Введение

Алгебраическая геометрия — это раздел математики, использующий абстрактные алгебраические методы, главным образом из коммутативной алгебры, для решения геометрических задач. Классически она изучает нули многомерных многочленов; современный подход обобщает это в нескольких различных аспектах. Фундаментальными объектами изучения в алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия, которые являются геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений. Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются прямые, окружности, параболы, эллипсы, гиперболы, кубические кривые, такие как эллиптические кривые, и квартичные кривые, такие как лемнискаты и овалы Кассини. Это плоские алгебраические кривые. Точка плоскости лежит на алгебраической кривой, если её координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Основные вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как сингулярные точки, точки перегиба и точки на бесконечности. Более сложные вопросы касаются топологии кривой и взаимосвязи между кривыми, заданными различными уравнениями. Алгебраическая геометрия занимает центральное место в современной математике и имеет множество концептуальных связей с такими разнообразными областями, как комплексный анализ, топология и теория чисел. Как область изучения систем полиномиальных уравнений в нескольких переменных, алгебраическая геометрия начинается с поиска конкретных решений путём решения уравнений, а затем переходит к пониманию внутренних свойств совокупности решений системы уравнений. Это понимание требует как концептуальной теории, так и вычислительных методов. В XX веке алгебраическая геометрия разделилась на несколько подобластей. Основное направление алгебраической геометрии посвящено изучению комплексных точек алгебраических многообразий и, в более общем смысле, точек с координатами в алгебраически замкнутом поле. Реальная алгебраическая геометрия — это изучение вещественных алгебраических многообразий. Диофантова геометрия и, в более общем смысле, арифметическая геометрия — это изучение алгебраических многообразий над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми, и, в частности, над полями, представляющими интерес в алгебраической теории чисел, такими как поле рациональных чисел, числовые поля, конечные поля, функциональные поля и p-адические поля. Значительная часть теории сингулярностей посвящена сингулярностям алгебраических многообразий. Вычислительная алгебраическая геометрия — это область, возникшая на стыке алгебраической геометрии и компьютерной алгебры с развитием вычислительной техники. Она состоит главным образом из разработки алгоритмов и программного обеспечения для изучения свойств явно заданных алгебраических многообразий. Большая часть развития основного направления алгебраической геометрии в XX веке происходила в абстрактной алгебраической системе, с возрастающим акцентом на «внутренние» свойства алгебраических многообразий, не зависящие от какого-либо конкретного способа вложения многообразия в окружающее координатное пространство; это параллельно развитию в топологии, дифференциальной и комплексной геометрии. Одним из ключевых достижений этой абстрактной алгебраической геометрии является теория схем Гротендика, которая позволяет использовать теорию пучков для изучения алгебраических многообразий способом, очень похожим на её использование в изучении дифференциальных и аналитических многообразий. Это достигается путём расширения понятия точки: в классической алгебраической геометрии точка аффинного многообразия может быть отождествлена, через нульстелленсац Гильберта, с максимальным идеалом координатного кольца, в то время как точки соответствующей аффинной схемы — это все простые идеалы этого кольца. Это означает, что точка такой схемы может быть либо обычной точкой, либо подмногообразием. Этот подход также позволяет объединить язык и инструменты классической алгебраической геометрии, в основном связанные с комплексными точками, и алгебраической теории чисел. Доказательство Уайлсом давней гипотезы, известной как последняя теорема Ферма, является примером мощи этого подхода.

