Введение
В теории категорий классификатор подобъектов — это специальный объект Ω категории, такой, что, интуитивно, подобъекты любого объекта X в этой категории соответствуют морфизмам из X в Ω. В типичных примерах этот морфизм присваивает значение "истина" элементам подобъекта и "ложь" остальным элементам X. Поэтому классификатор подобъектов также известен как "объект значений истинности", и эта концепция широко используется в категориальном описании логики. Однако следует отметить, что классификаторы подобъектов часто намного сложнее, чем простые бинарные логические значения "истина" и "ложь".
Вводный пример
Например, множество Ω = {0,1} является классификатором подобъектов в категории множеств и функций: каждому подмножеству A множества S, определенному функцией включения j: A → S, можно сопоставить функцию χA из S в Ω, которая отображает в 1 именно элементы A (см. характеристическую функцию). Каждая функция из S в Ω возникает таким образом из ровно одного подмножества A. Чтобы прояснить, рассмотрим подмножество A множества S (A ⊆ S), где S – множество. Понятие подмножества можно выразить математически, используя так называемую характеристическую функцию χA: S → {0,1}, которая определяется следующим образом:
(Здесь мы интерпретируем 1 как истину и 0 как ложь.) Роль характеристической функции состоит в том, чтобы определить, какие элементы принадлежат подмножеству A. Фактически, χA принимает значение истина именно для элементов A. Таким образом, множество всех подмножеств S и множество всех отображений из S в Ω = {0,1} изоморфны. Чтобы категоризовать это понятие, вспомним, что в теории категорий подобъект – это на самом деле пара, состоящая из объекта и монической стрелки (интерпретируемой как включение в другой объект). Соответственно, "истина" относится к элементу 1, который выбирается стрелкой: true: {0} → {0, 1}, отображающей 0 в 1. Подмножество A множества S теперь можно определить как предел (pullback) "истины" по характеристической функции χA, показанной на следующей диаграмме:
Определенная таким образом, χ является морфизмом SubC(S) → HomC(S, Ω). По определению, Ω является классификатором подобъектов, если этот морфизм является изоморфизмом.
Сборные сборок
Категория снопов множеств на топологическом пространстве X имеет классификатор подобъектов Ω, который можно описать следующим образом: для любого открытого множества U из X, Ω(U) – это множество всех открытых подмножеств U. Терминальный объект – это сноп 1, который сопоставляет сингультон {*} каждому открытому множеству U из X. Морфизм η: 1 → Ω задаётся семейством отображений ηU : 1(U) → Ω(U), определяемым как ηU(*) = U для каждого открытого множества U из X. Для заданного снопа F на X и подснопа j: G → F, классифицирующий морфизм χj : F → Ω задаётся семейством отображений χj,U : F(U) → Ω(U), где χj,U(x) – это объединение всех открытых множеств V из U, таких что ограничение x на V (в смысле снопов) содержится в jV(G(V)). Грубо говоря, утверждение внутри этого топоса может быть истинным или ложным в разных местах, и его значение истинности с точки зрения открытого подмножества U является открытым подмножеством U, где это утверждение истинно.
Прессев
Для малой категории, категория предпучков (то есть категория функторов, состоящая из всех контравариантных функторов из в ) имеет классификатор подобъектов, заданный функтором, отображающим любой в множество сит на . Классифицирующие морфизмы строятся совершенно аналогично тем, что в примере с пучками множеств, рассмотренном выше.
Элементарные топои
Оба приведенных выше примера подпадают под следующий общий факт: любой элементарный топос, определяемый как категория с конечными пределами и объектами степеней, обязательно имеет классификатор подобъектов. Оба приведенных выше примера являются топосами Гротендика, и любой топос Гротендика является элементарным топосом.
Связанные понятия
Квазитопос имеет объект, который почти является классификатором подобъектов; он классифицирует только строгие подобъекты.