Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Группа итальянских математиков, изучавших бирациональную геометрию (ок. 1885–1935).
Group of Italian mathematicians who studied birational geometry (c. 1885–1935)
В истории математики итальянская школа алгебраической геометрии относится к математикам и их работам в области бирациональной геометрии, в особенности на алгебраических поверхностях, деятельность которых была сосредоточена в Риме примерно с 1885 по 1935 год. В ней участвовало от 30 до 40 ведущих математиков, внесших значительный вклад, примерно половина из которых были итальянцами. Лидерство в этой группе в Риме принадлежало Гвидо Кастельнуово, Федериго Энрикесу и Франческо Севери, которые совершили ряд глубоких открытий и задали направление исследований.
In relation to the history of mathematics, the Italian school of algebraic geometry refers to mathematicians and their work in birational geometry, particularly on algebraic surfaces, centered around Rome roughly from 1885 to 1935. There were 30 to 40 leading mathematicians who made major contributions, about half of those being Italian. The leadership fell to the group in Rome of Guido Castelnuovo, Federigo Enriques and Francesco Severi, who were involved in some of the deepest discoveries, as well as setting the style.
Алгебраические поверхности
Акцент на алгебраических поверхностях – алгебраических многообразиях размерности два – последовал за по существу полной геометрической теорией алгебраических кривых (размерности 1). К 1870 году теория кривых, включая теорию Брилла-Нётера, содержала теорему Римана-Роха во всех ее уточнениях (через детальную геометрию тета-делителя). Классификация алгебраических поверхностей была смелой и успешной попыткой повторить деление алгебраических кривых по их роду g. Разделение кривых соответствует грубой классификации на три типа: g = 0 (проективная прямая); g = 1 (эллиптическая кривая); и g > 1 (поверхности Римана с независимыми голоморфными дифференциалами). В случае поверхностей классификация Энрикеса разделяла их на пять схожих больших классов, три из которых были аналогами случаев для кривых, а два других (эллиптические расслоения и поверхности K3, как их теперь называют) занимали промежуточное положение между двумерными абелевыми многообразиями. Это был по существу верный, прорывной набор идей, переосмысленный на языке современных комплексных многообразий Кунихико Кодайрой в 1950-х годах и уточненный с включением явлений mod p Зариски, школы Шафаревича и других исследователей примерно к 1960 году. Также была установлена форма теоремы Римана-Роха для поверхностей.
The emphasis on algebraic surfaces—algebraic varieties of dimension two—followed on from an essentially complete geometric theory of algebraic curves (dimension 1). The position in around 1870 was that the curve theory had incorporated with Brill–Noether theory the Riemann–Roch theorem in all its refinements (via the detailed geometry of the theta divisor). The classification of algebraic surfaces was a bold and successful attempt to repeat the division of algebraic curves by their genus g. The division of curves corresponds to the rough classification into the three types: g = 0 (projective line); g = 1 (elliptic curve); and g > 1 (Riemann surfaces with independent holomorphic differentials). In the case of surfaces, the Enriques classification was into five similar big classes, with three of those being analogues of the curve cases, and two more (elliptic fibrations, and K3 surfaces, as they would now be called) being with the case of two dimension abelian varieties in the 'middle' territory. This was an essentially sound, breakthrough set of insights, recovered in modern complex manifold language by Kunihiko Kodaira in the 1950s, and refined to include mod p phenomena by Zariski, the Shafarevich school and others by around 1960. The form of the Riemann–Roch theorem on a surface was also worked out.
Основные вопросы
Некоторые доказательства, представленные школой, признаются неудовлетворительными из-за принципиальных трудностей. К ним относилось частое использование бирациональных моделей в трехмерном случае поверхностей, которые могут иметь несингулярные модели только при вложении в проективное пространство большей размерности. Чтобы избежать этих проблем, была разработана сложная теория работы с линейными системами делителей (по сути, теория линейных расслоений для гиперплоскостных сечений предполагаемых вложений в проективное пространство). Многие современные методы были найдены в зачаточной форме, а в некоторых случаях формулировка этих идей опережала доступный технический язык.
Some proofs produced by the school are not considered satisfactory because of foundational difficulties. These included frequent use of birational models in dimension three of surfaces that can have non singular models only when embedded in higher dimensional projective space. In order to avoid these issues, a sophisticated theory of handling a linear system of divisors was developed (in effect, a line bundle theory for hyperplane sections of putative embeddings in projective space). Many modern techniques were found, in embryonic form, and in some cases the articulation of these ideas exceeded the available technical language.
