Введение

Специальный вид квадратной матрицы

В математике треугольная матрица — это специальный вид квадратной матрицы. Квадратная матрица называется нижнетреугольной, если все элементы над главной диагональю равны нулю. Аналогично, квадратная матрица называется верхнетреугольной, если все элементы под главной диагональю равны нулю. Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны в численном анализе. Согласно алгоритму LU-разложения, обратимая матрица может быть представлена в виде произведения нижнетреугольной матрицы L и верхнетреугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все её главные миноры ненулевые.

Замена вперед и назад

Матричное уравнение вида или очень легко решается итеративным методом, называемым прямым замещением для нижнетреугольных матриц и аналогичным образом обратным замещением для верхнетреугольных матриц. Этот метод получил такое название, потому что для нижнетреугольных матриц сначала вычисляется , затем это значение подставляется в следующее уравнение для нахождения , и так повторяется до . В верхнетреугольной матрице работа ведется в обратном порядке: сначала вычисляется , затем это значение подставляется в предыдущее уравнение для нахождения , и так повторяется до .
Следует отметить, что для решения не требуется вычислять обратную матрицу.

Приложения

Прямая подстановка используется в финансовом бутстрэппинге для построения кривой доходности.

Единоугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, то матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной. Другие названия, используемые для этих матриц, – единичная (верхняя или нижняя) треугольная или очень редко нормированная (верхняя или нижняя) треугольная. Однако, унитреугольная матрица – это не то же самое, что единичная матрица, а нормированная треугольная матрица не имеет отношения к понятию нормы матрицы. Все конечные унитреугольные матрицы являются унипотентными.

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы также равны 0, то матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной. Все конечные строго треугольные матрицы являются нильпотентными индексом не выше n как следствие теоремы Кэли — Гамильтона.

Атомная треугольная матрица

Атомная (верхняя или нижняя) треугольная матрица — это частный случай унитреугольной матрицы, где все элементы вне главной диагонали равны нулю, за исключением элементов в одном столбце. Такая матрица также называется матрицей Фробениуса, матрицей Гаусса или матрицей преобразования Гаусса.

Блоковая треугольная матрица

Блочная треугольная матрица — это блочная матрица (матрица, разбитая на блоки), являющаяся треугольной матрицей.

Одновременная треуголизация

Множество матриц называется одновременно треуголизуемым, если существует базис, в котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если они могут быть приведены к верхнетреугольному виду одной матрицей подобия P. Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, то есть все многочлены от обозначенной как Одновременная треуголизуемость означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли в подалгебре Бореля. Основной результат заключается в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы, или в более общем случае, одновременно треуголизуемы. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем, как и прежде, проводя индукцию по размерности. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 года для пары коммутирующих матриц, как обсуждается в разделе «Коммутирующие матрицы». Что касается одной матрицы, то над комплексными числами ее можно треуголизуровать унитарными матрицами. Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как следствие нульстелленсаца Гильберта: коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру над которой можно интерпретировать как многообразие в k-мерном аффинном пространстве, и существование (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует тому, что это многообразие имеет точку (не является пустым), что и является сутью (слабого) нульстелленсаца. В алгебраических терминах эти операторы соответствуют алгебраическому представлению полиномиальной алгебры в k переменных. Это обобщается теоремой Ли, которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно верхнетреуголизуемо, причем случай коммутирующих матриц является абелевым случаем алгебры Ли, а абелева алгебра тем более разрешима. Более общим и точным утверждением является то, что множество матриц одновременно треуголизуемо тогда и только тогда, когда матрица является нильпотентной для всех многочленов p от k некоммутирующих переменных, где – коммутатор; для коммутирующих матриц коммутатор равен нулю, поэтому это условие выполняется. Это было доказано Дразиным, Данджеем и Груенбергом в 1951 году; краткое доказательство приведено Прасоловым в 1994 году. Одно направление очевидно: если матрицы одновременно треуголизуемы, то является строго верхнетреугольной (следовательно, нильпотентной), что сохраняется при умножении на любую из них или их комбинацию – она по-прежнему будет иметь нули на диагонали в треуголизующем базисе.

Борельские подгруппы и подалгебры

Множество обратимых треугольных матриц данного типа (верхней или нижней) образует группу, в действительности группу Ли, которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые). Над действительными числами эта группа несвязна и имеет компоненты связности, соответствующие тому, что каждый диагональный элемент положителен или отрицателен. Тождественная компонента состоит из обратимых треугольных матриц с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц является полупрямым произведением этой группы и группы диагональных матриц с элементами на диагонали, соответствующими компонентам связности. Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц представляет собой множество всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимой алгеброй Ли. Это, соответственно, стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GLn и стандартная борелевская подалгебра алгебры Ли gln. Верхнетреугольные матрицы – это именно те, которые стабилизируют стандартный флаг. Обратимые из них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определяются как стабилизаторы некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими подгруппами. Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке. Стабилизатор частичного флага, полученного путем отбрасывания некоторых частей стандартного флага, может быть описан как множество блочно-верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженные к такой группе – это подгруппы, определяемые как стабилизаторы некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц 2×2 изоморфна аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел она соответствует группе, образованной параболическими преобразованиями Мёбиуса; верхние унитреугольные матрицы 3×3 образуют группу Гейзенберга.