Леон Альберт Хенкин: Американдық логик және математик өмірі мен еңбектері

Кіріспе

Американдық математик

Леон Альберт Хенкин (19 сәуір 1921 жыл, Бруклин, Нью-Йорк – 1 қараша 2006 жыл, Окленд, Калифорния) – американдық логик, оның еңбектері логиканың дамуында, әсіресе типтер теориясында маңызды рөл атқарды. Ол Калифорния университетінде (Беркли) белсенді ғалым болды, онда зерттеуші, оқытушы және әкімшілік қызметтерде үлкен үлес қосты. Осы университетте ол Альфред Тарскимен бірге Логика және ғылымның әдістемесі тобын басқарды, одан көптеген маңызды логиктер мен философтар шықты. Ол жоғары әлеуметтік жауапкершілікке ие және бейбітшілік пен прогрессивті идеяларын ынтамен қорғады. Хенкин негізінен типтер теориясы және бірінші реттік логика сияқты әртүрлі формальды жүйелердің толықтығын дәлелдеуімен танымал (соңғысының әлсіз нұсқасы 1929 жылы Курт Гёдель тарапынан дәлелденген). Типтер теориясының толықтығын дәлелдеу үшін Хенкин стандартты семантикаға балама емес, «жалпы модельдер» (немесе Хенкин модельдері) деп аталатын құрылымдарға негізделген жаңа семантиканы енгізді. Ол ұсынған семантикалық өзгеріс типтер теориясы, екінші реттік логика және басқа да логикалар үшін толық дедуктивті есептеуді құруға мүмкіндік берді. Хенкиннің әдістері классикалық және классикалық емес логикадағы модельдік теорияның әртүрлі нәтижелерін дәлелдеуге көмектесті. Логикадан басқа, оның зерттеулері алгебра саласына қатысты; ол Тарски және Дональд Монкпен бірге цилиндрлік алгебралар саласында жұмыс істеді. Математика философиясына қатысты, оның тікелей осы тақырыпқа арналған еңбектері аз болғанымен, оны номиналист деп санауға болады.

Балалық шағы мен алғашқы жастық шағы

Леон Альберт Хенкин 1921 жылғы 19 сәуірде Нью-Йорк қаласының Бруклин ауданында, бір буын бұрын Ресейден көшіп келген яһуди отбасында дүниеге келді. Леонның әкесінің ағаларының үлкені Абрахам Хенкин отбасының алғашқы көшкені болды. Әкесі бала кезінен оны өте мақтан тұтқан. Ол ұлына Альберт есімін қою арқылы жоғары үміттерін білдірді, себебі Хенкин дүниеге келмес бұрын «Нью-Йорк Таймс» газетінде Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы туралы бірнеше мақала жарық көрген еді. Оның отбасы бейбітшілдік пен прогрессивті идеяларды жақтады, ал ол дінге сенбесе де, яһуди дәстүрлерін терең бойына сіңірген. Леон тығыз отбасылық байланыстармен өркендеді, Бруклинде балалық шағында бірге тұрған туыстарымен өте жақын болды. Университеттегі ғылыми өміріне берілгенімен, ол бастауыш математиканы оқытуға деген қызығушылығынан ешқашан айырылмады және кейіннен осы салаға белсенді үлес қосты.

Алғашқы университет оқулары

1937 жылы Леон Колумбия университетіне математика студенті ретінде қабылданды. Осы оқу орнында оқыған кезінде ол логикаға қызығушылық танытты, бұл оның академиялық карьерасының бағытын анықтады. Логикамен алғашқы танысуы Б. Расселдің «Мистицизм және математика» кітабы арқылы болды, ол кітапханаға барғанда оның қызығушылығын оятып, күшейтті. Бұл қызығушылық кейбір курстарда оқу арқылы одан әрі дамыды. Университеттің математика факультеті логика бойынша курстар ұсынбаса да (оларды философия факультеті ұсынды), Леон осы салаға қызығушылық танытқан аз ғана математика студенттерінің бірі болды және оларға қатысуға шешім қабылдады. Бұл оқу Хенкин үшін мазмұнымен ғана емес, сонымен қатар сол кездегі логика мен математика бойынша жүргізіліп жатқан зерттеулерді түсінуге мүмкіндік бергенімен маңызды болды. Мұндай лекциялардың бірі Колумбияда өтті, және Хенкин, басқа логика студенттері сияқты, оған зор ынтамен қатысты. Онда Тарски типтер теориясындағы шешілмейтін мәселелер және формальды жүйелер үшін шешім алгоритмдерінің болуы туралы Гёдельдің жұмыстары туралы айтты, бұл Хенкинге өте қызықты тақырып болды. Көп жылдар өткен соң Хенкин «Менің толықтығымды дәлелдеуімнің табылуы» деген мақала жазды. Ант беру талабы алынып тасталғаннан кейін Хенкин Тарскидің ұсынысын қабылдап, 1953 жылы Берклиде қоныстанды.

