Леон Альберт Хенкин: Жизнь и вклад в логику и математику

Введение

Американский математик

Леон Альберт Хенкин (19 апреля 1921, Бруклин, Нью-Йорк – 1 ноября 2006, Окленд, Калифорния) – американский логик, чьи работы сыграли значительную роль в развитии логики, особенно в теории типов. Он был активным научным сотрудником Калифорнийского университета в Беркли, где внес большой вклад как исследователь, преподаватель и на административных должностях. В этом университете он совместно с Альфредом Тарски руководил Группой по логике и методологии науки, из которой вышли многие выдающиеся логики и философы. Он проявлял активную гражданскую позицию и был страстным защитником своих пацифистских и прогрессивных взглядов. Хенкин наиболее известен своими доказательствами полноты различных формальных систем, таких как теория типов и логика первого порядка (полнота последней, в её слабой форме, была доказана Куртом Гёделем в 1929 году). Для доказательства полноты теории типов Хенкин ввёл новую семантику, не эквивалентную стандартной, основанную на структурах, называемых общими моделями (также известными как модели Хенкина). Предложенное им изменение семантики позволило создать полное дедуктивное исчисление для теории типов и логики второго порядка, среди прочих логик. Методы Хенкина способствовали доказательству различных результатов в теории моделей, как в классической, так и в неклассической логике. Помимо логики, важной областью его исследований была алгебра, в частности, цилиндрические алгебры, над которыми он работал вместе с Тарски и Дональдом Монком. В области философии математики, хотя работ, в которых он непосредственно рассматривает её, немного, его можно считать сторонником номинализма.

Детство и юность

Леон Альберт Хенкин родился 19 апреля 1921 года в Бруклине, штат Нью-Йорк, в еврейской семье, эмигрировавшей из России поколением ранее. Первым из семьи эмигрировал Авраам Хенкин, старший брат отца Леона. Отец им гордился с самого детства. Его высокие ожидания проявились в имени, которое он дал сыну: он решил назвать его Альбертом в честь серии статей о теории относительности Эйнштейна, опубликованных в New York Times незадолго до рождения Хенкина. Его семья симпатизировала пацифистским и прогрессивным идеям, и хотя он сам не был религиозен, он сохранил глубокие еврейские традиции. Леон вырос в атмосфере крепких семейных связей, был очень близок со своими кузенами, с которыми жил в детстве в Бруклине. Несмотря на посвящение себя университетской научной деятельности, он не отказывался от интереса к преподаванию элементарной математики, в которую позже активно включился.

Первые университетские исследования

В 1937 году Леон поступил в Колумбийский университет на математическое отделение. Именно в это время у него возник интерес к логике, который и определил направление его научной карьеры. Его знакомство с логикой началось с книги Б. Рассела «Мистицизм и математика», привлекшей его внимание во время посещения библиотеки. Этот интерес был углублен и развит благодаря некоторым курсам. Хотя на математическом факультете университета не преподавали логику (эти курсы были на философском факультете), Леон был одним из немногих студентов-математиков, проявлявших интерес к этой дисциплине, и он решил посещать их. Это чтение имело большое значение для Хенкина, не столько само по себе, сколько тем, что он осознал свою способность понимать современные исследования в области логики и математики. Одна из таких лекций проходила в Колумбийском университете, и Хенкин, как и другие студенты, изучающие логику, посещал ее с большим энтузиазмом. На ней Тарский рассказывал о работе Гёделя над неразрешимыми утверждениями в теории типов и о существовании алгоритмов решения для формальных систем – тема, которая чрезвычайно стимулировала Хенкина. Спустя много лет Хенкин написал статью «Открытие моих доказательств полноты». Когда требование о присяге было отменено, Хенкин принял предложение Тарски и обосновался в Беркли в 1953 году.

Его жизнь в Беркли

С 1953 года основная часть научной деятельности Хенкина была сосредоточена в Беркли, где он сотрудничал с сильной исследовательской группой в области логики. Он оставался там практически всю свою научную жизнь, за исключением периодов, когда он путешествовал за границу по стипендиям и грантам различных институтов, например, год, проведенный в Амстердаме, или год в Израиле по исследовательским грантам Фульбрайта (в 1954 и 1979 годах соответственно). Хенкин всегда был благодарен Тарскому, поскольку именно благодаря ему он смог обосноваться в Беркли. После смерти Тарски в 1983 году он написал в личном письме: «Я пишу, чтобы сообщить вам, что Альфред Тарски, приехавший в Беркли в 1942 году и основавший наш замечательный Центр по изучению логики и основ, скончался в среду вечером в возрасте 82 лет. Именно он пригласил меня в Беркли в 1953 году, поэтому я многим ему обязан как лично, так и в научном плане».

