Введение
Плоская кривая 2-й степени, являющаяся редуцируемой.
В геометрии вырожденная коническая – это коническая кривая (плоская кривая 2-й степени, определяемая полиномиальным уравнением 2-й степени), которая не является неразложимой кривой. Это означает, что определяющее уравнение может быть разложено на множители над комплексными числами (или, в более общем случае, над алгебраически замкнутым полем) как произведение двух линейных многочленов. Используя альтернативное определение конической как пересечения в трехмерном пространстве плоскости и двойного конуса, коническая является вырожденной, если плоскость проходит через вершину конуса. В реальной плоскости вырожденная коническая может представлять собой две линии, которые могут быть параллельными или не параллельными, одну линию (либо две совпадающие линии, либо объединение линии и линии на бесконечности), одну точку (фактически, две комплексно сопряженные линии) или пустое множество (двойная линия на бесконечности или две параллельные комплексно сопряженные линии). Все эти вырожденные конические могут встречаться в пучках конических. То есть, если два вещественных невырожденных конических определены квадратными полиномиальными уравнениями f = 0 и g = 0, то конические, задаваемые уравнением af + bg = 0, образуют пучок, содержащий одну или три вырожденные конические. Для любой вырожденной конической в вещественной плоскости можно выбрать f и g так, чтобы данная вырожденная коническая принадлежала пучку, определяемому этими уравнениями.
Примеры
Конический разрез с уравнением является вырожденным, так как его уравнение можно представить в виде , и соответствует двум пересекающимся прямым, образующим "X". Этот вырожденный конический является предельным случаем в пучке гипербол с уравнениями . Предельный случай является примером вырожденного конического, состоящего из удвоенной прямой на бесконечности. Аналогично, конический разрез с уравнением , имеющий только одну вещественную точку, является вырожденным, поскольку его можно разложить на множители над комплексными числами. Таким образом, конический состоит из двух комплексно сопряженных прямых, пересекающихся в единственной вещественной точке , конического сечения. Пучок эллипсов с уравнениями вырождается, при , в две параллельные прямые и, при , в двойную прямую. Пучок окружностей с уравнениями вырождается при в две прямые: прямую на бесконечности и прямую с уравнением .
Отношение к пересечению плоскости и конуса
Конические сечения, также известные как конические, чтобы подчеркнуть их трехмерную геометрию, возникают при пересечении плоскости с конусом. Дегенерация происходит, когда плоскость содержит вершину конуса или когда конус вырождается в цилиндр и плоскость параллельна оси цилиндра. Подробности см. в разделе «Коническое сечение»#Вырожденные случаи.
Точки для определения
Общий конический определяется пятью точками: при задании пяти точек в общем положении существует единственный конический, проходящий через них. Если три из этих точек лежат на одной прямой, то конический является вырожденным и может быть как единственным, так и не единственным. Если никакие четыре точки не лежат на одной прямой, то пять точек определяют единственный конический (вырожденный, если три точки лежат на одной прямой, но две другие точки определяют единственную другую прямую). Однако, если четыре точки лежат на одной прямой, то не существует единственного конического, проходящего через них – одна прямая проходит через четыре точки, а оставшаяся прямая проходит через другую точку, но угол не определен, оставляя 1 параметр свободным. Если все пять точек лежат на одной прямой, то оставшаяся прямая свободна, что оставляет 2 параметра свободными. При задании четырех точек в общем линейном положении (никакие три не лежат на одной прямой; в частности, никакие две не совпадают), через них проходят ровно три пары прямых (вырожденные конические), которые, как правило, пересекаются, если только точки не образуют трапецию (одна пара параллельна) или параллелограмм (две пары параллельны). При задании трех точек, если они не коллинеарны, через них проходят три пары параллельных прямых – выберите две, чтобы определить одну прямую, и третью для прохождения параллельной прямой, согласно постулату о параллельности. При задании двух различных точек через них проходит единственная двойная прямая.