Геометры
Согласно Guerraggio & Nastasi (стр. 9, 2005), Луиджи Кремона "считается основателем итальянской школы алгебраической геометрии". Позже они объясняют, что в Турине сотрудничество Энрико Д’Овидио и Коррадо Сегре "привело итальянскую алгебраическую геометрию к полной зрелости, либо благодаря их собственным усилиям, либо усилиям их учеников". Х. Ф. Бейкер, бывший ученик Сегре, писал, что Коррадо Сегре "вероятно, можно назвать отцом этой замечательной итальянской школы, которая достигла столь многого в бирациональной теории алгебраических многообразий". На эту тему Бригалья и Чилиберто (2004) отмечают, что "Сегре возглавил и поддерживал школу геометрии, основанную Луиджи Кремоной в 1860 году". Данные проекта "Математическая генеалогия" показывают, что реальная продуктивность школы, с точки зрения итальянских докторских диссертаций, началась с Гидо Кастельнуово и Федериго Энрикеса. В число выдающихся представителей школы входят следующие итальянцы: Джакомо Албанезе, Эухенио Бертини, Луиджи Кампеделли, Оскар Чизини, Микеле Де Франчис, Паскуале дель Пеззо, Бениамино Сегре, Франческо Севери, Гидо Заппа (а также внесли вклад Джино Фано, Карло Розати, Джузеппе Торелли, Джузеппе Веронезе). Помимо Италии, в ней участвовали Х. Ф. Бейкер и Патрик дю Вал (Великобритания), Артур Байрон Кобль (США), Жорж Хамберт и Шарль Эмиль Пикар (Франция), Люсьен Годео (Бельгия), Герман Шуберт и Макс Нётер, а позднее Оскар Зариски (США), Эрих Кэлер (Германия), Х. Г. Зейтен (Дания). Все эти ученые занимались алгебраической геометрией, а не исследованием проективной геометрии как синтетической геометрии, которая, хотя и была обширной по объему в рассматриваемый период, считалась второстепенной областью (с точки зрения значимости исследований).
According to Guerraggio & Nastasi (page 9, 2005), Luigi Cremona is "considered the founder of the Italian school of algebraic geometry". Later they explain that in Turin the collaboration of Enrico D'Ovidio and Corrado Segre "would bring, either by their own efforts or those of their students, Italian algebraic geometry to full maturity". A one time student of Segre, H. F. Baker wrote that Corrado Segre "may probably be said to be the father of that wonderful Italian school which has achieved so much in the birational theory of algebraical loci." On this topic, Brigaglia & Ciliberto (2004) say "Segre had headed and maintained the school of geometry that Luigi Cremona had established in 1860." Reference to the Mathematics Genealogy Project shows that, in terms of Italian doctorates, the real productivity of the school began with Guido Castelnuovo and Federigo Enriques. The roll of honour of the school includes the following other Italians: Giacomo Albanese, Eugenio Bertini, Luigi Campedelli, Oscar Chisini, Michele De Franchis, Pasquale del Pezzo, Beniamino Segre, Francesco Severi, Guido Zappa (with contributions also from Gino Fano, Carlo Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese). Elsewhere it involved H. F. Baker and Patrick du Val (UK), Arthur Byron Coble (USA), Georges Humbert and Charles Émile Picard (France), Lucien Godeaux (Belgium), Hermann Schubert and Max Noether, and later Oscar Zariski (United States), Erich Kähler (Germany), H. G. Zeuthen (Denmark). These figures were all involved in algebraic geometry, rather than the pursuit of projective geometry as synthetic geometry, which during the period under discussion was a huge (in volume terms) but secondary subject (when judged by its importance as research).
Появление топологии
В 1950 году Генри Фордер упомянул итальянскую школу в связи с алгебраическими кривыми. Дальнейшее развитие теории плоских кривых оказывается плодотворным лишь при ее связи с теорией римановых поверхностей и абелевых функций. Это было излюбленной областью исследований итальянских геометров на протяжении последних пятидесяти лет, и они также внесли значительный вклад в аналогичную теорию поверхностей и "разнообразий" более высоких размерностей. В этой области сочетание теории интегралов на многообразиях и их топологии приводит к определяющим результатам. Таким образом, теория кривых и поверхностей связана с современной алгеброй и топологией.