Тарски не только предложил Хенкину работу, но и предоставил ему очень плодотворную междисциплинарную среду для развития логики. Тарски основал Центр по изучению логики и основ в Беркли, но с помощью Хенкина ему удалось собрать группу логиков, математиков и философов, которые сформировали Группу по логике и методологии науки. В рамках этого проекта была создана междисциплинарная аспирантура, завершающаяся получением докторской степени. Тарски и Хенкин укрепили проект, организовав важные конгрессы и конференции по логике, следуя концепции Тарски о «логике как общей основе для всего человеческого знания». Иногда Хенкин посещал школы своих детей, чтобы поговорить с учениками начальных классов о математике, рассказывая им об «отрицательных числах» или «о том, как вычитать, прибавляя». Примерно в то время (около 1960 года) Хенкин начал чередовать свои научные исследования в математике с исследованиями в области преподавания математики, причем последние становились все более частыми. Одной из фраз, которая лучше всего отражает чувства, выраженные в различных отзывах его учеников, является высказывание Дугласа Хофштадтера: «Мне очень повезло быть его аспирантом, поскольку я узнал от него гораздо больше, чем просто логику. Именно его человечность покорила мое сердце. Я всегда стремлюсь быть не менее добрым к своим студентам и не менее заинтересованным в их профессиональном росте после окончания учебы, чем он был ко мне».

Алгебра

Работа Хенкина в области алгебры была сосредоточена на цилиндрических алгебрах, предмет, который он исследовал совместно с Альфредом Тарским и Дональдом Монком. Цилиндрические алгебры предоставляют структуры, которые по отношению к логике первого порядка являются тем же, чем булева алгебра по отношению к пропозициональной логике. Одной из целей Хенкина и Тарски в продвижении алгебраической логики было привлечение интереса математиков к логике, поскольку они были убеждены, что логика может предоставить объединяющие принципы для математики: согласно Монку, в 1950 году. Оба представили часть результатов, изложенных в диссертации «О полноте формальных систем», за которую Хенкин получил степень доктора философии в Принстоне в 1947 году. Одним из наиболее известных результатов Хенкина является теорема о полноте логики первого порядка, опубликованная в вышеупомянутой статье 1949 года, которая представлена как первая теорема в диссертации 1947 года. Она формулируется следующим образом: любое множество предложений, формально непротиворечивых в дедуктивной системе, выполнимо в счетной структуре. Эта теорема в настоящее время называется «теоремой о полноте», поскольку из нее легко следует следующее: если является множеством предложений, а является семантическим следствием , то выводится из . Это сильная версия теоремы о полноте, из которой слабая версия вытекает как следствие. Последняя формулирует результат для частного случая, когда множество пусто, то есть дедуктивный анализ логики первого порядка способен вывести все валидные формулы. Слабая версия, известная как теорема о полноте Гёделя, была доказана Гёделем в 1929 году в его докторской диссертации. Доказательство Хенкина более общее, более доступное, чем доказательство Гёделя, и легче обобщается на языки любой кардинальности. Оно подходит к полноте с новой и плодотворной точки зрения, и, возможно, его главное достоинство заключается в том, что его доказательство можно легко адаптировать для доказательства полноты других дедуктивных систем. Другие результаты, имеющие центральное значение для теории моделей, получаются как следствия сильной полноты логики первого порядка, доказанной Хенкином. Из нее, например, следует следующий результат для языка первого порядка: любое множество хорошо сформированных формул, выполнимых в -структуре, выполнимо в бесконечной счетной структуре. Этот результат известен как теорема Лёвенхайма-Сколема «вниз». Другим результатом, полученным из теоремы о полноте, является следующее: множество хорошо сформированных формул имеет модель тогда и только тогда, когда каждое его конечное подмножество имеет модель. Последняя известна как «теорема о компактности» логики первого порядка, которую также можно сформулировать так: «Любое множество хорошо сформированных формул, которое является конечно выполнимым, выполнимо». То есть, если для каждого конечного подмножества существует структура, в которой все его формулы истинны, то существует также структура, в которой истинны все формулы . Она известна как «теорема о компактности», поскольку она соответствует компактности определенного топологического пространства, определенного на основе семантических понятий. Среди других теорем о полноте, данных Хенкином, наиболее значимой, пожалуй, является теорема о полноте теории типов Черча, которая является первой из теорем о полноте, доказанных Хенкином. Затем он адаптировал метод, разработанный в этом доказательстве, для доказательства полноты других дедуктивных систем. Этот метод продолжает использоваться для доказательства полноты как в классической, так и в неклассической логике и стал стандартным доказательством полноты логики первого порядка в учебниках по логике. Когда Хенкин опубликовал этот результат в 1949 году, полнота еще не входила в число канонических тем, рассматриваемых в учебниках; примерно через двадцать лет эта теорема, вместе с ее доказательством и следствиями, вошла в состав практически каждого учебника по логике. Что касается неклассических логик, метод Хенкина может использоваться, в частности, для расширения полноты нечеткой логики от логики первого порядка до логики высших порядков, создавая полную теорию нечетких типов; он также предлагает способ получения результатов, связывающих классическую логику с интуиционистской логикой; и он позволяет проверять результаты о полноте в других неклассических логиках, как, например, в случае гибридной теории типов и уравнительной гибридной пропозициональной теории типов.

