Актуальная и потенциальная бесконечность в философии математики

Введение

Концепция в философии математики

В философии математики абстракция актуальной бесконечности, также называемая завершённой бесконечностью, подразумевает принятие (при включении аксиомы бесконечности) бесконечных объектов как данных, реальных и завершённых сущностей. К ним могут относиться множество натуральных чисел, расширенные действительные числа, трансфинитные числа или даже бесконечная последовательность рациональных чисел. Актуальная бесконечность противопоставляется потенциальной бесконечности, в которой бесконечный процесс (например, "прибавить 1 к предыдущему числу") порождает последовательность, не имеющую последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное число шагов. В результате потенциальная бесконечность часто формализуется с использованием понятия предела.

Анаксимандр

Древнегреческий термин для потенциальной или несобственной бесконечности — апейрон (неограниченное или неопределённое), в отличие от актуальной или собственной бесконечности — афоризменон. Апейрон противопоставляется тому, что имеет перас (предел). Эти понятия сегодня обозначаются как потенциально бесконечное и актуально бесконечное соответственно. Анаксимандр (610–546 до н.э.) полагал, что апейрон является принципом или основным элементом, из которого состоит всё сущее. Очевидно, что «апейрон» представлял собой некое изначальное вещество. Представление Платона об апейроне более абстрактно и связано с неопределённой изменчивостью. Основными диалогами, в которых Платон обсуждает «апейрон», являются поздние диалоги «Парменид» и «Филеб».

Аристотельское различие потенциала и факта

Аристотель рассматривал тему бесконечности в «Физике» и «Метафизике». Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определена и состоит из бесконечного числа элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает завершена: элементы всегда можно добавлять, но никогда бесконечно много. «В общем, бесконечность существует таким образом: одна вещь всегда берется после другой, и каждая взятая вещь всегда конечна, но всегда различна». (Аристотель, «Физика», книга 3, глава 6). Аристотель различал бесконечность в отношении прибавления и деления. Но у Платона есть две бесконечности – Великая и Малая. («Физика», книга 3, глава 4). «В качестве примера потенциально бесконечного ряда в отношении возрастания можно всегда добавлять одно число после другого в ряду, начинающемся с 1, 2, 3, но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен». «В отношении деления потенциально бесконечная последовательность делений может начаться, например, с 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен». «Тот факт, что процесс деления никогда не прекращается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, но не то, что бесконечное существует отдельно». (Метафизика, книга 9, глава 6). Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между актуальной и потенциальной бесконечностью, но они «не нуждаются в [актуальной] бесконечности и не используют ее» (Phys. III 2079 29).

Современная математическая практика

Фактическая бесконечность теперь общепринята, поскольку математики научились строить алгебраические утверждения, используя её. Например, можно записать символ ω, с устным описанием, что "ω обозначает завершённую (счётную) бесконечность". Этот символ можно добавить как первоначальный элемент к любому множеству. Также можно сформулировать аксиомы, определяющие сложение, умножение и неравенство, в частности, порядковую арифметику, так что выражения вроде ω + 1 можно интерпретировать как "любое натуральное число меньше завершённой бесконечности". Даже утверждения, соответствующие "здравому смыслу", такие как ω + ω = ω, возможны и непротиворечивы. Теория достаточно хорошо развита, что довольно сложные алгебраические выражения, такие как ω², ω³ и даже ωω, могут быть интерпретированы как допустимые алгебраические выражения, им можно дать устное описание, и их можно использовать в широком спектре теорем и утверждений последовательным и осмысленным образом. Возможность последовательно и осмысленно определять порядковые числа делает многие споры неактуальными; каким бы ни было личное мнение о бесконечности или конструктивности, существование богатой теории для работы с бесконечностями с использованием инструментов алгебры и логики очевидно.

Противодействие со стороны школы интуиционистов

Математическое значение термина "фактический" в актуальной бесконечности является синонимом определенной, завершенной, расширенной или экзистенциальной, но не должно смешиваться с физически существующей. Вопрос о том, образуют ли натуральные или действительные числа определенные множества, следовательно, независим от вопроса о физическом существовании бесконечных объектов в природе. Сторонники интуиционизма, начиная с Кронекера, отвергают утверждение о существовании актуально бесконечных математических объектов или множеств. Соответственно, они реконструируют основания математики таким образом, чтобы не постулировать существование актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ признает существование завершенной бесконечности целых чисел. Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциальная; термины, синонимичные этому понятию, – становление или конструктивность. Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку по ней за конечное число шагов: следовательно, лента является лишь "потенциально" бесконечной, поскольку, хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг, сама бесконечность никогда не достигается. Математики в целом принимают актуальные бесконечности. Георг Кантор – наиболее значимый математик, защищавший актуальную бесконечность. Он пришел к выводу, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (утверждающую, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то это не приведет к противоречию. Современная общепринятая финитистская интерпретация порядковых и кардинальных чисел заключается в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка, в рамках которого можно делать утверждения. Все такие утверждения обязательно конечны по длине. Обоснованность манипуляций основывается исключительно на базовых принципах формального языка: алгебре термов, переписывании термов и так далее. В более абстрактном плане, как (конечная) теория моделей, так и теория доказательств предоставляют необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Не нужно "верить" в бесконечность, чтобы записать алгебраически корректные выражения, использующие символы бесконечности.