Берклидегі өмірі

1953 жылдан бастап Хенкиннің академиялық қызметінің басым бөлігі Берклиде өтті, онда ол логика саласындағы белді зерттеу тобымен ынтымақтастықпен жұмыс істеді. Ол өзінің академиялық өмірінің көп бөлігін сол жерде өткізді, тек әртүрлі институттардың стипендиялары мен гранттары арқасында шетелге сапарлар жасаған кездерді қоспағанда, мысалы, бір жыл Амстердамда немесе Фулбрайт зерттеу гранттары бойынша Израильде (1954 және 1979 жылдары) болды. Хенкин Тарскиге әрдайым алғыс айтты, себебі оның арқасында ол Берклиде орналаса алды. Тарски 1983 жылы қайтыс болғаннан кейін ол жеке хатында былай деп жазды: “Сізге Альфред Тарскидің 1942 жылы Берклиге келіп, Логика және негіздерді зерттеу орталығын құрғанын, ол өткен сәрсенбі күні түнде 82 жасында қайтыс болғанын хабарлау үшін жазамын. Ол мені 1953 жылы Берклиге әкелді, сондықтан мен оған жеке және ғылыми тұрғыдан көп қарыздымын.”

Тарски Хенкинге жұмысқа мүмкіндік берген ғана емес, сонымен қатар логиканы дамыту үшін өте ыңғайлы пәнаралық ынтымақтастық ортасын ұсынды. Тарски Берклиде Логика және негіздерді зерттеу орталығын құрды, бірақ Хенкиннің көмегімен ол логикашылар, математиктер және философтардан тұратын топты біріктіре алды, олар Логика және ғылымның әдістемесі тобын құрды. Бұл жобаның аясында олар докторлық диссертацияға (Ph.D.) әкеліп соқтыратын пәнаралық аспирантура бағдарламасын жасады. Тарски мен Хенкин Тарскинің «логика – барлық адамзат білімінің ортақ негізі» деген тұжырымын ұстана отырып, логика бойынша маңызды конгрестер мен конференцияларды ұйымдастыру арқылы жобаны дамытты. Кейде Хенкин бастауыш мектеп оқушыларына математика туралы, «теріс сандар» немесе «қосу арқылы алу» туралы айту үшін балаларының мектептеріне баратын. Шамамен 1960 жылдар шамасында Хенкин математикадағы зерттеу жұмыстарын математиканы оқытудағы зерттеу жұмысымен ауыстыра бастады, соңғысы жиіледі. Оның студенттерінің көптеген куәліктерінде айтылған пікірлердің бірі Дуглас Хофстадтердің мына сөзі: «Мен оның аспиранты болғанымды өте бақытты сезінемін, себебі мен одан логикадан гөрі әлдеқайда көп нәрсе үйрендім. Оның адамгершілігі менің жүрегімді жаулап алды. Мен әрқашан студенттеріммен одан да мейірімді болуға және олардың бітіргеннен кейін кәсіби өсуін одан да ынталы түрде қолдауға ниеттенем».

Алгебра

Хенкиннің алгебрадағы жұмысы цилиндрлік алгебраға бағытталған, оны Альфред Тарски мен Дональд Монкпен бірге зерттеген. Цилиндрлік алгебра, бірінші реттік логикаға Буль алгебрасы сөйлемдік логикаға не нәрсе болса, сондай құрылымдарды ұсынады. Хенкин мен Тарскидің алгебралық логиканы насихаттаудағы мақсаттарының бірі математиктердің логикаға қызығушылығын ояту болды, себебі олар логика математикаға біріктіруші принциптерді ұсынуға қабілетті деп сендірді: Монк 1950 жылы былай деді. Екеуі де Хенкиннің 1947 жылы Принстон университетінде «Формальдық жүйелердің толықтығы» деген тақырыпта қорғаған диссертациясында келтірілген нәтижелердің бір бөлігін ұсынды. Хенкиннің ең белгілі нәтижелерінің бірі – 1949 жылғы мақалада жарияланған бірінші реттік логиканың толықтығы туралы теорема, ол 1947 жылғы диссертацияның бірінші теоремасы ретінде келтірілген. Ол былай тұжырымдайды: Дедуктивті жүйеде формальды тұрғыдан сәйкес келетін кез келген сөйлемдер жиыны саналатын модельде қанағаттандырылады. Бұл теорема қазір «толықтық теоремасы» деп аталады, себебі одан келесісі оңай шығады: Егер сөйлемдер жиыны болса және одан семантикалық түрде шығарылса, онда дедуктивті түрде шығарылады. Бұл толықтық теоремасының күшті нұсқасы, ал одан әлсіз нұсқасы салдары ретінде алынады. Соңғысы бос жиын үшін жарамды, яғни бірінші реттік логиканың дедуктивті есептеуі барлық дұрыс формулаларды шығара алады. Гёдельдің толықтық теоремасы деп танылатын әлсіз нұсқаны Гёдель 1929 жылы докторлық диссертациясында дәлелдеген. Хенкиннің дәлелі Гёдельдікіне қарағанда жалпылама, түсінікті және кез келген кардиналдыққа ие тілдерге оңай бейімделеді. Ол толықтыққа жаңа және жемісті көзқараспен келеді, ал оның ең үлкен артықшылығы, мүмкін, оның дәлелін басқа дедуктивті жүйелердің толықтығын дәлелдеу үшін оңай бейімдеуге болады. Хенкин дәлелдеген бірінші реттік логиканың толықтығынан модель теориясының маңызды нәтижелері туындайды. Мысалы, бірінші реттік тіл үшін келесі нәтиже шығады: -құрылымда қанағаттандырылатын жақсы құрылған формулалардың кез келген жиыны шексіз саналатын құрылымда қанағаттандырылады. Бұл нәтиже «төменге қарайғы» Лёвенхайм-Сколем теоремасы деп аталады. Толықтық теоремасынан алынған тағы бір нәтиже: жақсы құрылған формулалардың жиыны модельге ие, егер және тек егер оның кез келген шекті жиынтығы модельге ие болса. Соңғысы бірінші реттік логиканың «жинақтылық теоремасы» деп аталады, оны былай да тұжырымдауға болады: «кез келген шекті түрде қанағаттандырылатын жақсы құрылған формулалар жиыны қанағаттандырылады». Яғни, егер формулалардың кез келген шекті жиынтығы үшін олардың барлығы шын болатын модель болса, онда формулаларының барлығы шын болатын модель де бар. Ол «жинақтылық теоремасы» деп аталады, себебі ол семантикалық ұғымдардан анықталған белгілі бір топологиялық кеңістіктің жинақтығына сәйкес келеді. Хенкин берген толықтық теоремаларының арасында ең маңыздысы, мүмкін, Черчтың типтер теориясының толықтығы туралы теорема, ол Хенкин дәлелдеген толықтық теоремаларының біріншісі. Содан кейін ол осы дәлелдемеде жасалған әдісті басқа дедуктивті жүйелердің толықтығын дәлелдеу үшін бейімдеді. Бұл әдіс классикалық және классикалық емес логикада толықтықты дәлелдеу үшін қолданыла береді және ол логика оқулықтарында бірінші реттік логиканың толықтығын дәлелдеудің стандартты әдісіне айналды. Хенкин бұл нәтижені 1949 жылы жариялаған кезде, толықтық оқулықтарда қамтылған канондық тақырыптардың бірі болмады, бірақ жиырма жылдан кейін бұл теорема, оның дәлелі және салдары барлық логика оқулықтарының бір бөлігіне айналды. Классикалық емес логикаға келетін болсақ, Хенкиннің әдісін, басқа нәрселермен қатар, Fuzzy Logic-тің толықтығын бірінші реттік логикадан жоғары реттікке дейін кеңейту үшін, толық Fuzzy Type теориясын құру үшін пайдалануға болады; сонымен қатар классикалық логиканы интуиционисттік логикамен байланыстыратын нәтижелерді алуға мүмкіндік береді; және гибридтік типтер теориясы және теңдеулік гибридтік ұсыныс типтері теориясы сияқты басқа классикалық емес логикадағы толықтық нәтижелерін тексеруге мүмкіндік береді.