Henkin's work on algebra focused on cylindric algebras, a subject he investigated together with Alfred Tarski and Donald Monk. Cylindric Algebra provides structures that are to first order logic what Boolean algebra is to propositional logic. One of the purposes of Henkin and Tarski in promoting algebraic logic was to attract the interest of mathematicians to logic, convinced as they were that logic could provide unifying principles to mathematics:

According to Monk, in 1950. Both presented part of the results exposed in the dissertation "The completeness of formal systems" with which Henkin received his Ph. D. degree at Princeton in 1947. One of Henkin's best known results is that of the completeness of first order logic, published in the above mentioned 1949 article, which appears as the first theorem of the 1947 dissertation. It states the following:Any set of sentences of formally consistent in the deductive system of is satisfiable by a numerable structure This theorem is nowadays called the 'completeness theorem', since from it the following easily follows:If is a set of sentences of and is semantic consequence of , then is deducible from This is the strong version of the completeness theorem, from which the weak version is obtained as a corollary. The latter states the result for the particular case in which is the empty set, this is to say, the deductive calculus of first order logic is capable of deriving all valid formulas. The weak version, known as Gödel's completeness theorem, had been proved by Gödel in 1929, in his own doctoral thesis. Henkin's proof is more general, more accessible than Gödel's and more easily generalizable to languages of any cardinality. It approaches completeness from a new and fruitful perspective and its greatest quality is perhaps that its proof can be easily adapted to prove the completeness of other deductive systems. Other results central to model theory are obtained as corollaries of the strong completeness of the first order logic proved by Henkin. From it follows, for example, the following result for a first order language :Every set of well formed formulas of that is satisfiable in a −structure is satisfiable in an infinite numerable structure. This result is known as the "downwards" Löwenheim Skolem theorem. One other result obtained from the completeness theorem is: A set of well formed formulas of has a model if and only if each finite subset of it has a model. The latter is known as the "compactness theorem" of first order logic, which can also be phrased as: "Any set of well formed formulas of that is finitely satisfiable is satisfiable". This is to say, if for each of the finite subsets of there is a structure in which all of its formulas are true, then there is also a structure in which all the formulas of are true. It is known as "compactness theorem" because it corresponds to the compactness of a certain topological space, defined from semantic notions. Among the other theorems of completeness given by Henkin, the most relevant is perhaps that of the completeness of Church's Theory of Types, which is the first of the completeness theorems Henkin proved. Then, he adapted the method developed in that proof to prove the completeness of other deductive systems. This method has continued to be used to give proofs of completeness in both classical and non classical logics, and it has become the usual proof of completeness for first order logic in Logic textbooks. When Henkin published this result in 1949, completeness was not even part of the canonical subjects covered by the textbooks; some twenty years later, this theorem, along with its proof and corollaries, was part of virtually every Logic textbook. As for non classical logics, Henkin's method can be used, among other things, to extend the completeness of Fuzzy Logic from first order to higher order, producing a complete Fuzzy Type Theory; it also offers a way to obtain results that link classical logic with intuitionist logic; and it allows one to test results of completeness in other non classical logics, as in the cases of Hybrid Type Theory and Equational Hybrid Propositional Type Theory.