Обычные функции

Точно так же, как непрерывные функции являются естественными отображениями на топологических пространствах, а гладкие функции — естественными отображениями на дифференцируемых многообразиях, существует естественный класс функций на алгебраическом множестве, называемый регулярными или полиномиальными функциями. Регулярная функция на алгебраическом множестве V, содержащемся в An, является ограничением на V регулярной функции на An. Для алгебраического множества, заданного на поле комплексных чисел, регулярные функции гладкие и даже аналитические. Может показаться излишне ограничивающим требование, чтобы регулярная функция всегда продолжалась на окружающее пространство, но это очень похоже на ситуацию в нормальном топологическом пространстве, где теорема Тице о продолжении гарантирует, что непрерывная функция на замкнутом подмножестве всегда может быть продолжена на окружающее топологическое пространство. Как и в случае с регулярными функциями на аффинном пространстве, регулярные функции на V образуют кольцо, которое мы обозначаем k[V]. Это кольцо называется координатным кольцом V. Поскольку регулярные функции на V происходят из регулярных функций на An, существует связь между координатными кольцами. В частности, если регулярная функция на V является ограничением двух функций f и g из k[An], то f − g является полиномиальной функцией, которая обращается в нуль на V и, следовательно, принадлежит I(V). Таким образом, k[V] можно отождествить с k[An]/I(V).

Морфизм родственных сортов

Используя регулярные функции от аффинного многообразия в A1, мы можем определить регулярные отображения от одного аффинного многообразия в другое. Сначала определим регулярное отображение из многообразия в аффинное пространство: пусть V – многообразие, содержащееся в An. Выберем m регулярных функций на V и назовем их f1, …, fm. Определим регулярное отображение f из V в Am, полагая f = (f1, …, fm). Иными словами, каждая fi определяет одну координату области значений f. Если V′ – многообразие, содержащееся в Am, то мы говорим, что f – регулярное отображение из V в V′, если область значений f содержится в V′. Определение регулярных отображений применимо также к алгебраическим множествам. Регулярные отображения также называются морфизмами, поскольку они образуют категорию, объекты которой – аффинные алгебраические множества, а морфизмы – регулярные отображения. Аффинные многообразия являются подкатегорией категории алгебраических множеств. Если задано регулярное отображение g из V в V′ и регулярная функция f из k[V′], то f ∘ g ∈ k[V]. Отображение f → f ∘ g является гомоморфизмом колец из k[V′] в k[V]. Обратно, каждый гомоморфизм колец из k[V′] в k[V] определяет регулярное отображение из V в V′. Это определяет эквивалентность категорий между категорией алгебраических множеств и противоположной категорией конечно порожденных редуцированных k-алгебр. Эта эквивалентность является одной из отправных точек теории схем.

Рациональная функция и бирациональная эквивалентность

В отличие от предыдущих разделов, этот раздел касается только разновидностей, а не алгебраических множеств. С другой стороны, определения естественным образом распространяются на проективные разновидности (следующий раздел), поскольку аффинное многообразие и его проективное завершение имеют одно и то же поле функций. Если V – аффинное многообразие, то его координатное кольцо является целостным доменом и, следовательно, имеет поле частных, которое обозначается k(V) и называется полем рациональных функций на V или, кратко, полем функций V. Его элементами являются ограничения на V рациональных функций над аффинным пространством, содержащим V. Областью определения рациональной функции f является не V, а дополнение к подмногообразию (гиперповерхности), где знаменатель f обращается в нуль. Как и в случае с регулярными отображениями, можно определить рациональное отображение из многообразия V в многообразие V'. Как и в случае с регулярными отображениями, рациональные отображения из V в V' можно отождествить с гомоморфизмами полей из k(V') в k(V). Два аффинных многообразия бирационально эквивалентны, если между ними существуют две рациональные функции, обратные друг другу в областях, где обе определены. Эквивалентно, они бирационально эквивалентны, если их поля функций изоморфны. Аффинное многообразие называется рациональным, если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Это означает, что многообразие допускает рациональную параметризацию, то есть параметризацию рациональными функциями. Например, окружность, заданная уравнением, является рациональной кривой, поскольку она имеет параметрическое уравнение, которое также можно рассматривать как рациональное отображение из прямой на окружность. Задача об разрешении особенностей состоит в том, чтобы выяснить, является ли каждое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентным многообразию, проективное завершение которого не содержит особенностей (см. также гладкое завершение). Она была решена в положительном смысле для характеристики 0 Хайсуке Хиронакой в 1964 году и до сих пор не решена в конечной характеристике.