Henkin's work on algebra focused on cylindric algebras, a subject he investigated together with Alfred Tarski and Donald Monk. Cylindric Algebra provides structures that are to first order logic what Boolean algebra is to propositional logic. One of the purposes of Henkin and Tarski in promoting algebraic logic was to attract the interest of mathematicians to logic, convinced as they were that logic could provide unifying principles to mathematics:

According to Monk, in 1950. Both presented part of the results exposed in the dissertation "The completeness of formal systems" with which Henkin received his Ph. D. degree at Princeton in 1947. One of Henkin's best known results is that of the completeness of first order logic, published in the above mentioned 1949 article, which appears as the first theorem of the 1947 dissertation. It states the following:Any set of sentences of formally consistent in the deductive system of is satisfiable by a numerable structure This theorem is nowadays called the 'completeness theorem', since from it the following easily follows:If is a set of sentences of and is semantic consequence of , then is deducible from This is the strong version of the completeness theorem, from which the weak version is obtained as a corollary. The latter states the result for the particular case in which is the empty set, this is to say, the deductive calculus of first order logic is capable of deriving all valid formulas. The weak version, known as Gödel's completeness theorem, had been proved by Gödel in 1929, in his own doctoral thesis. Henkin's proof is more general, more accessible than Gödel's and more easily generalizable to languages of any cardinality. It approaches completeness from a new and fruitful perspective and its greatest quality is perhaps that its proof can be easily adapted to prove the completeness of other deductive systems. Other results central to model theory are obtained as corollaries of the strong completeness of the first order logic proved by Henkin. From it follows, for example, the following result for a first order language :Every set of well formed formulas of that is satisfiable in a −structure is satisfiable in an infinite numerable structure. This result is known as the "downwards" Löwenheim Skolem theorem. One other result obtained from the completeness theorem is: A set of well formed formulas of has a model if and only if each finite subset of it has a model. The latter is known as the "compactness theorem" of first order logic, which can also be phrased as: "Any set of well formed formulas of that is finitely satisfiable is satisfiable". This is to say, if for each of the finite subsets of there is a structure in which all of its formulas are true, then there is also a structure in which all the formulas of are true. It is known as "compactness theorem" because it corresponds to the compactness of a certain topological space, defined from semantic notions. Among the other theorems of completeness given by Henkin, the most relevant is perhaps that of the completeness of Church's Theory of Types, which is the first of the completeness theorems Henkin proved. Then, he adapted the method developed in that proof to prove the completeness of other deductive systems. This method has continued to be used to give proofs of completeness in both classical and non classical logics, and it has become the usual proof of completeness for first order logic in Logic textbooks. When Henkin published this result in 1949, completeness was not even part of the canonical subjects covered by the textbooks; some twenty years later, this theorem, along with its proof and corollaries, was part of virtually every Logic textbook. As for non classical logics, Henkin's method can be used, among other things, to extend the completeness of Fuzzy Logic from first order to higher order, producing a complete Fuzzy Type Theory; it also offers a way to obtain results that link classical logic with intuitionist logic; and it allows one to test results of completeness in other non classical logics, as in the cases of Hybrid Type Theory and Equational Hybrid Propositional Type Theory.

Толықтық теоремаларының ашылуы

Ең танымал нәтижелерінің бірі болғанына қарамастан, Хенкин бірінші реттік логиканың толықтығын дәлелдеуге "кездейсоқ" жетті, мүлдем басқа нәтижелерді дәлелдеуге тырысып. Дегенмен, Хенкин өзінің идеяларының дамуын және қалыптасуын баяндау қиын міндетін "Менің толықтық дәлелдемелерімнің ашылуы" мақаласымен жеңілдетеді.

