Введение

Достаточное условие для неприводимости многочлена
В математике критерий Эйзенштейна предоставляет достаточное условие для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над рациональными числами – то есть, чтобы он не мог быть разложен на произведение непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами. Этот критерий не применим ко всем многочленам с целыми коэффициентами, которые являются неприводимыми над рациональными числами, но он позволяет в определенных важных случаях доказать неприводимость с минимальными усилиями. Он может быть применен либо непосредственно, либо после преобразования исходного многочлена. Этот критерий назван в честь Готтгольда Эйзенштейна. В начале XX века он также был известен как теорема Шёнемана — Эйзенштейна, поскольку Теодор Шёнеман был первым, кто опубликовал его.

Примеры

Критерий Эйзенштейна может быть применен либо непосредственно (то есть, к исходному многочлену), либо после преобразования исходного многочлена.

Прямые (без преобразования)

Рассмотрим многочлен Q(x) = 3x⁴ + 15x² + 10. Чтобы критерий Эйзенштейна мог быть применен для простого числа p, оно должно делить оба нестарших коэффициента 15 и 10, что означает, что может подойти только p = 5. Действительно, это так, поскольку 5 не делит старший коэффициент 3, а его квадрат 25 не делит свободный член 10. Следовательно, можно заключить, что Q неприводим над Q (и, поскольку он примитивен, также над Z). Следует отметить, что поскольку Q имеет степень 4, этот вывод нельзя было бы установить, лишь проверив отсутствие у Q рациональных корней (что исключило бы возможные множители степени 1), так как возможно также разложение на два квадратных множителя.

Косвенный (после преобразования)

Часто критерий Эйзенштейна неприменим ни к одному простому числу. Однако может случиться, что он применим (для некоторого простого числа) к многочлену, полученному после подстановки (для некоторого целого числа a) выражения x + a вместо x. Тот факт, что многочлен после подстановки является неприводимым, позволяет заключить, что исходный многочлен также неприводим. Эта процедура известна как применение сдвига. Например, рассмотрим H = x² + x + 2, в котором коэффициент при x, равный 1, не делится ни на какое простое число, поэтому критерий Эйзенштейна к H неприменим. Но если подставить x + 3 вместо x в H, то получим многочлен x² + 7x + 14, который удовлетворяет критерию Эйзенштейна для простого числа 7. Поскольку подстановка является автоморфизмом кольца Q[x], то тот факт, что мы получаем неприводимый многочлен после подстановки, подразумевает, что изначально у нас был неприводимый многочлен. В этом конкретном примере было бы проще утверждать, что H (являясь моником степени 2) может быть разложен на множители только в том случае, если у него есть целый корень, чего у него явно нет; однако общий принцип попыток подстановки с целью применения критерия Эйзенштейна является полезным способом расширить область его применения. Другой способ преобразовать многочлен, чтобы удовлетворить критерию, который можно комбинировать с применением сдвига, — это изменить порядок его коэффициентов, при условии, что его свободный член отличен от нуля (иначе он все равно будет делиться на x). Это связано с тем, что такие многочлены являются приводимыми в R[x] тогда и только тогда, когда они приводимы в R[x, x⁻¹] (для любого целостного домена R), и в этом кольце замена x на x⁻¹ меняет порядок коэффициентов (симметрично относительно свободного члена, но последующий сдвиг в показателе степени эквивалентен умножению на единицу). Например, 2x⁵ − 4x² − 3 удовлетворяет критерию для p = 2 после изменения порядка коэффициентов, и (будучи примитивным) поэтому является неприводимым в Z[x].

Циклотомические полиномы

Важный класс многочленов, необратимость которых можно установить с помощью критерия Эйзенштейна, — это циклотомные многочлены для простых чисел p. Такой многочлен получается делением многочлена x^p − 1 на линейный фактор x − 1, соответствующий его очевидному корню 1 (который является его единственным рациональным корнем, если p > 2):

Здесь, как и в предыдущем примере с H, коэффициенты 1 препятствуют непосредственному применению критерия Эйзенштейна. Однако многочлен будет удовлетворять критерию для p после подстановки x + 1 вместо x: это дает

все нестаршие коэффициенты которого делятся на p благодаря свойствам биномиальных коэффициентов, а постоянный коэффициент равен p и, следовательно, не делится на p^2. Альтернативный способ прийти к этому выводу — использовать тождество 1 = (a + b)^p = a^p + b^p, которое справедливо в характеристике p (и основано на тех же свойствах биномиальных коэффициентов, порождая эндоморфизм Фробениуса), для вычисления приведения по модулю p частного многочленов:

что означает, что все нестаршие коэффициенты частного делятся на p; оставшуюся проверку того, что постоянный член частного равен p, можно выполнить, подставив 1 (вместо x + 1) в развернутую форму x^(p−1) + … + x + 1.

Доказательство

Доказательство этого обобщения аналогично доказательству исходного утверждения, с учетом приведения коэффициентов по модулю p. Существенный момент заключается в том, что одночлен в целостном домене D/p нельзя разложить в произведение, в котором хотя бы один из множителей содержит более одного члена (поскольку в таком произведении невозможно сокращение коэффициентов при старшей или младшей степенях).

Пример

После "Z" одним из основных примеров целостного домена является кольцо многочленов 1=D = k[u] относительно переменной u над полем k. В этом случае главный идеал, порожденный u, является простым идеалом. Критерий Эйзенштейна можно использовать для доказательства неприводимости многочлена, такого как 1=Q(x) = x³ + ux + u в D[x]. Действительно, u не делит a₃, u² не делит a₀, а u делит a₀, a₁ и a₂. Это показывает, что данный многочлен удовлетворяет условиям обобщения критерия Эйзенштейна для простого идеала 1 = 'p' = (u), поскольку для главного идеала (u) принадлежность к (u) эквивалентна делимости на u.