Открытие теорем полноты

Несмотря на то, что это один из его самых известных результатов, Хенкин пришел к доказательству полноты логики первого порядка "случайно", пытаясь доказать совершенно другой результат. Однако Хенкин упрощает сложную задачу прослеживания развития и формирования своих идей в своей статье "Открытие моих доказательств полноты". В конце войны Хенкин вернулся в Принстон, чтобы завершить докторские исследования, для которых ему все еще требовалось написать диссертацию, содержащую оригинальное исследование. Как только он прибыл в Принстон, он посетил курс Черча по логике, который начался за месяц до этого и был посвящен теории Фреге о "смысле и обозначаемом". Вдохновленный идеями Фреге, Черч хотел реализовать их в формальной аксиоматической теории. Для этого он взял простую теорию типов, опубликованную им несколько лет назад, и снабдил ее иерархией типов, вдохновленной идеей "смысла", изложенной Фреге. Именно на этом курсе Хенкин познакомился с теорией типов Черча, которая вызвала у него большой интерес. Он сразу же выдвинул гипотезу относительно нее, доказательство которой, как он надеялся, могло стать его докторской диссертацией. Одним из аспектов, привлекших внимание Хенкина к теории типов Черча, было то, что оператор позволял именовать множество объектов в иерархии типов. Как он объясняет в "Открытии моих доказательств полноты", он поставил перед собой задачу выяснить, какие элементы имеют имена в этой теории. Он начал с изучения элементов, которые были названы в двух областях, лежащих в основе иерархии типов. Он взял в качестве вселенной индивидов и добавил константу для каждого числа и функции следования, так что каждый элемент в этой области был назван от и повторений . Поднимаясь по иерархии, он пытался определить, какие функции над этими элементами можно было назвать. Их было несчетно много, поэтому некоторые из них не имели имен, поскольку существует лишь счетное количество выражений. Как определить, какие элементы можно было назвать? Чтобы каждое выражение соответствовало обозначаемому им элементу, ему требовалась функция выбора, на поиск которой Хенкин потратил много усилий. В конце концов, он понял, что с помощью дедуктивного исчисления он может сформировать классы эквивалентности выражений, равенство которых может быть выведено в исчислении, и построить с этими классами модель, изоморфную новой иерархии типов, сформированной именованными элементами. Он сосредоточился на интерпретациях формального языка, тогда как ключ к решению проблемы лежал в дедуктивной системе. Оставалось сделать вселенную объектов, называемых предложениями, множеством из двух элементов: истинных значений. Этого можно было достичь, расширив аксиомы, чтобы сформировать максимально непротиворечивый набор. Как только это было достигнуто, можно было доказать, что каждый непротиворечивый набор формул имеет модель, удовлетворяющую ровно формулам этого набора – элементы такой модели являются классами эквивалентности самих выражений. То есть, ему удалось бы дать доказательство полноты дедуктивного исчисления. Полученная семантика известна как общая семантика. В ней структуры, допустимые в качестве моделей, называются "общими моделями". Их можно использовать не только в теории типов, но и, например, для получения полных (и компактных) логик высшего порядка. Получение полных логик высшего порядка с использованием общей семантики обеспечивает ожидаемый баланс между выразительной силой логики и мощностью ее дедуктивного исчисления. В логике второго порядка со стандартной семантикой известно, что квантификация над предикативными переменными придает языку огромную выразительную силу, но взамен теряется мощность дедуктивного исчисления: последнего недостаточно для получения обширного множества действительных формул этой логики (со стандартной семантикой). Изменение исчисления ничего не дает, поскольку теорема о неполноте Гёделя гарантирует, что никакое дедуктивное исчисление не может достичь полноты. Напротив, изменяя семантику, то есть изменяя множества, формирующие вселенные, в которых интерпретируются предикативные переменные и константы, логика оказывается полной, ценой потери выразительной способности. В логике второго порядка множество действительных формул настолько велико, потому что понятие стандартной структуры слишком ограничительно, и их недостаточно для нахождения моделей, опровергающих формулы. Ослабляя условия, которые мы предъявляем к структурам, на которых интерпретируется язык, появляется больше моделей, в которых формулы должны быть истинными, чтобы быть действительными, и, следовательно, множество действительных формул уменьшается; это происходит таким образом, что оно совпадает с множеством, порождаемым дедуктивным исчислением, что приводит к полноте.

Despite being one of his best known results, Henkin got to the proof of the completeness of first order logic "accidentally", trying to prove a completely different result. However, Henkin simplifies the difficult task of tracing the development and shaping of his ideas by his article "The discovery of my completeness proofs",