Соғыс аяқталғаннан кейін Хенкин докторлық диссертациясын аяқтау үшін Принстонға оралды, ол үшін оған түпнұсқа зерттеулерді қамтитын диссертация жазу қажет болды. Принстонға келгеннен кейін ол бір ай бұрын басталған Черчтың логика курсына қатысты, онда Фрегенің "мағына және сілтеме" теориясы қарастырылды. Фреге идеяларымен ынталандырылған Черч оларды ресми аксиоматикалық теория арқылы іске асыруды қалады. Ол үшін ол бірнеше жыл бұрын жариялаған Типтер теориясын алды және Фреге ұсынған "сезім" идеясынан шабыттанған типтердің иерархиясын енгізді. Осы курста Хенкин Черчтың Типтер теориясымен танысты, ол оны қызықтырды. Ол бірден осы теорияға қатысты болжам жасады, оның дәлелі докторлық диссертациясы болуы мүмкін деп үміттенеді. Хенкиннің назарын Черчтың Типтер теориясына аударған нәрселердің бірі – оператордың типтік иерархиядағы көптеген объектілерді атауға мүмкіндік беруі болды. "Менің толықтық дәлелдемелерімнің ашылуы" еңбегінде түсіндіргендей, ол осы теорияда қандай элементтердің аты бар екенін анықтауға кірісті. Ол типтік иерархияның негізіндегі екі доменде аталған элементтерді зерттеуден бастады. Ол жеке тұлғалардың ғаламын қабылдады және әрқайсысы үшін санды және мұрагерлік функцияны тұрақты ретінде қосты, сондықтан домендегі әрбір элемент аталды және иерархия арқылы жоғары көтерілудің қайталанған оқиғалары. Ол осы элементтердегі қандай функцияларды атауға болатындығын анықтауға тырысты. Олардың саны санауға келмейтін болғандықтан, олардың кейбіреулері аталмаған болуы керек еді, өйткені өрнектердің саны санаулы. Қай элементтердің аты бар екенін қалай анықтауға болады? Әр өрнекті ол білдіретін элементке сәйкес келтіру үшін оған таңдау функциясы қажет болды, оны іздеу үшін Хенкин көп күш жұмсады. Ақырында, ол дедуктивті есептеу арқылы теңдігі есептеу арқылы шығарылатын өрнектердің эквиваленттілік кластарын құра алатынын және осы кластармен аталған элементтерден құрылған типтердің жаңа иерархиясына изоморфты модель құра алатынын түсінді. Ол формальды тілдің интерпретациясына назар аударғанда, мәселені шешудің кілті дедуктивті жүйеде жатқан еді. Бұл – ұғымдарды атаған объектілердің ғаламын екі элементтің жиынтығы етіп жасау: шындық мәндері. Бұл аксиомаларды барынша дәйекті жиынтыққа кеңейту арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Осыған қол жеткізгеннен кейін, формулалардың әрбір дәйекті жиынтығында осындай модельдің элементтері – өрнектердің өзінің эквиваленттілік кластары формулаларды дәл қанағаттандыратын модель бар екені дәлелденді. Яғни, ол дедуктивті есептеудің толықтығын дәлелдеуге қол жеткізді. Нәтижесінде пайда болған семантика жалпы семантика деп аталады. Онда модель ретінде қабылданатын құрылымдар "жалпы модельдер" деп аталады. Бұларды тек Типтер теориясында ғана емес, сонымен қатар, мысалы, толық (және ықшам) жоғары реттік логиканы алу үшін де қолдануға болады. Жалпы семантиканы қолдану арқылы толық жоғары реттік логиканы алу логиканың экспрессивті күші мен оның дедуктивті калькулюсінің күші арасындағы күтілетін тепе-теңдікке сәйкес келеді. Стандартты семантикамен екінші реттік логикада болжамды айнымалыларға сандық есептеу тілге орасан зор экспрессивті күш береді, ал алмасу үшін дедуктивті есептеудің күші жеткіліксіз: соңғысы осы логиканың (стандартты семантикамен) жарамды формулаларының кең жиынтығын жасауға жеткіліксіз. Калькульді өзгерту ештеңені шешпейді, өйткені Гёдельдің толық емес теоремасы ешқандай дедуктивті калькульдің толық болуына жол бермейтінін қамтамасыз етеді. Керісінше, семантиканы өзгерту арқылы, яғни, болжамды айнымалылар мен тұрақтылар түсіндірілетін ғаламдарды құрайтын жиынтықты өзгерту арқылы, логика экспрессивтік қабілетін жоғалту арқылы толық болып шығады. Екінші реттік логикада жарамды формулалар жиынтығы өте үлкен, өйткені стандартты құрылым түсінігі тым шектеулі және формулаларды жоққа шығаратын модельдерді табу үшін олардың саны жеткіліксіз. Тілді түсіндіруге арналған құрылымдарға талап етілген шарттарды жеңілдету арқылы формулалардың жарамды болуы үшін шын болуы керек модельдер көбірек болады, сондықтан жарамды формулалар жиынтығы дедуктивті калькульмен жасалатын жиынтықпен сәйкес келеді, осылайша толықтыққа қол жеткізіледі.

