Импеданс в электрических цепях

Введение

Противодействие цепи току при приложении напряжения

В электротехнике, импеданс – это сопротивление переменному току, обусловленное совокупным эффектом сопротивления и реактивного сопротивления в цепи. Количественно, импеданс двухполюсного элемента цепи определяется как отношение комплексного представления синусоидального напряжения между его выводами к комплексному представлению тока, протекающего через него. Как правило, он зависит от частоты синусоидального напряжения. Импеданс расширяет понятие сопротивления для цепей переменного тока (AC) и характеризуется как величиной, так и фазой, в отличие от сопротивления, которое имеет только величину. Импеданс может быть представлен в виде комплексного числа, с теми же единицами измерения, что и сопротивление, единицей СИ для которого является ом (Ω). Его символ обычно обозначается Z, и его можно представить, указав его величину и фазу в полярной форме. Однако, декартово представление комплексных чисел часто более эффективно для анализа цепей. Понятие импеданса полезно при проведении анализа цепей переменного тока, поскольку позволяет устанавливать связь между синусоидальными напряжениями и токами с помощью простого линейного закона. В многополюсных сетях определение импеданса для двух полюсов недостаточно, но комплексные напряжения на полюсах и токи, протекающие через них, все еще линейно связаны матрицей импеданса. Обратная величина импеданса – это проводимость, единицей СИ для которой является сименс, ранее называвшийся мхо. Приборы, используемые для измерения электрического импеданса, называются анализаторами импеданса.

История

Возможно, самым ранним применением комплексных чисел в анализе цепей стало использование Иоганном Виктором Витли́сбахом в 1879 году при анализе моста Максвелла. Витли́сбах избегал использования дифференциальных уравнений, представляя переменные токи и напряжения в виде экспоненциальных функций с мнимыми показателями степени (см.). Витли́сбах обнаружил, что требуемое напряжение можно получить, умножив ток на комплексное число (импеданс), хотя он и не рассматривал это как общий параметр сам по себе. Термин «импеданс» был введен Оли́вером Хе́висайдом в июле 1886 года. Хе́висайд осознал, что «оператор сопротивления» (импеданс) в его операционном исчислении является комплексным числом. В 1887 году он показал, что существует эквивалент закона Ома для переменного тока. Артур Кеннелли опубликовал в 1893 году влиятельную работу об импедансе. Кеннелли пришел к комплексному представлению более прямым путем, чем через использование мнимых экспоненциальных функций. Кеннелли опирался на графическое представление импеданса (отображающее сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс как длины сторон прямоугольного треугольника), разработанное Джоном Амброзом Фле́мингом в 1889 году. Импедансы можно было складывать векторно. Кеннелли понял, что это графическое представление импеданса напрямую аналогично графическому представлению комплексных чисел (диаграмма Арганда). Таким образом, задачи расчета импеданса можно было решать алгебраически, используя комплексное представление. Позднее в том же году работа Кеннелли была обобщена на все цепи переменного тока Чарльзом Проте́усом Шта́йнметцем. Шта́йнмец не только представлял импедансы комплексными числами, но и напряжения и токи. В отличие от Кеннелли, Шта́йнмец смог таким образом выразить эквиваленты законов постоянного тока (законов Ома и Кирхгофа) для переменного тока. Работа Шта́йнметца оказала значительное влияние на распространение этого метода среди инженеров.

Введение

В дополнение к сопротивлению, наблюдаемому в цепях постоянного тока, импеданс в цепях переменного тока учитывает влияние индукции напряжения в проводниках магнитными полями (индуктивность) и электростатическое накопление заряда, возникающее под действием напряжения между проводниками (ёмкость). Импеданс, обусловленный этими двумя эффектами, называется реактивным сопротивлением и составляет мнимую часть комплексного импеданса, в то время как сопротивление составляет его действительную часть.

Закон Ома

Значение электрического импеданса можно понять, подставив его в закон Ома. Если предположить, что двухполюсный элемент цепи с импедансом Z подвергается воздействию синусоидального напряжения или тока, как описано выше, то справедливо соотношение V = ZI.

Модуль импеданса |Z| действует подобно сопротивлению, определяя падение амплитуды напряжения на импедансе Z при заданном токе. Фазовый фактор указывает на то, что ток отстает от напряжения на фазу φ (то есть, во временной области сигнал тока сдвинут на φ позже по отношению к сигналу напряжения). Подобно тому, как импеданс расширяет закон Ома для цепей переменного тока, другие результаты анализа цепей постоянного тока, такие как деление напряжения, деление тока, теорема Тевенина и теорема Нортона, также могут быть расширены на цепи переменного тока путем замены сопротивления на импеданс.

