Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории вероятностей и статистике задача об урне — это идеализированное мысленное упражнение, в котором объекты, представляющие интерес (например, атомы, люди, автомобили и т. д.), представляются шарами разных цветов в урне или другом сосуде. Предполагается, что из урны извлекают один или несколько шаров; цель состоит в определении вероятности извлечения шара определенного цвета или других характеристик. Ниже описаны несколько важных вариантов. Модель урны — это либо набор вероятностей, описывающих события в задаче об урне, либо распределение вероятностей, либо семейство таких распределений, связанных со случайными величинами в задачах об урне.
Mental exercise in probability and statistics
In probability and statistics, an urn problem is an idealized mental exercise in which some objects of real interest (such as atoms, people, cars, etc.) are represented as colored balls in an urn or other container. One pretends to remove one or more balls from the urn; the goal is to determine the probability of drawing one color or another,
or some other properties. A number of important variations are described below. An urn model is either a set of probabilities that describe events within an urn problem, or it is a probability distribution, or a family of such distributions, of random variables associated with urn problems.
История
В "Ars Conjectandi" (1713), Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения пропорций разноцветных камешков в урне, исходя из количества извлеченных из нее камешков. Эта задача получила название обратной задачи теории вероятностей и стала предметом исследований в XVIII веке, привлекшего внимание Абрахама де Муавра и Томаса Бейеса. Бернулли использовал латинское слово *urna*, которое в основном означает глиняный сосуд, но также обозначало в Древнем Риме сосуд любого типа для сбора голосов или жребиев; современное итальянское слово для избирательной урны до сих пор – *urna*. Вдохновение для Бернулли могли составить лотереи, выборы или игры случая, связанные с вытягиванием шаров из контейнера. Утверждается, что выборы в средневековой и ренессансной Венеции, в том числе выборы дожа, часто включали выбор избирателей посредством жребия, используя шары разных цветов, вытянутые из урны.
In Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli considered the problem of determining, given a number of pebbles drawn from an urn, the proportions of different colored pebbles within the urn. This problem was known as the inverse probability problem, and was a topic of research in the eighteenth century, attracting the attention of Abraham de Moivre and Thomas Bayes. Bernoulli used the Latin word urna, which primarily means a clay vessel, but is also the term used in ancient Rome for a vessel of any kind for collecting ballots or lots; the present day Italian word for ballot box is still urna. Bernoulli's inspiration may have been lotteries, elections, or games of chance which involved drawing balls from a container, and it has been asserted that elections in medieval and renaissance Venice, including that of the doge, often included the choice of electors by lot, using balls of different colors drawn from an urn.
Примеры проблем с урной
бета-биномиальное распределение: как и выше, за исключением того, что каждый раз, когда извлекается шар, в урну добавляется дополнительный шар того же цвета. Таким образом, общее количество шаров в урне увеличивается. См. модель урны По́ли. биномиальное распределение: распределение числа успешных извлечений (испытаний), то есть извлечение белых шаров, при n извлечениях с возвращением в урну, содержащую чёрные и белые шары. Урна Хо́ппе: урна По́ли с дополнительным шаром, называемым мутатором. Когда мутатор извлекается, он заменяется вместе с дополнительным шаром совершенно нового цвета. гипергеометрическое распределение: шары не возвращаются в урну после извлечения. Таким образом, общее количество шаров в урне уменьшается. Это называется "извлечением без возвращения", в противоположность "извлечению с возвращением". многомерное гипергеометрическое распределение: шары не возвращаются в урну после извлечения, при этом шаров более двух цветов. геометрическое распределение: число извлечений до первого успешного (правильного по цвету) извлечения. Смешанное возвращение/невозвращение: урна содержит чёрные и белые шары. Чёрные шары откладываются после извлечения (не возвращаются), а белые шары возвращаются в урну после извлечения (возвращаются). Каково распределение числа чёрных шаров, извлечённых после m извлечений? многочленное распределение: есть шары более чем двух цветов. Каждый раз, когда шар извлекается, он возвращается в урну перед следующим извлечением. Это также известно как «шары по ячейкам». отрицательное биномиальное распределение: число извлечений до наступления заданного числа неудач (неправильных по цвету извлечений). Задача о занятости: распределение числа занятых урн после случайного распределения k шаров по n урнам, связанная с задачей о купонах и задачей о днях рождения. Урна По́ли: каждый раз, когда извлекается шар определённого цвета, он заменяется вместе с дополнительным шаром того же цвета. Статистическая физика: вывод распределений энергии и скорости. Парадокс Эллсберга.
beta binomial distribution: as above, except that every time a ball is observed, an additional ball of the same color is added to the urn. Hence, the number of total balls in the urn grows. See Pólya urn model. binomial distribution: the distribution of the number of successful draws (trials), i. e. extraction of white balls, given n draws with replacement in an urn with black and white balls. Hoppe urn: a Pólya urn with an additional ball called the mutator. When the mutator is drawn it is replaced along with an additional ball of an entirely new colour. hypergeometric distribution: the balls are not returned to the urn once extracted. Hence, the number of total marbles in the urn decreases. This is referred to as "drawing without replacement", by opposition to "drawing with replacement". multivariate hypergeometric distribution: the balls are not returned to the urn once extracted, but with balls of more than two colors. geometric distribution: number of draws before the first successful (correctly colored) draw. Mixed replacement/non replacement: the urn contains black and white balls. While black balls are set aside after a draw (non replacement), white balls are returned to the urn after a draw (replacement). What is the distribution of the number of black balls drawn after m draws? multinomial distribution: there are balls of more than two colors. Each time a ball is extracted, it is returned before drawing another ball. This is also known as 'Balls into bins'. negative binomial distribution: number of draws before a certain number of failures (incorrectly colored draws) occurs. Occupancy problem: the distribution of the number of occupied urns after the random assignment of k balls into n urns, related to the coupon collector's problem and birthday problem. Pólya urn: each time a ball of a particular colour is drawn, it is replaced along with an additional ball of the same colour. Statistical physics: derivation of energy and velocity distributions. The Ellsberg paradox.