Проективный сорт

Так же, как формулы корней многочленов второй, третьей и четвертой степени предполагают расширение действительных чисел до более алгебраически полной системы комплексных чисел, многие свойства алгебраических многообразий предполагают расширение аффинного пространства до более геометрически полного проективного пространства. В то время как комплексные числа получаются путем добавления числа *i*, корня многочлена *x*<sup>2</sup> + 1, проективное пространство получается путем добавления соответствующих точек "на бесконечности", точек, где параллельные прямые могут пересекаться. Чтобы понять, как это может произойти, рассмотрим многообразие *V*(y − *x*<sup>2</sup>). Если мы его изобразим, получим параболу. Когда *x* стремится к положительной бесконечности, наклон прямой от начала координат до точки (*x*, *x*<sup>2</sup>) также стремится к положительной бесконечности. Когда *x* стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же прямой стремится к отрицательной бесконечности. Сравните это с многообразием *V*(y − *x*<sup>3</sup>). Это кубическая кривая. Когда *x* стремится к положительной бесконечности, наклон прямой от начала координат до точки (*x*, *x*<sup>3</sup>) стремится к положительной бесконечности, как и раньше. Но, в отличие от предыдущего случая, когда *x* стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же прямой также стремится к положительной бесконечности; это противоположно поведению параболы. Таким образом, поведение *V*(y − *x*<sup>3</sup>) "на бесконечности" отличается от поведения *V*(y − *x*<sup>2</sup>) "на бесконечности". Рассмотрение проективного завершения этих двух кривых, которое является их продолжением "на бесконечности" в проективной плоскости, позволяет количественно оценить эту разницу: точка на бесконечности параболы является регулярной точкой, касательная в которой – прямая на бесконечности, в то время как точка на бесконечности кубической кривой является точкой возврата. Кроме того, обе кривые рациональны, поскольку они параметризуются переменной *x*, а теорема Римана — Роха подразумевает, что кубическая кривая должна иметь сингулярность, которая должна находиться на бесконечности, поскольку все ее точки в аффинном пространстве регулярны. Таким образом, многие свойства алгебраических многообразий, включая бирациональную эквивалентность и все топологические свойства, зависят от поведения "на бесконечности", и поэтому естественно изучать многообразия в проективном пространстве. Более того, введение проективных методов упростило и обострило многие теоремы в алгебраической геометрии: например, теорема Безу о числе точек пересечения двух многообразий может быть сформулирована в наиболее точной форме только в проективном пространстве. По этим причинам проективное пространство играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. В настоящее время проективное пространство *P*<sup>*n*</sup> размерности *n* обычно определяется как множество прямых, проходящих через точку, рассматриваемую как начало координат, в аффинном пространстве размерности *n* + 1, или, эквивалентно, как множество векторных прямых в векторном пространстве размерности *n* + 1. Когда в пространстве размерности *n* + 1 выбрана система координат, все точки прямой имеют один и тот же набор координат с точностью до умножения на элемент *k*. Это определяет однородные координаты точки *P*<sup>*n*</sup> как последовательность из *n* + 1 элементов базового поля *k*, заданную с точностью до умножения на ненулевой элемент *k* (общее для всей последовательности). Многочлен от *n* + 1 переменных обращается в нуль во всех точках прямой, проходящей через начало координат, тогда и только тогда, когда он однородный. В этом случае говорят, что многочлен обращается в нуль в соответствующей точке *P*<sup>*n*</sup>. Это позволяет определить проективное алгебраическое множество в *P*<sup>*n*</sup> как множество *V*(f<sub>1</sub>, …, f<sub>*k*</sub>), где обращается в нуль конечный набор однородных многочленов {f<sub>1</sub>, …, f<sub>*k*</sub>}. Как и для аффинных алгебраических множеств, существует биекция между проективными алгебраическими множествами и редуцированными однородными идеалами, которые их определяют. Проективные многообразия — это проективные алгебраические множества, определяющий идеал которых является простым. Другими словами, проективное многообразие — это проективное алгебраическое множество, чье однородное координатное кольцо является целостным доменом, а проективное координатное кольцо определяется как фактор-кольцо градуированного кольца или многочленов от *n* + 1 переменных по однородному (редуцированному) идеалу, определяющему многообразие. Каждое проективное алгебраическое множество может быть однозначно разложено в конечный союз проективных многообразий. Единственные регулярные функции, которые могут быть корректно определены на проективном многообразии, — это постоянные функции. Поэтому это понятие не используется в проективных ситуациях. С другой стороны, поле рациональных функций или функциональное поле является полезным понятием, которое, аналогично аффинному случаю, определяется как множество частных от деления двух однородных элементов одной и той же степени в однородном координатном кольце.