Сопротивление

Сопротивление является реальной частью импеданса; устройство с чисто резистивным импедансом не имеет сдвига фазы между напряжением и током.

Реактивность

Реактивность — это мнимая часть импеданса; компонент с конечной реактивностью вызывает сдвиг фаз между напряжением на нем и током через него. Чисто реактивный компонент характеризуется тем, что синусоидальное напряжение на компоненте сдвинуто по фазе на 90 градусов относительно синусоидального тока через компонент. Это означает, что компонент попеременно накапливает энергию в цепи и затем возвращает ее в цепь. Чистая реактивность не приводит к рассеянию мощности.

Вместимое реактивное сопротивление

Конденсатор имеет чисто реактивное сопротивление, обратно пропорциональное частоте сигнала. Конденсатор состоит из двух проводников, разделенных изолятором, также известным как диэлектрик. Знак минус указывает на то, что мнимая часть сопротивления отрицательна. На низких частотах конденсатор приближается к разомкнутой цепи, поэтому через него не протекает ток. При приложении постоянного напряжения к конденсатору происходит накопление заряда на одной из сторон; электрическое поле, создаваемое накопленным зарядом, является причиной сопротивления току. Когда потенциал, связанный с зарядом, точно компенсирует приложенное напряжение, ток становится равным нулю. Под воздействием переменного напряжения конденсатор накапливает лишь ограниченный заряд, прежде чем разность потенциалов изменит знак и заряд рассеется. Чем выше частота, тем меньше заряда накапливается и тем меньше сопротивление току.

Объединение импедансов

Полный импеданс многих простых цепей из элементов может быть рассчитан с использованием правил сложения импедансов при последовательном и параллельном соединении. Эти правила идентичны правилам сложения сопротивлений, за исключением того, что значения обычно являются комплексными числами. Однако в общем случае требуются эквивалентные преобразования импеданса, помимо последовательного и параллельного соединений.

Измерение

Измерение импеданса устройств и линий передачи является практической задачей в радиотехнике и других областях. Измерения импеданса могут проводиться на одной частоте, либо может представлять интерес изменение импеданса устройства в диапазоне частот. Импеданс может измеряться или отображаться непосредственно в омах, либо могут отображаться другие величины, связанные с импедансом; например, для радиоантенны отношение стоячей волны или коэффициент отражения могут быть более полезными, чем только сам импеданс. Измерение импеданса требует измерения амплитуды напряжения и тока, а также разности фаз между ними. Импеданс часто измеряется «мостовыми» методами, аналогичными мосту Уитстона для постоянного тока; откалиброванный эталонный импеданс настраивается для компенсации влияния импеданса испытываемого устройства. Измерение импеданса в силовой электронике может потребовать одновременного измерения и подачи питания на рабочее устройство. Импеданс устройства можно вычислить, выполнив комплексное деление напряжения на ток. Импеданс устройства можно вычислить, приложив синусоидальное напряжение к устройству последовательно с резистором и измерив напряжение на резисторе и на самом устройстве. Проведение этого измерения с изменением частоты приложенного сигнала позволяет определить фазу и амплитуду импеданса. Использование импульсного отклика в сочетании с быстрым преобразованием Фурье (FFT) может быть использовано для быстрого измерения электрического импеданса различных электрических устройств. LCR-метр (индуктивность (L), ёмкость (C) и сопротивление (R)) – это прибор, обычно используемый для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента; на основе этих значений можно рассчитать импеданс на любой частоте.

Переменная импеданс

В общем, ни импеданс, ни проводимость не могут изменяться во времени, поскольку они определены для комплексных экспонент, охватывающих временной интервал от −∞ до +∞. Если отношение напряжения к току в комплексной экспоненте изменяется во времени или по амплитуде, элемент схемы нельзя описать в частотной области. Однако многие компоненты и системы (например, варикапы, используемые в радиоприемниках) могут демонстрировать нелинейные или изменяющиеся во времени соотношения напряжения и тока, которые кажутся линейными и стационарными (LTI) для малых сигналов и небольших интервалов времени, поэтому их можно приблизительно описать как имеющие зависящий от времени импеданс. Это описание является приближением: при больших изменениях сигнала или широких интервалах времени соотношение напряжения к току перестает быть LTI и не может быть описано импедансом.