The mathematical meaning of the term "actual" in actual infinity is synonymous with definite, completed, extended or existential, but not to be mistaken for physically existing. The question of whether natural or real numbers form definite sets is therefore independent of the question of whether infinite things exist physically in nature. Proponents of intuitionism, from Kronecker onwards, reject the claim that there are actually infinite mathematical objects or sets. Consequently, they reconstruct the foundations of mathematics in a way that does not assume the existence of actual infinities. On the other hand, constructive analysis does accept the existence of the completed infinity of the integers. For intuitionists, infinity is described as potential; terms synonymous with this notion are becoming or constructive. To access memory on the tape, a Turing machine moves a read head along it in finitely many steps: the tape is therefore only "potentially" infinite, since — while there is always the ability to take another step — infinity itself is never actually reached. Mathematicians generally accept actual infinities. Georg Cantor is the most significant mathematician who defended actual infinities. He decided that it is possible for natural and real numbers to be definite sets, and that if one rejects the axiom of Euclidean finiteness (that states that actualities, singly and in aggregates, are necessarily finite), then one is not involved in any contradiction. The present day conventional finitist interpretation of ordinal and cardinal numbers is that they consist of a collection of special symbols, and an associated formal language, within which statements may be made. All such statements are necessarily finite in length. The soundness of the manipulations is founded only on the basic principles of a formal language: term algebras, term rewriting, and so on. More abstractly, both (finite) model theory and proof theory offer the needed tools to work with infinities. One does not have to "believe" in infinity in order to write down algebraically valid expressions employing symbols for infinity.

Классическая теория множеств

Философская проблема актуальной бесконечности касается того, является ли это понятие согласованным и эпистемологически обоснованным. Классическая теория множеств принимает понятие актуальной, завершенной бесконечности. Однако некоторые финитистские философы математики и конструктивисты возражают против этого понятия. Если положительное число n становится бесконечно большим, выражение 1/n стремится к нулю (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о неподлинной или потенциальной бесконечности. В резком и ясном контрасте, множество, которое мы только что рассмотрели, является легко завершенным, замкнутым бесконечным множеством, фиксированным в себе, содержащим бесконечно много точно определенных элементов (натуральных чисел), ни больше, ни меньше. (А. Френкель [4, с. 6]) Таким образом, покорение актуальной бесконечности может считаться расширением нашего научного горизонта, не менее революционным, чем система Коперника или теория относительности, или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245]) Рассматривать вселенную всех множеств не как фиксированную сущность, а как сущность, способную "расти", то есть мы можем "порождать" все большие и большие множества. (А. Френкель и др. [5, с. 118]) (Брувер) утверждает, что подлинный континуум, который не является счетным, может быть получен как среда свободного развития; то есть, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения законами, таких как e, pi и т. д., другие точки континуума не готовы, но развиваются как так называемые последовательности выбора. (А. Френкель и др. [5, с. 255]) Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел, как обозначающее что-то законченное и определенное, считая это недопустимым. Такая последовательность рассматривается лишь как растущий объект, а не как завершенный. (А. Френкель и др. [5, с. 236]) До этого никто не предполагал, что бесконечности бывают разных размеров, и, кроме того, математики не нуждались в "актуальной бесконечности". Аргументы, использующие бесконечность, включая дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница, не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Йех) Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечность была возведена на трон и наслаждалась своим полным триумфом. В своем смелом полете бесконечность достигла головокружительных высот успеха. (Д. Гильберт [6, с. 169]) Одна из самых энергичных и плодотворных ветвей математики [ ] рай, созданный Кантором, из которого никто никогда не изгонит нас [ ] самый восхитительный цветок математического ума и в целом одно из выдающихся достижений чисто интеллектуальной деятельности человека. (Д. Гильберт о теории множеств [6]) Наконец, вернемся к нашей первоначальной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечности. Общий результат таков: бесконечность нигде не реализуется. Она не присутствует ни в природе, ни допустима в качестве основания нашего рационального мышления – замечательная гармония между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190]) Бесконечные тотальности не существуют ни в каком смысле этого слова (то есть ни реально, ни идеально). Точнее, любое упоминание, или предполагаемое упоминание, бесконечных тотальностей, буквально, бессмысленно. (А. Робинсон [10, с. 507]) Действительно, я думаю, что существует реальная необходимость, в формализме и в других областях, связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира. (А. Робинсон) Грандиозный метанарратив Георга Кантора, теория множеств, созданная им почти в одиночку в течение примерно пятнадцати лет, больше напоминает произведение высокого искусства, чем научную теорию. (Y. Манин) Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: понимания бесконечности, или, скорее, бесконечности бесконечностей. (Y. Манин) Нет никакой актуальной бесконечности, о которой канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. (H. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) с. 316]) Когда объектами обсуждения являются лингвистические сущности [ ], то эта совокупность сущностей может меняться в результате обсуждения их. Следствием этого является то, что "натуральные числа" сегодня не те же, что и "натуральные числа" вчера. (Д. Айлс) Существует по крайней мере два различных способа взглянуть на числа: как на завершенную бесконечность и как на неполную бесконечность. Рассмотрение чисел как неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу рассмотрению чисел как завершенной бесконечности, которая приводит к большим упрощениям в некоторых областях математики и имеет тесную связь с проблемами вычислительной сложности. (E. Нельсон) В эпоху Возрождения, особенно с Бруно, актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Конечные мировые модели современной науки ясно показывают, как эта сила идеи актуальной бесконечности прекратила свое существование в классической (современной) физике. В этом аспекте включение актуальной бесконечности в математику, которое началось явно только с G. Кантора к концу прошлого века, кажется неуместным. В интеллектуальной общей картине нашего века актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. (P. Лоренцен)