Реальная алгебраическая геометрия

Реальная алгебраическая геометрия – это изучение вещественных алгебраических многообразий. Тот факт, что поле вещественных чисел является упорядоченным полем, нельзя игнорировать в таком исследовании. Например, кривая уравнения является окружностью, если , но не имеет вещественных точек, если . Реальная алгебраическая геометрия также исследует, в более широком смысле, полуалгебраические множества, которые являются решениями систем полиномиальных неравенств. Например, ни одна из ветвей гиперболы уравнения не является вещественным алгебраическим многообразием. Однако ветвь в первом квадранте является полуалгебраическим множеством, определяемым и . Одна из открытых проблем в реальной алгебраической геометрии – следующая часть шестнадцатой проблемы Гильберта: определить, какие взаимные расположения возможны для овалов гладкой плоской кривой степени 8.

Цилиндрическое алгебраическое разложение (ЦАД)

CAD – это алгоритм, представленный в 1973 году Г. Коллинзом для реализации с допустимой сложностью теоремы Тарски–Зейденберга об устранении кванторов над вещественными числами. Эта теорема относится к формулам логики первого порядка, атомные формулы которых представляют собой полиномиальные равенства или неравенства между полиномами с вещественными коэффициентами. Таким образом, эти формулы могут быть построены из атомных формул с помощью логических операторов «и» (∧), «или» (∨), «не» (¬), «для всех» (∀) и «существует» (∃). Теорема Тарски утверждает, что из такой формулы можно вычислить эквивалентную формулу без кванторов (∀, ∃). Сложность алгоритма CAD двойственно экспоненциальна относительно числа переменных. Это означает, что CAD, теоретически, позволяет решать любую задачу вещественной алгебраической геометрии, которую можно выразить в виде такой формулы, то есть почти любую задачу, касающуюся явно заданных многообразий и полуалгебраических множеств. В то время как вычисление базиса Грёбнера имеет двойную экспоненциальную сложность лишь в редких случаях, CAD почти всегда демонстрирует такую высокую сложность. Это подразумевает, что, если большинство полиномов во входных данных не являются линейными, он не сможет решать задачи с более чем четырьмя переменными. С 1973 года большая часть исследований в этой области посвящена либо улучшению CAD, либо поиску альтернативных алгоритмов для специальных случаев, представляющих общий интерес. В качестве примера современного уровня развития существуют эффективные алгоритмы для нахождения хотя бы одной точки в каждой связной компоненте полуалгебраического множества и, следовательно, для проверки, является ли полуалгебраическое множество пустым. С другой стороны, CAD на практике остается лучшим алгоритмом для подсчета числа связных компонент.