At the end of the war, Henkin returned to Princeton to complete his doctoral studies, for which he still had to write a dissertation containing an original research. As soon as he arrived at Princeton, he attended Church's course in logic that had begun one month earlier, which dealt with Frege's theory of "sense and reference". Motivated by Frege's ideas, Church wanted to put them into practice through a formal axiomatic theory. To do so, he took the simple Theory of Types he had published a few years earlier, and supplied it with a hierarchy of types, inspired by the idea of "sense" exposed by Frege. It was in this course that Henkin became acquainted with Church's Theory of Types, which he found of great interest. He immediately made a conjecture about it, whose proof he hoped could become his doctoral dissertation. One of the attributes that drew Henkin's attention to Church's Theory of Types was that the operator allowed to name many objects in the type hierarchy. As he explains in "The discovery of my completeness proofs", he set out to find out which elements had names in this theory. He began by exploring the elements that were named in the two domains at the base of the type hierarchy. He took as the universe of individuals, and added a constant for each the number and the successor function , so that each element in the domain was named from and repeated occurrences of Going up through the hierarchy, he tried to specify which functions over those elements were nameable. The set of them was supernumerable, so there had to be some without a name, since there is only a numerable number of expressions. How could be said which elements were the nameable ones? To make each expression correspond to the element it denotated, he needed a choice function, in whose search Henkin invested many efforts. Finally, he realized that by means of the deductive calculus he could form equivalence classes of expressions whose equality could be derived by the calculus, and form with these classes a model isomorphic to the new hierarchy of types formed by the named elements. He had been focusing on the interpretations of the formal language, when the key to solving the problem lied on the deductive system. It remained to make the universe of the objects named by the propositions a set of two elements: the truth values. This could be achieved by expanding the axioms to form a maximally consistent set. Once this was achieved, it could be proved that every consistent set of formulas has a model that satisfies exactly the formulas of –the elements of such model are the equivalence classes of the expressions themselves–. That is, he would have managed to give a proof of the completeness of the deductive calculus. The resulting semantics is known as general semantics. In it the structures that are admissible as models are those known as 'general models'. These can be used not only in Type Theory, but also, for instance, to obtain complete (and compact) higher order logics. Obtaining complete higher order logics by the use of general semantics meets the expected balance between the expressive power of a logic and the power of its deductive calculus. In second order logic with standard semantics it is known that quantifying over predicative variables gives the language an immense expressive power, in exchange for which the power of deductive calculus is lost: the latter is not enough to produce the extense set of valid formulas of this logic (with standard semantics). Changing the calculus does not solve anything, since Gödel's incompleteness theorem ensures that no deductive calculus could achieve completeness. On the contrary, by changing the semantics, that is, by changing the sets that form the universes in which the predicative variables and constants are interpreted, the logic turns out to be complete, at the cost of losing expressive capacity. In second order logic the set of valid formulas is so large because the concept of standard structure is too restrictive and there are not enough of them to find models that refute the formulas. By relaxing the conditions we ask of the structures on which the language is interpreted, there are more models in which the formulas must be true to be valid and therefore the set of valid formulas is reduced; it does so in such a way that it coincides with the set produced by a deductive calculus, giving rise to completeness.

Логиканың аудармасына қарай

Хенкиннің еңбегімен қаланған негіздердің жемісті нәтиже берген салаларының бірі – логикалардың өзара аудармасы үшін ортақ құрылым ретінде жұмыс істейтін логиканы табу. Бұл құрылым металлогикалық құрал ретінде қолданылады; оның мақсаты басқаларын жоғары қойып, "бір ғана логиканы" таңдау емес, олардың әртүрлілігі арқасында туған байлықты жоймау, ал оларды салыстырып, түсініп, соның нәтижесінде әрқайсысының ерекшеліктерін тиімді пайдалану үшін қажетті жағдай жасау. "Типтер теориясының толықтығы" және "Функционалдық айнымалылар үшін ауыстыру ережесін жою".

Математикалық индукция

Математикалық индукция тақырыбы Хенкиннің оқыту қызметінде жиі талқыланды. Осы саладағы тәжірибесі, әдетте, "Математикалық индукция туралы" атты мақаласының нәтижесі болды. Бұл Хенкиннің өзінің сүйікті мақаласы еді, тіпті ол оны ең жақсы түсіндірме мақаласы деп санағанын жазды. Онда ол Пеано модельдерін – Пеаноның үш екінші реттік аксиомасын орындайтын модельдер деп, ал индукция модельдерін – олардың үшіншісін, яғни индукция аксиомасын қанағаттандыратын модельдер деп анықтады. Ол барлық рекурсивті операцияларды Пеано модельдерінде енгізуге болатынын, бірақ индукция модельдерінде мұндай мүмкіншілік жоқ екенін көрсетті. Конкретті айтқанда, экспоненциация операциясын анықтау мүмкін емес индукция модельдері бар. Ол номинализм туралы екі мақалаға жауап ретінде осы мақаланы жазды. Бір студентінің сөзімен айтқанда, "оның сиқырының бір бөлігі – математиканы әдемі түрде жеткізу қабілеті еді, бірақ ол сонымен қатар аудиториясын болжауға және келесі қадамды көруге немесе одан таңғалуға ынталандыру үшін көп еңбек етті. Ол аудиториясының қызығушылығын әрқашан қоздырды". Ол лекцияларында ерекше назар аударған жайт – оқудың оңтайлы қарқынын табудағы үнемі туындайтын қиындық еді. Ол студенттердің сабақтың ырғағын ұстап, тіпті кейбіреулерге ол баяу болса да, өздерінің қарқынында оқуларын жалғастыра алатынын маңызды деп есептеді. Курстар мен аспиранттарға жетекшілік жасаудан бөлек, Хенкиннің ғалымдарды тәрбиелеудегі рөлі де зор болды. Тарски оны Берклиге нақты мақсатпен шақырған. Математик ретінде Хенкин, Берклиді логиканы дамыту орталығына айналдырудағы Тарскидің жобасында маңызды рөл атқарды, математиктер, логиктер және философтарды біріктірді. Хенкин оған жобаны іске асыруға көмектесті, Логика және Ғылым әдістемесі салалық тобын құруға көмектесті, оның табысты жұмысының көп бөлігі Хенкиннің ынтасына байланысты болды. "Орта мектеп математикасының жаңа бағыттары" немесе "Математика біліміндегі іс-қимыл мен ойдың рөлі" сияқты тақырыптарды зерттеді. 1979 жылдан бастап ол осы зерттеу саласына ерекше мән берді, оның нәтижелері үшін Chauvenet жүлдесін (1964) және басқа да марапаттар алды.