At the end of the war, Henkin returned to Princeton to complete his doctoral studies, for which he still had to write a dissertation containing an original research. As soon as he arrived at Princeton, he attended Church's course in logic that had begun one month earlier, which dealt with Frege's theory of "sense and reference". Motivated by Frege's ideas, Church wanted to put them into practice through a formal axiomatic theory. To do so, he took the simple Theory of Types he had published a few years earlier, and supplied it with a hierarchy of types, inspired by the idea of "sense" exposed by Frege. It was in this course that Henkin became acquainted with Church's Theory of Types, which he found of great interest. He immediately made a conjecture about it, whose proof he hoped could become his doctoral dissertation. One of the attributes that drew Henkin's attention to Church's Theory of Types was that the operator allowed to name many objects in the type hierarchy. As he explains in "The discovery of my completeness proofs", he set out to find out which elements had names in this theory. He began by exploring the elements that were named in the two domains at the base of the type hierarchy. He took as the universe of individuals, and added a constant for each the number and the successor function , so that each element in the domain was named from and repeated occurrences of Going up through the hierarchy, he tried to specify which functions over those elements were nameable. The set of them was supernumerable, so there had to be some without a name, since there is only a numerable number of expressions. How could be said which elements were the nameable ones? To make each expression correspond to the element it denotated, he needed a choice function, in whose search Henkin invested many efforts. Finally, he realized that by means of the deductive calculus he could form equivalence classes of expressions whose equality could be derived by the calculus, and form with these classes a model isomorphic to the new hierarchy of types formed by the named elements. He had been focusing on the interpretations of the formal language, when the key to solving the problem lied on the deductive system. It remained to make the universe of the objects named by the propositions a set of two elements: the truth values. This could be achieved by expanding the axioms to form a maximally consistent set. Once this was achieved, it could be proved that every consistent set of formulas has a model that satisfies exactly the formulas of –the elements of such model are the equivalence classes of the expressions themselves–. That is, he would have managed to give a proof of the completeness of the deductive calculus. The resulting semantics is known as general semantics. In it the structures that are admissible as models are those known as 'general models'. These can be used not only in Type Theory, but also, for instance, to obtain complete (and compact) higher order logics. Obtaining complete higher order logics by the use of general semantics meets the expected balance between the expressive power of a logic and the power of its deductive calculus. In second order logic with standard semantics it is known that quantifying over predicative variables gives the language an immense expressive power, in exchange for which the power of deductive calculus is lost: the latter is not enough to produce the extense set of valid formulas of this logic (with standard semantics). Changing the calculus does not solve anything, since Gödel's incompleteness theorem ensures that no deductive calculus could achieve completeness. On the contrary, by changing the semantics, that is, by changing the sets that form the universes in which the predicative variables and constants are interpreted, the logic turns out to be complete, at the cost of losing expressive capacity. In second order logic the set of valid formulas is so large because the concept of standard structure is too restrictive and there are not enough of them to find models that refute the formulas. By relaxing the conditions we ask of the structures on which the language is interpreted, there are more models in which the formulas must be true to be valid and therefore the set of valid formulas is reduced; it does so in such a way that it coincides with the set produced by a deductive calculus, giving rise to completeness.

К переводу между логиками

Одной из областей, в которой основы, заложенные в работе Хенкина, оказались плодотворными, является поиск логики, служащей общей основой для перевода между логиками. Эта основа призвана использоваться как металогический инструмент; её цель – не выбор "единственной логики" в ущерб другим, что подавило бы богатство, заключенное в их разнообразии, а обеспечение адекватного контекста для их сопоставления, понимания и, таким образом, наилучшего использования достоинств каждой из них. "Полнота в теории типов" и "Исключение правила подстановки для функциональных переменных".

Математическая индукция

Тема математической индукции часто поднималась в преподавательской деятельности Хенкина. Вероятно, его опыт в этой области был связан с его статьей «О математической индукции». Эта статья была любимой у Хенкина, и он даже писал, что считает её своей лучшей научно-популярной работой. В ней он определил модели Пеано как те, что удовлетворяют трем аксиомам второго порядка Пеано, а модели индукции – как те, что удовлетворяют третьей из них: аксиоме индукции. Он показал, что хотя все рекурсивные операции можно ввести в моделях Пеано, это не так в моделях индукции. В частности, существуют модели индукции, в которых операция возведения в степень не может быть определена. Он написал эту статью в ответ на две работы по номинализму. По словам одного из его учеников, «частью его таланта было элегантное изложение математики, но он также прикладывал усилия, чтобы вовлечь аудиторию в выдвижение гипотез, предвидение следующего шага или в удивление от него. Он, безусловно, вызывал интерес у слушателей». Одним из аспектов его лекций, которому он уделял особое внимание, был выбор подходящего темпа, постоянно сталкиваясь с дилеммой, как найти оптимальную скорость обучения. Он считал важным, чтобы студенты могли следить за ритмом занятий, даже если это означало, что некоторым покажется медленно – они могли бы продолжить изучение материала в своем собственном темпе. Помимо курсов и руководства аспирантами, роль Хенкина в подготовке ученых была значительной. Тарски пригласил его в Беркли с четкой целью. Как математик, Хенкин сыграл ключевую роль в проекте Тарски по превращению Беркли в центр развития логики, объединив математиков, логиков и философов. Хенкин помог ему реализовать этот проект, участвуя в создании междисциплинарной группы по логике и методологии науки, успешная работа которой во многом была обусловлена его инициативой. «Новые направления в математике средней школы» или «Роль деятельности и мышления в математическом образовании». С 1979 года он уделял особое внимание этому аспекту своих исследований, за некоторые из которых он получил награды, такие как премия Шовене (1964).