In 1950 Henry Forder mentioned the Italian school in connection with algebraic curves. Further development of the theory of plane curves is only fruitful when it is connected with the theory of Riemann surfaces and Abelian functions. This has been a favorite study during the last fifty years, of the Italian geometers, and they have also made contributions of great beauty to a similar theory of surfaces and of “Varieties” of higher dimensions. Herein a combination of the theory of integrals on the varieties, and of their topology, yields decisive results. The theory of curves and surfaces is thus connected with modern algebra and topology
Новая алгебраическая геометрия, призванная сменить итальянскую школу, отличалась интенсивным использованием алгебраической топологии. Основателем этого направления был Анри Пуанкаре; в 1930-х годах оно было развито Лефшецем, Ходжем и Тоддом. Современный синтез объединил их работы, работы школы Картана, а также работы У. Л. Чоу и Кунихико Кодайры с традиционным материалом.
The new algebraic geometry that would succeed the Italian school was distinguished by the intensive use of algebraic topology. The founder of that tendency was Henri Poincaré; during the 1930s it was developed by Lefschetz, Hodge and Todd. The modern synthesis brought together their work, that of the Cartan school, and of W. L. Chow and Kunihiko Kodaira, with the traditional material.
Крушение школы
В ранние годы итальянской школы под руководством Кастельнуово стандарты строгости были такими же высокими, как и в большинстве областей математики. При Энрике постепенно стало допустимым использовать несколько менее формальные рассуждения вместо полных строгих доказательств, такие как "принцип непрерывности", утверждающий, что если что-то верно до предела, то оно верно и в пределе – утверждение, которое не имело ни строгого доказательства, ни даже четкой формулировки. Поначалу это не имело большого значения, поскольку интуиция Энрике была настолько сильна, что по сути все результаты, которые он утверждал, оказались верными, а использование этого менее формального стиля рассуждений позволило ему получить выдающиеся результаты об алгебраических поверхностях. К сожалению, примерно с 1930 года, под руководством Севери, стандарты точности стали снижаться еще больше, до такой степени, что некоторые из заявленных результатов были не только недостаточно доказаны, но и оказались неверными. Например, в 1934 году Севери утверждал, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но было показано, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода, а в 1946 году Севери опубликовал статью, в которой утверждал, что поверхность 6-й степени в трехмерном проективном пространстве имеет не более 52 особых точек, однако секстик Барта имеет 65 таких точек. Севери отказывался признавать несостоятельность своих аргументов, что приводило к острым спорам о достоверности некоторых результатов. С 1950-х по 1980-е годы были предприняты значительные усилия по спасению максимально возможного и преобразованию его в строгий алгебраический стиль алгебраической геометрии, разработанный Вейлем и Зариски. В частности, в 1960-х годах Кодайра и Шафаревич со своими учениками переписали классификацию алгебраических поверхностей Энрикеса в более строгом стиле и расширили ее на все компактные комплексные поверхности, а в 1970-х годах Фултон и Макферсон заложили строгие основания под классические вычисления теории пересечений.
In the earlier years of the Italian school under Castelnuovo, the standards of rigor were as high as most areas of mathematics. Under Enriques it gradually became acceptable to use somewhat more informal arguments instead of complete rigorous proofs, such as the "principle of continuity" saying that what is true up to the limit is true at the limit, a claim that had neither a rigorous proof nor even a precise statement. At first this did not matter too much, as Enriques's intuition was so good that essentially all the results he claimed were in fact correct, and using this more informal style of argument allowed him to produce spectacular results about algebraic surfaces. Unfortunately, from about 1930 onwards under Severi's leadership the standards of accuracy declined further, to the point where some of the claimed results were not just inadequately proved, but were incorrect. For example, in 1934 Severi claimed that the space of rational equivalence classes of cycles on an algebraic surface is finite dimensional, but showed that this is false for surfaces of positive geometric genus, and in 1946 Severi published a paper claiming to prove that a degree 6 surface in 3 dimensional projective space has at most 52 nodes, but the Barth sextic has 65 nodes. Severi did not accept that his arguments were inadequate, leading to some acrimonious disputes as to the status of some results. From about 1950 to 1980 there was considerable effort to salvage as much as possible, and convert it into the rigorous algebraic style of algebraic geometry set up by Weil and Zariski. In particular in the 1960s Kodaira and Shafarevich and his students rewrote the Enriques classification of algebraic surfaces in a more rigorous style, and also extended it to all compact complex surfaces, while in the 1970s Fulton and MacPherson put the classical calculations of intersection theory on rigorous foundations.