The topic of mathematical induction was frequently addressed in Henkin's activities on teaching. Probably his experience in this field was the result of his article "On mathematical induction". This was Henkin's favorite article of his own, of which he even wrote that he considered it his best expository article. In it he defined Peano Models as those that fulfill Peano's three Second Order Axioms and Induction Models as those that satisfy the third of them: the induction axiom. He demonstrated that although all recursive operations can be introduced in the Peano models, this is not the case in the Induction Models. Concretely, there are Induction Models in which the exponentiation operation cannot be defined. which he wrote in response to two articles on nominalism, In the words of one of his students, "part of his magic was his elegant expression of the mathematics, but he also worked hard to engage his audience in conjecturing and seeing the next step or in being surprised by it. He certainly captured the interest of his audiences." One of the aspects of his lectures in which he put special care was in finding an appropriate pace, facing the constant dilemma of how to find the optimal speed for learning. He considered it important that the students could follow the rhythm of the class, even if this meant that some would found it slow –they could continue at their own pace with the readings. In addition to his courses and supervision of graduate students, Henkin's role in the scholars education was significant. Tarski had invited him to Berkeley with a clear purpose. As a mathematician, Henkin had a key role in Tarski's project to make Berkeley a center of development of logic, bringing together mathematicians, logicians and philosophers. Henkin aided him to carry out the project, helping him in the creation of the interdisciplinary Group in Logic and the Methodology of Science, whose successful performance was largely due to Henkin's drive. "New directions in secondary school mathematics" or "The roles of action and of thought in mathematics education". From 1979 onwards he put special emphasis on this facet of his research for some of which he received awards such as the Chauvenet Prize (1964),

Әлеуметтік жобалар

Өмір бойы Леон Хенкин қоғамға деген терең берілгендігін көрсетті және оны көбіне әлеуметтік белсенді деп атады. Ол біз тарихтың және айналамыздағы жағдайдың бір бөлігі екенімізді білді, өйткені оның бір жазбасында: «Тарих толқындары біздің елді шайып, қоғам мен институттарымызды қозғайды. Ұзақ өтпей, біздің барлық ісімізде, оның ішінде математика мен оқытуда өзгерістерді көреміз. Бұл өзгерістер өзендер мен арналар түрінде қалыптасады, олар білім беру, математика немесе ғылымнан мүлдем өзгеше салаларда туындаған өзгерістермен әртүрлі бұрыштарда бірігеді. Өзендер пайда болып, болашақ тарих толқындарын туғызатын күшті ағыстар құрайды. Ұлы экономикалық дағдарыс және Екінші дүниежүзілік соғыс – менің оқу жылдарымның тұяғы болды; суық соғыс және азаматтық құқықтар қозғалысы – зерттеуші математик ретінде мансабымды бастаған және кейіннен математика біліміне қатыса бастаған кезеңімнің аясында болды». Хенкин білім беру арқылы өзгерістерге қол жеткізуге болады деп сенді және осы идеясына адал болды, өзін бастауыш математика білімі бағдарламаларына және мүшелері шеттетумен күресуді мақсат тұтқан бағдарламаларға арнады. Ол қоғамға деген саяси ұстанымын көрсетіп, прогрессивті идеяларды қорғады. Ол көптеген студенттерін математика біліміне қатысуға шақырды. Математиктердің оқыту арқылы үлкен үлес қоса алатынын білген Хенкин, оқыту академиялық ортада бағалануы керек екенін қорғады, ол жеке хатында былай деді: «Қазіргі уақытта дәстүрлі білімі бар математика магистрлері нарықта қиындықтарға тап болып жатқанда, біз факультетте математика білімі қоғамның негізгі мақсаттарына маңызды үлес қоса алатын жаңа салаларды іздеуіміз керек деп ойлаймын». Ол құрған немесе қатысқан әлеуметтік жобалардың кейбіреулері: Фильм «Математика бүгін» сериясында көрсетілді. 1961-1964 жылдары математика бойынша бакалавриат бағдарламасы жөніндегі комитет ұйымдастырған бастауыш сынып мұғалімдеріне арналған курстарға қатысты. Сол кезде ол «Мүмкіндіктерді кеңейтуге бағытталған шаралар» бастамасын ұсынды, ол этникалық азшылық топтарының перспективті студенттеріне жазғы курстар мен стипендиялар ұсыну арқылы мүмкіндіктер беруге тырысты. Ол SEED (Мүңкігендерге арналған арнайы бастауыш білім) бағдарламасына қатысты, ол колледж студенттерін бастауыш білім беруге, сондай-ақ SESAME (Ғылым және математика біліміндегі ерекше жетістіктер) бағдарламасына қатысуға шақырды. Бұл әртүрлі ғылым факультеттерінің мүшелері құрған салааралық докторлық бағдарлама, оның мақсаты ғылым, инженерия және математиканы оқыту мен үйренуді зерттеу болды. 1960-1968 жылдары математика мектептеріндегі бірқатар конференцияларға қатысып, Ұлттық математика мұғалімдері кеңесі (NCTM) өндірген бірнеше фильмдерді әзірлеуге қатысты. Бұл фильмдер бүтін сандар жүйесі және рационалды сандар жүйесі сияқты тақырыптарды қамтыды. Сонымен қатар, ол математика факультетінің студенттеріне бастауыш сынып мұғалімдері ретінде жұмыс істегендерге, колледждегі ассистент мұғалімдер ретінде жұмыс істегендермен салыстырылатын қаржылық қолдау алуға мүмкіндік беру үшін қолдау курстарына қатысты.