Асимптотическая сложность против практической эффективности

Основные общие алгоритмы вычислительной геометрии имеют двойную экспоненциальную сложность в худшем случае. Точнее, если d – максимальная степень входных многочленов, а n – число переменных, их сложность составляет не более для некоторой постоянной c, а для некоторых входных данных сложность составляет не менее для другой постоянной c′. В течение последних 20 лет 20-го века было разработано множество алгоритмов для решения конкретных подзадач с лучшей сложностью. Большинство из этих алгоритмов имеют сложность. Среди этих алгоритмов, решающих подзадачи, решаемые базисами Грёбнера, можно упомянуть проверку, является ли аффинное многообразие пустым, и решение неоднородных полиномиальных систем, имеющих конечное число решений. Такие алгоритмы редко реализуются, поскольку в большинстве случаев алгоритмы Фужера F4 и F5 демонстрируют лучшую практическую эффективность и, вероятно, сопоставимую или лучшую сложность (вероятно, потому, что оценка сложности алгоритмов базисов Грёбнера для конкретного класса входных данных – сложная задача, выполненная лишь в нескольких частных случаях). Основные алгоритмы реальной алгебраической геометрии, решающие задачу, решаемую методом CAD, связаны с топологией полуалгебраических множеств. Можно привести примеры: подсчет числа связных компонент, проверка, находятся ли две точки в одной и той же компоненте, или вычисление стратификации Уитни реального алгебраического множества. Они имеют сложность , но постоянная, скрытая в O-нотации, настолько велика, что их использование для эффективного решения любой нетривиальной задачи, решаемой методом CAD, невозможно даже при использовании всей существующей вычислительной мощности. Поэтому эти алгоритмы никогда не были реализованы, и поиск алгоритмов, обладающих одновременно хорошей асимптотической сложностью и хорошей практической эффективностью, является активной областью исследований.

Абстрактная современная точка зрения

Современные подходы к алгебраической геометрии переопределяют и эффективно расширяют круг основных объектов на различных уровнях общности: схемы, формальные схемы, инд-схемы, алгебраические пространства, алгебраические стеки и так далее. Необходимость этого возникает уже из полезных идей в теории многообразий, например, формальные функции Зариски могут быть учтены путем введения нильпотентных элементов в структурные кольца; рассмотрение пространств петель и дуг, построение частных по действиям групп и развитие формальных основ для естественной теории пересечений и теории деформаций приводят к дальнейшим расширениям. Наиболее примечательно, что в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика. Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые являются локально кольцевыми пространствами, образующими категорию, антиэквивалентную категории коммутативных унитальных колец, расширяя двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категорией конечно порожденных редуцированных k-алгебр. Склейка происходит по топологии Зариски; можно склеивать в рамках категории локально кольцевых пространств, а также, используя вложение Йонеды, в более абстрактной категории предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зариски в теоретико-множественном смысле затем заменяется топологией Гротендика. Гротендик ввел топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и чувствительные примеры, чем грубая топология Зариски, а именно этальную топологию и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc; в настоящее время некоторые другие примеры стали заметными, включая топологию Нисневича. Более того, пучки можно обобщить до стеков в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, приводящими к стекам Артина и, еще более тонким, стекам Делинье-Мамфорда, которые часто называют алгебраическими стеками. Иногда другие алгебраические сайты заменяют категорию аффинных схем. Например, Николай Дуров ввел коммутативные алгебраические монады как обобщение локальных объектов в обобщенной алгебраической геометрии. В этой постановке были реализованы версии тропической геометрии, абсолютной геометрии над полем из одного элемента и алгебраический аналог геометрии Аракелова. Другое формальное обобщение возможно для универсальной алгебраической геометрии, в которой каждое многообразие алгебр имеет свою собственную алгебраическую геометрию. Термин «многообразие алгебр» не следует путать с алгебраическим многообразием. Язык схем, стеков и обобщений оказался ценным способом работы с геометрическими понятиями и стал краеугольным камнем современной алгебраической геометрии. Алгебраические стеки могут быть еще более обобщены, и для многих практических вопросов, таких как теория деформаций и теория пересечений, это часто является наиболее естественным подходом. Можно расширить сайт аффинных схем Гротендика до сайта более высокой категоричности производных аффинных схем, заменив коммутативные кольца бесконечной категорией дифференциально градуированных коммутативных алгебр или упрощенных коммутативных колец или аналогичной категории с соответствующим вариантом топологии Гротендика. Можно также заменить предпучки множеств предпучками упрощенных множеств (или бесконечных группоидов). Затем, при наличии соответствующего гомотопического аппарата, можно разработать понятие производного стека как такого предпучка на бесконечной категории производных аффинных схем, удовлетворяющего определенной бесконечно-категориальной версии аксиомы пучка (и, чтобы быть алгебраическим, индуктивно последовательности условий представимости). Категории моделей Квиллена, категории Сегала и квазикатегории — одни из наиболее часто используемых инструментов для формализации этого, дающие производную алгебраическую геометрию, введенную школой Карлоса Симпсона, включая Андре Иршовица, Бертрана Тоэна, Габриэль Веззози, Мишеля Ваки и других; и развитую далее Якобом Лурье, Бертраном Тоэном и Габриэлем Веззози. Другая (некоммутативная) версия производной алгебраической геометрии, использующая A-бесконечные категории, была разработана с начала 1990-х годов Максимом Концевичем и его последователями.