The topic of mathematical induction was frequently addressed in Henkin's activities on teaching. Probably his experience in this field was the result of his article "On mathematical induction". This was Henkin's favorite article of his own, of which he even wrote that he considered it his best expository article. In it he defined Peano Models as those that fulfill Peano's three Second Order Axioms and Induction Models as those that satisfy the third of them: the induction axiom. He demonstrated that although all recursive operations can be introduced in the Peano models, this is not the case in the Induction Models. Concretely, there are Induction Models in which the exponentiation operation cannot be defined. which he wrote in response to two articles on nominalism, In the words of one of his students, "part of his magic was his elegant expression of the mathematics, but he also worked hard to engage his audience in conjecturing and seeing the next step or in being surprised by it. He certainly captured the interest of his audiences." One of the aspects of his lectures in which he put special care was in finding an appropriate pace, facing the constant dilemma of how to find the optimal speed for learning. He considered it important that the students could follow the rhythm of the class, even if this meant that some would found it slow –they could continue at their own pace with the readings. In addition to his courses and supervision of graduate students, Henkin's role in the scholars education was significant. Tarski had invited him to Berkeley with a clear purpose. As a mathematician, Henkin had a key role in Tarski's project to make Berkeley a center of development of logic, bringing together mathematicians, logicians and philosophers. Henkin aided him to carry out the project, helping him in the creation of the interdisciplinary Group in Logic and the Methodology of Science, whose successful performance was largely due to Henkin's drive. "New directions in secondary school mathematics" or "The roles of action and of thought in mathematics education". From 1979 onwards he put special emphasis on this facet of his research for some of which he received awards such as the Chauvenet Prize (1964),

Социальные проекты

На протяжении всей своей жизни Леон Хенкин проявлял глубокую приверженность обществу и часто назывался социальным активистом. Он осознавал, что мы являемся частью истории и контекста вокруг нас, как отмечается в одном из его сочинений: "Волны истории обрушиваются на нашу страну, взбаламучивая наше общество и наши институты. Вскоре мы видим изменения в том, как все мы действуем, включая математику и преподавание. Эти изменения формируются в ручейки и потоки, которые сливаются под разными углами с теми, что возникают в совершенно иных сферах общества, нежели образование, математика или наука. Образуются реки, несущие мощные течения, которые порождают будущие волны истории. Великая депрессия и Вторая мировая война стали фоном моих студенческих лет; Холодная война и движение за гражданские права – той средой, в которой я начал свою карьеру как исследователь-математик, а позже включился в работу по математическому образованию." Хенкин был убежден, что перемены можно достичь через образование, и, верный этой идее, посвятил себя как программам математического образования для начальной школы, так и инициативам, направленным на борьбу с исключенностью. Он проявлял политическую приверженность обществу, отстаивая прогрессивные идеи. Он вдохновил многих своих студентов на участие в математическом образовании. Осознавая вклад, который математики могут внести через преподавание, Хенкин отстаивал ценность педагогической деятельности в академической среде, как он выразил в личном письме: "В нынешнее время, когда наши традиционно подготовленные кандидаты наук по математике сталкиваются с трудностями на рынке труда, мне кажется, что мы, преподаватели, должны особенно искать новые области, где математическое образование может внести существенный вклад в основные цели общества". Ниже приведены некоторые из социальных проектов, которые он создал или в которых участвовал. Фильм был показан в цикле передач "Математика сегодня". В период с 1961 по 1964 год он участвовал в серии курсов для учителей начальной школы, организованных Комитетом по программам бакалавриата в области математики. Примерно в то же время он поддерживал инициативу "Действия по расширению возможностей" (Activities to Broaden Opportunity), которая стремилась предоставить возможности перспективным студентам из числа этнических меньшинств, предлагая им летние курсы и стипендии. Он принимал участие в программе SEED (Special Elementary Education for the Disadvantaged), которая поощряла студентов высших учебных заведений участвовать в обучении в начальной школе, а также в SESAME (Special Excellence in Science and Mathematics Education) – междисциплинарной аспирантской программе, созданной представителями различных естественнонаучных факультетов, целью которой было исследование процессов обучения и преподавания в области науки, техники и математики. В период с 1960 по 1968 год он участвовал в серии конференций в математических школах и принимал участие в разработке нескольких фильмов, созданных Национальным советом учителей математики (NCTM). Эти фильмы были посвящены таким темам, как система целых чисел и система рациональных чисел. Он также участвовал в курсах поддержки для студенток, изучающих математический анализ, и убедил математический факультет разрешить аспирантам получать такую же финансовую поддержку за работу в качестве учителей начальной школы, как и за работу в качестве ассистентов преподавателей в колледже.

