Введение
Самопересекающееся, высокосимметричное отображение реальной проективной плоскости в трехмерное пространство.
In mathematics, the Roman surface or Steiner surface is a self intersecting mapping of the real projective plane into three dimensional space, with an unusually high degree of symmetry. This mapping is not an immersion of the projective plane; however, the figure resulting from removing six singular points is one. Its name arises because it was discovered by Jakob Steiner when he was in Rome in 1844. The simplest construction is as the image of a sphere centered at the origin under the map This gives an implicit formula of
Also, taking a parametrization of the sphere in terms of longitude (θ) and latitude (φ), gives parametric equations for the Roman surface as follows:
The origin is a triple point, and each of the xy , yz , and xz planes are tangential to the surface there. The other places of self intersection are double points, defining segments along each coordinate axis which terminate in six pinch points. The entire surface has tetrahedral symmetry. It is a particular type (called type 1) of Steiner surface, that is, a 3 dimensional linear projection of the Veronese surface.
В математике римская поверхность или поверхность Штайнера — это самопересекающееся отображение реальной проективной плоскости в трехмерное пространство с необычайно высокой степенью симметрии. Это отображение не является погружением проективной плоскости; однако фигура, полученная после удаления шести особых точек, является таковым. Своё название она получила, поскольку была открыта Якобом Штайнером во время его пребывания в Риме в 1844 году. Наиболее простое построение — это образ сферы с центром в начале координат при отображении. Это даёт неявную формулу. Также, используя параметризацию сферы в терминах долготы (θ) и широты (φ), можно получить параметрические уравнения для римской поверхности следующим образом:
In mathematics, the Roman surface or Steiner surface is a self intersecting mapping of the real projective plane into three dimensional space, with an unusually high degree of symmetry. This mapping is not an immersion of the projective plane; however, the figure resulting from removing six singular points is one. Its name arises because it was discovered by Jakob Steiner when he was in Rome in 1844. The simplest construction is as the image of a sphere centered at the origin under the map This gives an implicit formula of
Also, taking a parametrization of the sphere in terms of longitude (θ) and latitude (φ), gives parametric equations for the Roman surface as follows:
The origin is a triple point, and each of the xy , yz , and xz planes are tangential to the surface there. The other places of self intersection are double points, defining segments along each coordinate axis which terminate in six pinch points. The entire surface has tetrahedral symmetry. It is a particular type (called type 1) of Steiner surface, that is, a 3 dimensional linear projection of the Veronese surface.
Начало координат является тройной точкой, и каждая из плоскостей xy, yz и xz касается поверхности в этой точке. Другие точки самопересечения являются двойными точками, определяющими сегменты вдоль каждой координатной оси, которые заканчиваются в шести точках перегиба. Вся поверхность обладает тетраэдрической симметрией. Это особый тип (называемый типом 1) поверхности Штайнера, то есть трехмерная линейная проекция поверхности Веронезе.
In mathematics, the Roman surface or Steiner surface is a self intersecting mapping of the real projective plane into three dimensional space, with an unusually high degree of symmetry. This mapping is not an immersion of the projective plane; however, the figure resulting from removing six singular points is one. Its name arises because it was discovered by Jakob Steiner when he was in Rome in 1844. The simplest construction is as the image of a sphere centered at the origin under the map This gives an implicit formula of
Also, taking a parametrization of the sphere in terms of longitude (θ) and latitude (φ), gives parametric equations for the Roman surface as follows:
The origin is a triple point, and each of the xy , yz , and xz planes are tangential to the surface there. The other places of self intersection are double points, defining segments along each coordinate axis which terminate in six pinch points. The entire surface has tetrahedral symmetry. It is a particular type (called type 1) of Steiner surface, that is, a 3 dimensional linear projection of the Veronese surface.
Односторонность
Римская поверхность не ориентируема, то есть односторонняя. Это не совсем очевидно. Чтобы увидеть это, посмотрите снова на рисунок 3. Представьте себе муравья на вершине "третьего" гиперболического параболоида, z = x y. Пусть этот муравей движется на север. Когда он движется, он пройдет сквозь два других параболоида, словно призрак, проходящий сквозь стену. Эти другие параболоиды кажутся препятствиями лишь из-за самопересекающейся природы погружения. Пусть муравей игнорирует все двойные и тройные точки и проходит сквозь них. Таким образом, муравей движется на север и, как бы то ни было, падает с края мира. Теперь он оказывается на северной доле, скрытой под третьим параболоидом на рисунке 3. Муравей стоит вверх ногами, на "внешней" стороне римской поверхности. Пусть муравей движется в юго-западном направлении. Он будет подниматься по склону (вверх ногами), пока не окажется "внутри" западной доли. Теперь пусть муравей движется в юго-восточном направлении вдоль внутренней части западной доли к оси z = 0, всегда над плоскостью xy. Как только он пересечет ось z = 0, муравей окажется "снаружи" восточной доли, стоя прямо. Затем пусть он движется на север, через "холм", а затем на северо-запад, так что он начнет скользить вниз к оси x = 0. Как только муравей пересечет эту ось, он окажется "внутри" северной доли, стоя прямо. Теперь пусть муравей пойдет на север. Он будет подниматься по стене, а затем по "крыше" северной доли. Муравей снова на третьем гиперболическом параболоиде, но на этот раз под ним и стоит вверх ногами. (Сравните с бутылкой Кляйна.)
Двойные, тройные и ущемляющие точки
Римская поверхность имеет четыре "лобки". Границы каждой лобки образованы тремя линиями двойных точек. Между каждой парой лобок находится линия двойных точек. Поверхность имеет в общей сложности три линии двойных точек, которые (в заданной ранее параметризации) лежат на координатных осях. Эти три линии двойных точек пересекаются в тройной точке, расположенной в начале координат. Тройная точка разделяет линии двойных точек на пары полулиний, каждая из которых лежит между парой лобок. Из вышесказанного можно было бы предположить, что возможно существование до восьми лобок, по одной в каждом октанте пространства, разделенного координационными плоскостями. Однако лобки занимают лишь чередующиеся октанты: четыре октанта остаются пустыми, а четыре заняты лобками. Если римскую поверхность вписать в тетраэдр наименьшего возможного объема, то можно обнаружить, что каждый его край касается поверхности в одной точке, и что каждая из этих шести точек является сингулярностью Уитни. Эти сингулярности, или точки перегиба, лежат на краях трех линий двойных точек и характеризуются тем, что в сингулярности не существует касательной плоскости к поверхности.
Общие ссылки
А. Коффман, А. Шварц и С. Стентон: Алгебра и геометрия поверхностей Штайнера и других поверхностей, параметризуемых квадратично. В "Computer Aided Geometric Design" (3) 13 (апрель 1996 г.), с. 257–286.
Берт Юттлер, Рагни Пине: Геометрическое моделирование и алгебраическая геометрия. Springer, 2008, с. 30.
Bert Jüttler, Ragni Piene: Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer 2008, , p. 30