До XVI века

Некоторые корни алгебраической геометрии восходят к работам эллинистических греков, начиная с V века до нашей эры. Например, Делианская задача заключалась в построении длины x, чтобы куб со стороной x имел тот же объем, что и прямоугольный параллелепипед с гранями a²b, при заданных сторонах a и b. Менахм (ок. 350 г. до н.э.) рассматривал эту задачу геометрически, находя точки пересечения двух плоских конических сечений: ay = x² и xy = ab. В III веке до н.э. Архимед и Аполлоний систематически изучали дополнительные задачи, связанные с коническими сечениями, используя координаты. Его применение опорных линий – диаметра и касательной – по существу не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, откладываемые вдоль диаметра от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и заключенные между осью и кривой, – ординатами. Он также развивал соотношения между абсциссами и соответствующими координатами, используя геометрические методы, такие как применение парабол и других кривых. Средневековые математики, включая Омара Хайяма, Леонардо Пизанского, Герсонида и Николя Орема, в Средние века решали некоторые кубические и квадратные уравнения исключительно алгебраическими методами, а затем интерпретировали результаты геометрически. Персидский математик Омар Хайям (родившийся в 1048 году н.э.) полагал, что существует взаимосвязь между арифметикой, алгеброй и геометрией. Эта точка зрения подверглась критике со стороны Джеффри Оукса, который утверждает, что изучение кривых посредством уравнений началось с работ Декарта в XVII веке.

Ренессанс

Такие методы применения геометрических построений к алгебраическим задачам были также восприняты рядом математиков эпохи Возрождения, таких как Джероламо Кардано и Никколо Фонтана "Тарталья", в их исследованиях кубического уравнения. Геометрический подход к задачам построения, а не алгебраический, предпочитался большинством математиков XVI и XVII веков, в особенности Блезом Паскалем, который возражал против использования алгебраических и аналитических методов в геометрии. Французские математики Франсискус Виет, а позднее Рене Декарт и Пьер де Ферма совершили революцию в общепринятом способе мышления о задачах построения, введя координатную геометрию. Их прежде всего интересовали свойства алгебраических кривых, таких как те, что определены диофантовыми уравнениями (в случае Ферма), и алгебраическая переформулировка классических греческих трудов по коническим сечениям и кубическим кривым (в случае Декарта). В тот же период Блез Паскаль и Жерар Дезарг рассматривали геометрию с иной точки зрения, развивая синтетические понятия проективной геометрии. Паскаль и Дезарг также изучали кривые, но с чисто геометрической точки зрения, как аналог греческого построения с помощью циркуля и линейки. В конечном итоге, аналитическая геометрия Декарта и Ферма одержала победу, предоставив математикам XVIII века конкретные количественные инструменты, необходимые для изучения физических задач с использованием нового дифференциального и интегрального исчисления Ньютона и Лейбница. Однако к концу XVIII века большая часть алгебраической природы координатной геометрии была поглощена исчислением бесконечно малых Лагранжа и Эйлера.