Throughout his life, Leon Henkin showed a deep commitment to society and was often called a social activist. He was aware that we are part of history and the context around us, as one of his writings records:"Waves of history wash over our nation, stirring up our society and our institutions. Soon we see changes in the way that all of us do things, including our mathematics and our teaching. These changes form themselves into rivulets and streams that merge at various angles with those arising in parts of our society quite different from education, mathematics, or science. Rivers are formed, contributing powerful currents that will produce future waves of history. The Great Depression and World War II formed the background of my years of study; the Cold War and the Civil Rights Movement were the backdrop against which I began my career as a research mathematician, and later began to involve myself with mathematics education. "Henkin was convinced that changes could be achieved through education and, true to his idea, he committed himself to both elementary mathematics education programs and to programs whose aim was to combat exclusion. He showed a political commitment to society, defending progressive ideas. He inspired many of his students to become involved in mathematics education.</blockquote>Aware of the contributions that mathematicians could make through teaching, Henkin defended that teaching should be valued in the academy environment, as he expressed in a personal letter: "In these times when our traditionally trained mathematics Ph. D.’s are finding rough going in the marketplace, it seems to me that we on the faculty should particularly seek new realms wherein mathematics training can make a substantial contribution to the basic aims of society." Some of the social projects he formed or participated in are the following. The film was broadcast in the series "Mathematics Today". Between 1961 and 1964, he participated in a series of courses for elementary school teachers, organized by the Committee on the Undergraduate Program in Mathematics. Also around that time, he promoted the Activities to Broaden Opportunity initiative, which sought to provide opportunities for promising students from ethnic minority groups by offering them summer courses and scholarships. He took part in the SEED (Special Elementary Education for the Disadvantaged) program, which encouraged college students to participate in elementary education, as well as in SESAME (Special Excellence in Science and Mathematics Education), the interdisciplinary doctoral program created by members of various science departments, whose purpose was to research teaching and learning of science, engineering, and mathematics. Between 1960 and 1968 he participated in a series of conferences in mathematics schools, and was involved in the development of several films produced by the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). These films dealt with topics such as the integer system and the rational number system. He also participated in support courses for female calculus students and convinced the mathematics department to allow graduate students to receive the same financial support for working as elementary school teachers as they did for working as assistant teachers in college.

Хенкиннің негізгі бұйымдары

Хенкин, Л. (1949). Бірінші реттік функционалдық есептеудің толықтығы. Символикалық логика журналы, 14(3), 159–166. Хенкин, Л. (1950). Типтер теориясындағы толықтылық. Символикалық логика журналы, 15(2), 81–91. Хенкин, Л. (1953). Функционалдық айнымалыларды алмастыру ережесін жою. Символикалық логика журналы, 18(3), 201–208. Хенкин, Л. (1953). Қазіргі заманғы алгебра мен математикалық логика арасындағы кейбір өзара байланыстар. Америка математикалық қоғамының мәмілелері, 74, 410–427. Хенкин, Л. (1953). Номинализм туралы кейбір жазбалар. Символикалық логика журналы, 18(1), 19–29. Хенкин, Л. (1954). $\omega$ консистенциясы туралы түсініктің жалпылауы. Символикалық логика журналы, 19(3), 183–196. Хенкин, Л. (1955). Математикалық тілдің номиналистік түсіндірмесі. Бельгиялық математикалық қоғамының бюллетені, 7, 137–141. Хенкин, Л. (1955). Цилиндрлік алгебралар үшін бейнелеу теоремасы. Skolem, Th., Hasenjaeger, G., Kreisel, G., Robinson, A. (ред.) Формальдық жүйелердің математикалық интерпретациясы, 85–97 б. Хенкин, Л. (1957). Толықтық ұғымының жалпылауы. Символикалық логика журналы, 22(1), 1–14. Хенкин, Л. (1960). Математикалық индукция. Америка математикалық айлығы, 67(4), 323–338. Хенкин, Л. (1961). Математикалық индукция. MAA Film Manual No.1, Американың математикалық қауымдастығы, Буффало университеті, Нью-Йорк. Хенкин, Л., Тарски, А. (1961). Цилиндрлік алгебралар. Dilworth, R. P. (ред.) Желілік теория. Таза математика бойынша симпозиумдар. Америка математикалық қоғамы, 2, 83–113. Хенкин, Л., Смит, В. Н., Варино, В. Дж., Уолш, М. Дж. (1962). Бастауыш математиканың ізін қайталау. Macmillan, Нью-Йорк. Хенкин, Л. (1962). Логика мен математика бірдей ме?, Science, 138, 788–794. Хенкин, Л. (1963). Орта мектеп математикасының жаңа бағыттары. Ritchie, R. W. (ред.) Математикадағы жаңа бағыттар, 1–6. Prentice Hall, Нью-Йорк. Хенкин, Л. (1963). Крейг-Линдон интерполяциялық теоремасының кеңейтілуі. Символикалық логика журналы, 28(3), 201–216. Хенкин, Л. (1963). Ұйғарымдық типтер теориясы. Fundamenta mathematicae, 52, 323–344. Хенкин, Л. (1971). Математиканың математикалық негіздері. Америка математикалық айлығы, 78(5), 463–487. Хенкин, Л. (1975). Жеке тұлға логикалық примитив ретінде. Philosophia, 5, 31–45. Хенкин, Л. (1977). Теңдік логикасы. Америка математикалық айлығы, 84(8), 597–612. Хенкин, Л. (1995). Математика білім беруіндегі іс-әрекет пен ойдың рөлі – бір математиктің өлеңі. Fisher, N. D., Keynes, H. B., Wagreich, Ph. D. (ред.) Мәдениетті өзгерту: Ғылыми қауымдастықта математикалық білім беру, CBMS мәселелері, том 5, 3–16 б. Америка математикалық қоғамы, Американың математикалық қауымдастығымен бірлесіп, Провиденс. Хенкин, Л. (1996). Менің толық дәлелдемелерімнің ашылуы. Символикалық логика бюллетені, 2(2), 127–158.