Throughout his life, Leon Henkin showed a deep commitment to society and was often called a social activist. He was aware that we are part of history and the context around us, as one of his writings records:"Waves of history wash over our nation, stirring up our society and our institutions. Soon we see changes in the way that all of us do things, including our mathematics and our teaching. These changes form themselves into rivulets and streams that merge at various angles with those arising in parts of our society quite different from education, mathematics, or science. Rivers are formed, contributing powerful currents that will produce future waves of history. The Great Depression and World War II formed the background of my years of study; the Cold War and the Civil Rights Movement were the backdrop against which I began my career as a research mathematician, and later began to involve myself with mathematics education. "Henkin was convinced that changes could be achieved through education and, true to his idea, he committed himself to both elementary mathematics education programs and to programs whose aim was to combat exclusion. He showed a political commitment to society, defending progressive ideas. He inspired many of his students to become involved in mathematics education.</blockquote>Aware of the contributions that mathematicians could make through teaching, Henkin defended that teaching should be valued in the academy environment, as he expressed in a personal letter: "In these times when our traditionally trained mathematics Ph. D.’s are finding rough going in the marketplace, it seems to me that we on the faculty should particularly seek new realms wherein mathematics training can make a substantial contribution to the basic aims of society." Some of the social projects he formed or participated in are the following. The film was broadcast in the series "Mathematics Today". Between 1961 and 1964, he participated in a series of courses for elementary school teachers, organized by the Committee on the Undergraduate Program in Mathematics. Also around that time, he promoted the Activities to Broaden Opportunity initiative, which sought to provide opportunities for promising students from ethnic minority groups by offering them summer courses and scholarships. He took part in the SEED (Special Elementary Education for the Disadvantaged) program, which encouraged college students to participate in elementary education, as well as in SESAME (Special Excellence in Science and Mathematics Education), the interdisciplinary doctoral program created by members of various science departments, whose purpose was to research teaching and learning of science, engineering, and mathematics. Between 1960 and 1968 he participated in a series of conferences in mathematics schools, and was involved in the development of several films produced by the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). These films dealt with topics such as the integer system and the rational number system. He also participated in support courses for female calculus students and convinced the mathematics department to allow graduate students to receive the same financial support for working as elementary school teachers as they did for working as assistant teachers in college.

Основные изделия Хенкина

Хенкин, Л. (1949). Полнота функционального исчисления первого порядка. Журнал символической логики, 14(3), 159–166. Хенкин, Л. (1950). Полнота в теории типов. Журнал символической логики, 15(2), 81–91. Хенкин, Л. (1953). Отказ от правила подстановки для функциональных переменных. Журнал символической логики, 18(3), 201–208. Хенкин, Л. (1953). Некоторые взаимосвязи между современной алгеброй и математической логикой. Transactions of the American Mathematical Society, 74, 410–427. Хенкин, Л. (1953). Некоторые замечания о номинализме. Журнал символической логики, 18(1), 19–29. Хенкин, Л. (1954). Обобщение понятия ω-консистентности. Журнал символической логики, 19(3), 183–196. Хенкин, Л. (1955). Номиналистическая интерпретация математического языка. Бюллетень Бельгийского математического общества, 7, 137–141. Хенкин, Л. (1955). Теорема о представлении цилиндрических алгебр. В Skolem, Th., Hasenjaeger, G., Kreisel, G., Robinson, A. (ред.) Математическая интерпретация формальных систем, с. 85–97. Хенкин, Л. (1957). Обобщение понятия полноты. Журнал символической логики, 22(1), 1–14. Хенкин, Л. (1960). О математической индукции. The American Mathematical Monthly, 67(4), 323–338. Хенкин, Л. (1961). Математическая индукция. В MAA Film Manual No.1, Математическая ассоциация Америки, Университет Буффало, Нью-Йорк. Хенкин, Л., Тарски, А. (1961). Цилиндрические алгебры. В Dilworth, R. P. (ред.) Теория решеток. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society, 2, 83–113. Хенкин, Л., Смит, В. Н., Варино, В. Дж., Уолш, М. Дж. (1962). Восстановление элементарной математики. Macmillan, Нью-Йорк. Хенкин, Л. (1962). Являются ли логика и математика идентичными? Science, vol. 138, 788–794. Хенкин, Л. (1963). Новые направления в математическом образовании в средней школе. В Ritchie, R. W. (ред.) Новые направления в математике, 1–6. Prentice Hall, Нью-Йорк. Хенкин, Л. (1963). Расширение теоремы интерполяции Крейга — Линдона. Журнал символической логики, 28(3), 201–216. Хенкин, Л. (1963). Теория пропозициональных типов. Fundamenta Mathematicae, 52, 323–344. Хенкин, Л. (1971). Математические основания математики. The American Mathematical Monthly, 78(5), 463–487. Хенкин, Л. (1975). Идентичность как логический примитив. Philosophia, 5, 31–45. Хенкин, Л. (1977). Логика равенства. The American Mathematical Monthly, 84(8), 597–612. Хенкин, Л. (1995). Роль действия и мысли в математическом образовании — размышления математика. В Fisher, N. D., Keynes, H. B., Wagreich, Ph. D. (ред.) Изменение культуры: математическое образование в исследовательском сообществе, CBMS Issues in Mathematics Education, vol. 5, с. 3–16. American Mathematical Society in cooperation with Mathematical Association of America, Providence. Хенкин, Л. (1996). Открытие моих доказательств полноты. Bulletin of Symbolic Logic, vol. 2(2), 127–158.

