Введение

Комплексное число, квадрат модуля которого является вероятностью.

В квантовой механике амплитуда вероятности – это комплексное число, используемое для описания поведения систем. Квадрат модуля этой величины представляет собой плотность вероятности. Амплитуды вероятности устанавливают связь между квантовым вектором состояния системы и результатами наблюдений этой системы, впервые предложенную Максом Борном в 1926 году. Интерпретация значений волновой функции как амплитуды вероятности является краеугольным камнем копенгагенской интерпретации квантовой механики. На самом деле, свойства пространства волновых функций использовались для физических предсказаний (например, о дискретности энергий излучения атомов) еще до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. Борн был удостоен половины Нобелевской премии по физике 1954 года за это понимание, а вероятность, вычисленная таким образом, иногда называют "вероятностью Борна". Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения, в то время подвергались активной критике со стороны первоначальных разработчиков теории, таких как Шрёдингер и Эйнштейн. Они являются источником загадочных следствий и философских трудностей в интерпретации квантовой механики – тем, которые продолжают обсуждаться и сегодня.

Физический обзор

Не обращая внимания на некоторые технические сложности, проблема квантового измерения заключается в поведении квантового состояния, для которого значение измеряемой величины Q неопределено. Такое состояние рассматривается как когерентная суперпозиция собственных состояний этой величины, состояний, в которых значение измеряемой величины однозначно определено для различных возможных значений. Когда производится измерение Q, система (в соответствии с копенгагенской интерпретацией) переходит в одно из собственных состояний, выдавая собственное значение, соответствующее этому состоянию. Система всегда может быть описана линейной комбинацией или суперпозицией этих собственных состояний с различными "весами". Интуитивно понятно, что собственные состояния с большими "весами" более "вероятны". Действительно, в какое из перечисленных собственных состояний система перейдет, определяется вероятностным законом: вероятность перехода системы в данное состояние пропорциональна квадрату модуля соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятности, а связь, используемая для вычисления вероятностей на основе заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется правилом Борна. Очевидно, что сумма вероятностей, равная сумме квадратов модулей амплитуд вероятности, должна быть равна 1. Это требование нормировки. Если известно, что система находится в определенном собственном состоянии Q (например, после наблюдения соответствующего собственного значения Q), то вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенной) для всех последующих измерений Q (при условии, что между измерениями не действуют другие значимые силы). Иными словами, амплитуды вероятности для всех остальных собственных состояний равны нулю и остаются таковыми при будущих измерениях. Если набор собственных состояний, в которые система может перейти при измерении Q, совпадает с набором собственных состояний при измерении R, то последующие измерения Q или R всегда дают одни и те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка их проведения. Амплитуды вероятности не изменяются под действием ни одного из измерений, и говорят, что эти величины коммутируют. Однако, если собственные состояния Q и R различны, то измерение R приводит к переходу в состояние, которое не является собственным состоянием Q. Следовательно, если известно, что система находится в определенном собственном состоянии Q (все амплитуды вероятности равны нулю, кроме одной, соответствующей данному состоянию), то при измерении R амплитуды вероятности изменяются. Второе, последующее измерение Q уже не обязательно даст собственное значение, соответствующее исходному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятности для второго измерения Q зависят от того, было ли оно проведено до или после измерения R, и эти две величины не коммутируют.

Математическая формулировка

В формальной постановке, состояние изолированной физической системы в квантовой механике в фиксированный момент времени t представляется вектором состояния, принадлежащим к сепарабельному комплексному гильбертову пространству. Используя обозначения Дирака, связь между вектором состояния и "базисом положений" гильбертова пространства может быть записана как. Связь с измеримой величиной может быть прояснена путем обобщения квантового состояния до измеримой функции, а области его определения – до заданного σ-конечного пространства с мерой. Это позволяет уточнить теорему о разложении Лебега, разлагая меру μ на три взаимно сингулярные части:

где μac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, μsc сингулярна относительно меры Лебега и не содержит атомов, а μpp является чисто точечной мерой.

Дискретные амплитуды

Пусть будет атомным (т.е. множество в является атомом); при этом мера любой дискретной переменной x ∈ A равна 1. Амплитуды состоят из вектора состояния, индексированного A; его компоненты обозначаются ψ(x) для единообразия с предыдущим случаем. Если ℓ^(2)-норма вектора равна 1, то он является функцией плотности вероятности. Удобное конфигурационное пространство X таково, что каждая точка x соответствует уникальному значению наблюдаемой Q. Для дискретного X это означает, что все элементы стандартного базиса являются собственными векторами Q. Тогда ψ(x) – амплитуда вероятности для соответствующего собственного состояния. Если она соответствует невырожденному собственному значению Q, то ψ(x)^2 дает вероятность соответствующего значения Q для начального состояния, если и только если это то же квантовое состояние, что и ψ(x) = 0, если и только если и ортогональны. В противном случае модуль ψ(x) находится между 0 и 1. Дискретную амплитуду вероятности можно рассматривать как фундаментальную частоту в частотной области вероятностей (сферические гармоники) для упрощения вычислений преобразований в М-теории. Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированной отражающей коробке и квантовый гармонический осциллятор.

Амплитуды в операторах

Понятие амплитуд также используется в контексте теории рассеяния, в частности, в форме S-матриц. В то время как квадраты модулей компонент вектора для заданного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, квадраты модулей элементов матрицы интерпретируются как вероятности перехода, подобно случайному процессу. Как конечномерный единичный вектор определяет конечное распределение вероятностей, так и конечномерная унитарная матрица определяет вероятности перехода между конечным числом состояний. "Переходная" интерпретация применима и к функциям L² на недискретных пространствах.