результаты тестов, применяются естественные нижние и/или верхние границы.
Приложения
Когда интернет-провайдеры выставляют счета за "пиковую" пропускную способность, 95-й или 98-й процентиль обычно исключает 5% или 2% самых высоких пиков пропускной способности за месяц, после чего происходит выставление счета по ближайшему тарифу. Таким образом, редкие пики игнорируются, и клиенту начисляется плата более справедливо. Эта статистика полезна для измерения скорости передачи данных, поскольку она дает точное представление о стоимости пропускной способности. 95-й процентиль означает, что 95% времени использование пропускной способности ниже этого значения, а оставшиеся 5% – выше. Врачи часто используют вес и рост младенцев и детей для оценки их развития по сравнению с национальными средними значениями и процентилями, представленными в таблицах роста. 85-й процентиль скорости движения на дороге часто используется как ориентир при установлении ограничений скорости и оценке их соответствия – слишком высокое или слишком низкое. В финансах, Value at Risk (VaR) – это стандартный показатель для оценки (в зависимости от модели) величины, ниже которой стоимость портфеля, как ожидается, не опустится в течение определенного периода времени с заданной степенью достоверности.