Henkin, L. (1949). The completeness of the first order functional calculus. The Journal of Symbolic Logic, 14(3), 159 166. Henkin, L. (1950). Completeness in the theory of types. The Journal of Symbolic Logic, 15(2), 81 91. Henkin, L. (1953). Banishing the Rule of Substitution for Functional Variables. The Journal of Symbolic Logic, 18(3), 201 208. Henkin, L. (1953). Some interconnections between modern algebra and mathematical logic. Transactions of the American Mathematical Society, 74, 410 427. Henkin, L. (1953). Some notes on nominalism, The Journal of Symbolic Logic, 18(1), 19 29. Henkin, L. (1954) A generalization of the concept of $\omega$ consistency. The Journal of Symbolic Logic. 19(3), 183 196. Henkin, L. (1955) The nominalistic interpretation of mathematical language. Bulletin of the Belgian Mathematical Society. 7, 137 141. Henkin, L. (1955) The representation theorem for cylindrical algebras. En Skolem, Th., Hasenjaeger, G., Kreisel, G., Robinson, A. (Eds.) Mathematical Interpretation of Formal Systems, pp. 85–97. Henkin, L. (1957) A generalization of the concept of completeness. The Journal of Symbolic Logic. 22(1), 1 14. Henkin, L. (1960). On mathematical induction. The American Mathematical Monthly. 67(4), 323 338. Henkin, L. (1961). Mathematical Induction. En MAA Film Manual No.1 The Mathematical Association of America, University of Buffalo, Nueva York. Henkin, L., Tarski, A. (1961) Cylindric algebras. En Dilworth, R. P. (Ed.) Lattice Theory. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society, 2, 83 113. Henkin, L. Smith, W. N., Varineau, V. J., Walsh, M. J. (1962) Retracing Elementary Mathematics. Macmillan, New York. Henkin, L. (1962). Are logic and mathematics identical?, Science, vol.138, 788 794. Henkin, L. (1963). New directions in secondary school mathematics. En Ritchie, R. W. (Ed.) New Directions in Mathematics, 1 6. Prentice Hall, New York. Henkin, L. (1963). An Extension of the Craig Lyndon Interpolation theorem. The Journal of Symbolic Logic. 28(3), 201 216. Henkin, L. (1963). A theory of propositional types. Fundamenta mathematicae. 52, 323 344. Henkin, L. (1971). Mathematical foundations for mathematics. The American Mathematical Monthly. 78(5), 463 487. Henkin, L. (1975). Identity as a logical primitive. Philosophia 5, 31 45. Henkin, L. (1977). The logic of equality. The American Mathematical Monthly. 84(8), 597 612. Henkin, L. (1995). The roles of action and of thought in mathematics education –one mathematician's passage. Fisher, N. D., Keynes, H. B., Wagreich, Ph. D. (Eds. ), Changing the Culture: Mathematics Education in the Research Community, CBMS Issues in Mathematics Education, vol. 5, pp. 3–16. American Mathematical Society in cooperation with Mathematical Association of America, Providence. Henkin, L. (1996). The discovery of my completeness proofs, Bulletin of Symbolic Logic, vol. 2(2), 127 158.

Алынған сыйлықтар

1964 жылы – Америка математикалық қауымдастығының Шовенет сыйлығы, қауымдастық мүшесінің математикалық тақырып бойынша жарық көрген ең үздік мақаласы үшін беріледі. 1972 жылы – Лестер Р. Форд сыйлығы – «Математиканың математикалық негіздері» мақаласы үшін, «Америка математикалық айлығы» 78 (1971), 463–487. 1990 жылы – Математикаға көрсемелі қызметі үшін Гунг және Ху сыйлығының алғашқы иегері. 1991 жылы – Беркли марапаты – Калифорния университетінің ең жоғары наградасы. 2000 жылы – Леон Хенкин сыйлығы – Ерен еңбегі үшін, бұл сыйлық (UC) оқытушысына «академиялық ортада жеткіліксіз өкілдік етілген топтардың студенттерінің білім беру деңгейін көтеруге ерекше үлес қосқаны үшін» табыс етіледі.