Введение
Метод в физике
В термодинамике и физике твердого тела модель Дебая — это метод, разработанный Питером Дебаем в 1912 году для оценки вклада фононов в удельную теплоемкость твердого тела. В отличие от фотоэлектронной модели Эйнштейна, которая рассматривает твердое тело как множество независимых, не взаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов, модель Дебая описывает колебания атомной решетки (теплоты) как фононы в объеме. Модель Дебая верно предсказывает температурную зависимость теплоемкости твердых тел при низких температурах, которая пропорциональна закону Дебая T³. Аналогично модели Эйнштейна, она воспроизводит закон Дюлонга — Пети при высоких температурах. Из-за упрощающих допущений ее точность снижается при умеренных температурах.
Таблица температуры Дебайе
Несмотря на то, что модель Дебая не является полностью корректной, она дает хорошее приближение для теплоемкости при низких температурах изолирующих кристаллических твердых тел, где другие вклады (например, высокоподвижные электроны проводимости) пренебрежимо малы. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален *T*, который при низких температурах доминирует над результатом Дебая для колебаний решетки. В этом случае модель Дебая может лишь приближенно описывать вклад решетки в удельную теплоемкость. В следующей таблице приведены температуры Дебая для нескольких чистых элементов; например, значение для льда возрастает примерно от 222 К до 300 К при повышении температуры от абсолютного нуля до около 100 К.
Расширение на другие квазичастицы
Для других бозоновых квазичастиц, например, магнонов (квантованные спиновые волны) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованные звуковые волны), можно получить аналогичные результаты. В этом случае при низких частотах наблюдаются различные зависимости дисперсии между импульсом и энергией, например, для магнонов, в отличие от фононов (с ). Также отличается плотность состояний (например, ). Как следствие, в ферромагнетиках возникает вклад магнонов в теплоемкость, , который при достаточно низких температурах преобладает над вкладом фононов. В металлах, напротив, основной вклад в теплоемкость при низких температурах, , обусловлен электронами. Этот вклад имеет фермионную природу и рассчитывается различными методами, восходящими к модели свободных электронов Зоммерфельда.
Расширение на жидкости
Долгое время считалось, что теория фононов не может объяснить теплоемкость жидкостей, поскольку в жидкостях существуют только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах ответственны за 2/3 теплоемкости. Однако эксперименты по рассеянию Бриллюэна с использованием нейтронов и рентгеновских лучей, подтверждающие интуицию Якова Френкеля, показали, что поперечные фононы все же существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порогового значения, называемого частотой Френкеля. Поскольку основная часть энергии сосредоточена в этих высокочастотных модах, достаточно простой модификации модели Дебая для получения хорошего приближения к экспериментальным значениям теплоемкости простых жидкостей. В последнее время было показано, что мгновенные нормальные моды, связанные с релаксацией от седловых точек на энергетическом ландшафте жидкости, которые доминируют в частотном спектре жидкостей на низких частотах, могут определять удельную теплоемкость жидкостей как функцию температуры в широком диапазоне.
Частота дебай
Частота Дебая (обозначение: или ) — параметр в модели Дебая, представляющий собой пороговую угловую частоту для волн в гармонической цепочке масс, используемую для описания движения ионов в кристаллической решетке и, в частности, для корректного предсказания того, что теплоемкость в таких кристаллах остается постоянной при высоких температурах (закон Дюлонга — Пти). Эта концепция была впервые предложена Питером Дебаем в 1912 году. На протяжении всего этого раздела предполагаются периодические граничные условия.
Отношение к температуре Дебайя
Температура Дебье, еще один параметр в модели Дебье, связана с частотой Дебье соотношением , где – приведённая постоянная Планка, а – постоянная Больцмана.
Зависимость от поляризации
В действительности, продольные волны часто имеют скорость распространения, отличную от скорости поперечных волн. Предположение о равенстве скоростей упростило конечный результат, но учет различия между ними повышает точность. Дисперсионное соотношение принимает вид , где , каждый из которых соответствует одной из трех поляризаций. Однако частота среза не зависит от . Общее число мод можно записать как , что, в свою очередь, равно . Здесь суммирование по модам теперь зависит от .
Альтернативное выведение
Для одномерной цепи формула для частоты Дебая также может быть получена с использованием теоремы, описывающей алиасинг. В этом выводе используется теорема Котельникова — Найквиста об отсчётах, основное отличие заключается в том, что в случае одномерной цепи дискретизация происходит не по времени, а по пространству. Частота среза может быть определена из длины волны среза. Из теоремы об отсчётах известно, что для длин волн, меньших чем λ/2, или равных двум расстояниям между точками дискретизации, каждая мода является повторением моды с длиной волны, большей чем λ. Следовательно, длина волны среза должна быть равна λ/2. Это снова приводит к ω_D = v*π/a, что соответствует.
Не имеет значения, какая дисперсионная зависимость используется, поскольку будет рассчитана одна и та же частота среза.