The philosophical problem of actual infinity concerns whether the notion is coherent and epistemically sound. Classical set theory accepts the notion of actual, completed infinities. However, some finitist philosophers of mathematics and constructivists object to the notion. If the positive number n becomes infinitely great, the expression 1/n goes to naught (or gets infinitely small). In this sense one speaks of the improper or potential infinite. In sharp and clear contrast the set just considered is a readily finished, locked infinite set, fixed in itself, containing infinitely many exactly defined elements (the natural numbers) none more and none less. (A. Fraenkel [4, p. 6])Thus the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific horizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even of quantum and nuclear physics. (A. Fraenkel [4, p. 245])

To look at the universe of all sets not as a fixed entity but as an entity capable of "growing", i. e., we are able to "produce" bigger and bigger sets. (A. Fraenkel et al. [5, p. 118])

(Brouwer) maintains that a veritable continuum which is not denumerable can be obtained as a medium of free development; that is to say, besides the points which exist (are ready) on account of their definition by laws, such as e, pi, etc. other points of the continuum are not ready but develop as so called choice sequences. (A. Fraenkel et al. [5, p. 255])

Intuitionists reject the very notion of an arbitrary sequence of integers, as denoting something finished and definite as illegitimate. Such a sequence is considered to be a growing object only and not a finished one. (A. Fraenkel et al. [5, p. 236])

Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for "actual infinity." The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets. (T. Jech )

Owing to the gigantic simultaneous efforts of Frege, Dedekind and Cantor, the infinite was set on a throne and revelled in its total triumph. In its daring flight the infinite reached dizzying heights of success. (D. Hilbert [6, p. 169])

One of the most vigorous and fruitful branches of mathematics [ ] a paradise created by Cantor from which nobody shall ever expel us [ ] the most admirable blossom of the mathematical mind and altogether one of the outstanding achievements of man's purely intellectual activity. (D. Hilbert on set theory [6])

Finally, let us return to our original topic, and let us draw the conclusion from all our reflections on the infinite. The overall result is then: The infinite is nowhere realized. Neither is it present in nature nor is it admissible as a foundation of our rational thinking – a remarkable harmony between being and thinking. (D. Hilbert [6, 190])

Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i. e., either really or ideally). More precisely, any mention, or purported mention, of infinite totalities is, literally, meaningless. (A. Robinson [10, p. 507])

Indeed, I think that there is a real need, in formalism and elsewhere, to link our understanding of mathematics with our understanding of the physical world. (A. Robinson)

Georg Cantor's grand meta narrative, Set Theory, created by him almost singlehandedly in the span of about fifteen years, resembles a piece of high art more than a scientific theory. (Y. Manin )

Thus, exquisite minimalism of expressive means is used by Cantor to achieve a sublime goal: understanding infinity, or rather infinity of infinities. (Y. Manin )

There is no actual infinity, that the Cantorians have forgotten and have been trapped by contradictions. (H. Poincaré [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) p. 316])

When the objects of discussion are linguistic entities [ ] then that collection of entities may vary as a result of discussion about them. A consequence of this is that the "natural numbers" of today are not the same as the "natural numbers" of yesterday. (D. Isles )

There are at least two different ways of looking at the numbers: as a completed infinity and as an incomplete infinity regarding the numbers as an incomplete infinity offers a viable and interesting alternative to regarding the numbers as a completed infinity, one that leads to great simplifications in some areas of mathematics and that has strong connections with problems of computational complexity. (E. Nelson )

During the renaissance, particularly with Bruno, actual infinity transfers from God to the world. The finite world models of contemporary science clearly show how this power of the idea of actual infinity has ceased with classical (modern) physics. Under this aspect, the inclusion of actual infinity into mathematics, which explicitly started with G. Cantor only towards the end of the last century, seems displeasing. Within the intellectual overall picture of our century actual infinity brings about an impression of anachronism. (P. Lorenzen)