Henkin, L. (1949). The completeness of the first order functional calculus. The Journal of Symbolic Logic, 14(3), 159 166. Henkin, L. (1950). Completeness in the theory of types. The Journal of Symbolic Logic, 15(2), 81 91. Henkin, L. (1953). Banishing the Rule of Substitution for Functional Variables. The Journal of Symbolic Logic, 18(3), 201 208. Henkin, L. (1953). Some interconnections between modern algebra and mathematical logic. Transactions of the American Mathematical Society, 74, 410 427. Henkin, L. (1953). Some notes on nominalism, The Journal of Symbolic Logic, 18(1), 19 29. Henkin, L. (1954) A generalization of the concept of $\omega$ consistency. The Journal of Symbolic Logic. 19(3), 183 196. Henkin, L. (1955) The nominalistic interpretation of mathematical language. Bulletin of the Belgian Mathematical Society. 7, 137 141. Henkin, L. (1955) The representation theorem for cylindrical algebras. En Skolem, Th., Hasenjaeger, G., Kreisel, G., Robinson, A. (Eds.) Mathematical Interpretation of Formal Systems, pp. 85–97. Henkin, L. (1957) A generalization of the concept of completeness. The Journal of Symbolic Logic. 22(1), 1 14. Henkin, L. (1960). On mathematical induction. The American Mathematical Monthly. 67(4), 323 338. Henkin, L. (1961). Mathematical Induction. En MAA Film Manual No.1 The Mathematical Association of America, University of Buffalo, Nueva York. Henkin, L., Tarski, A. (1961) Cylindric algebras. En Dilworth, R. P. (Ed.) Lattice Theory. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society, 2, 83 113. Henkin, L. Smith, W. N., Varineau, V. J., Walsh, M. J. (1962) Retracing Elementary Mathematics. Macmillan, New York. Henkin, L. (1962). Are logic and mathematics identical?, Science, vol.138, 788 794. Henkin, L. (1963). New directions in secondary school mathematics. En Ritchie, R. W. (Ed.) New Directions in Mathematics, 1 6. Prentice Hall, New York. Henkin, L. (1963). An Extension of the Craig Lyndon Interpolation theorem. The Journal of Symbolic Logic. 28(3), 201 216. Henkin, L. (1963). A theory of propositional types. Fundamenta mathematicae. 52, 323 344. Henkin, L. (1971). Mathematical foundations for mathematics. The American Mathematical Monthly. 78(5), 463 487. Henkin, L. (1975). Identity as a logical primitive. Philosophia 5, 31 45. Henkin, L. (1977). The logic of equality. The American Mathematical Monthly. 84(8), 597 612. Henkin, L. (1995). The roles of action and of thought in mathematics education –one mathematician's passage. Fisher, N. D., Keynes, H. B., Wagreich, Ph. D. (Eds. ), Changing the Culture: Mathematics Education in the Research Community, CBMS Issues in Mathematics Education, vol. 5, pp. 3–16. American Mathematical Society in cooperation with Mathematical Association of America, Providence. Henkin, L. (1996). The discovery of my completeness proofs, Bulletin of Symbolic Logic, vol. 2(2), 127 158.

Полученные награды

1964 — Премия Шовене, присуждаемая Американской математической ассоциацией автору выдающейся научно-популярной статьи по математической тематике, написанной членом Ассоциации. 1972 — Премия Лестера Р. Форда — за статью «Математические основы математики», Американский математический ежемесячник, 78 (1971), 463–487. 1990 — Первый лауреат премии Гунга и Ху за выдающийся вклад в развитие математики. 1991 — Berkeley Citation — высшая награда Калифорнийского университета. 2000 — Почетная грамота имени Леона Хенкина — за выдающиеся заслуги, вручаемая преподавателю Калифорнийского университета за "исключительную приверженность развитию образования студентов из недостаточно представленных в академической среде групп".