XIX и начало XX века

Для возвращения старых алгебраических идей в область геометрии потребовались одновременные открытия неевклидовой геометрии и абелевых интегралов в XIX веке. Первым из этих новых направлений заинтересовались Эдмон Лагерр и Артур Кейли, которые попытались установить обобщенные метрические свойства проективного пространства. Кейли ввел понятие гомогенных полиномиальных форм, и в частности, квадратичных форм, на проективном пространстве. Впоследствии Феликс Клейн изучал проективную геометрию (наряду с другими типами геометрии), исходя из того, что геометрия пространства кодируется в определенном классе преобразований этого пространства. К концу XIX века проективные геометры стали изучать более общие типы преобразований фигур в проективном пространстве. Помимо проективных линейных преобразований, которые обычно считались определяющими фундаментальную клеинианскую геометрию на проективном пространстве, их внимание также привлекли бирациональные преобразования более высокой степени. Это более слабое понятие конгруэнтности впоследствии привело представителей итальянской школы алгебраической геометрии XX века к классификации алгебраических поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма. Второе открытие начала XIX века – абелевы интегралы – подтолкнуло Бернарда Римана к разработке римановых поверхностей. В тот же период началась алгебраизация алгебраической геометрии посредством коммутативной алгебры. Важнейшими результатами в этом направлении стали теорема Гильберта об основаниях и нульстеллензац Гильберта, которые лежат в основе связи между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй, а также многомерный результирующий многочлен Маколея, являющийся основой теории исключения. Вероятно, из-за вычислительной сложности, связанной с многомерными результирующими, теория исключения была забыта в середине XX века, пока не получила новое развитие в теории особенностей и вычислительной алгебраической геометрии.

20 век

Б. Л. ван дер Вэрден, Оскар Зариски и Андре Вейль разработали основу алгебраической геометрии, опираясь на современную коммутативную алгебру, включая теорию оценок и теорию идеалов. Одной из целей было создание строгой базы для доказательства результатов, полученных итальянской школой алгебраической геометрии. В частности, эта школа систематически использовала понятие обобщённой точки, не имея при этом чёткого определения, которое впервые было дано этими авторами в 1930-х годах. В 1950-х и 1960-х годах Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик пересмотрели основы, используя теорию пучков. Позднее, начиная примерно с 1960 года, и во многом благодаря Гротендику, была разработана идея схем в сочетании с высокоразвитым аппаратом гомологических методов. После десятилетия стремительного развития область стабилизировалась к 1970-м годам, и появились новые применения как в теории чисел, так и к более классическим геометрическим вопросам, касающимся алгебраических многообразий, особенностей, модулей и формальных модулей. Важным классом многообразий, которые нелегко понять непосредственно из их определяющих уравнений, являются абелевы многообразия – проективные многообразия, чьи точки образуют абелеву группу. Прототипическими примерами служат эллиптические кривые, обладающие богатой теорией. Они сыграли ключевую роль в доказательстве последней теоремы Ферма и также применяются в криптографии на эллиптических кривых. Параллельно с абстрактным направлением алгебраической геометрии, ориентированным на общие утверждения о многообразиях, разрабатывались методы эффективных вычислений с конкретными многообразиями, что привело к появлению новой области – вычислительной алгебраической геометрии. Одним из основополагающих методов в этой области является теория базисов Грёбнера, предложенная Бруно Бухбергером в 1965 году. Другим основополагающим методом, специально предназначенным для реальной алгебраической геометрии, является цилиндрическое алгебраическое разложение, разработанное Джорджем Э. Коллинзом в 1973 году. См. также: производная алгебраическая геометрия.

Аналитическая геометрия

Аналитическое многообразие определяется локально как множество общих решений нескольких уравнений, включающих аналитические функции. Оно аналогично понятию алгебраического многообразия, рассматриваемого для вещественных или комплексных чисел. Любое комплексное многообразие является аналитическим многообразием. Поскольку аналитические многообразия могут иметь особые точки, не все аналитические многообразия являются многообразиями. Современная аналитическая геометрия по существу эквивалентна вещественной и комплексной алгебраической геометрии, что было показано Жаном-Пьером Серром в его работе GAGA, название которой на французском языке означает «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия». Тем не менее, эти две области остаются различными, поскольку методы доказательств существенно отличаются, а алгебраическая геометрия также включает геометрию над конечными полями.

Приложения

Алгебраическая геометрия находит применение в статистике, теории управления, робототехнике, кодах, исправляющих ошибки, филогенетике и геометрическом моделировании. Также существуют связи с теорией струн, теорией игр, задачей о соответствии в графах, солитонами и целочисленным программированием.