Функция Вейерштрасса: непрерывность без дифференцируемости
Weierstrass function
Функция Вейерштрасса: непрерывна везде, но нигде не дифференцируема. Пример фрактальной кривой, опровергнувший интуитивные представления о гладкости функций.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Функция, непрерывная всюду, но нигде не дифференцируемая.
Function that is continuous everywhere but differentiable nowhere
В математике функция Вейерштрасса является примером вещественнозначной функции, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема. Это пример фрактальной кривой. Она названа в честь своего первооткрывателя Карла Вейерштрасса. Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологической функции, будучи первым опубликованным примером (1872), специально сконструированным для опровержения представления о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема почти всюду, за исключением множества изолированных точек. Доказательство Вейерштрасса того, что непрерывность не подразумевает дифференцируемость почти всюду, перевернуло математику, опровергнув ряд доказательств, основанных на геометрической интуиции и нечетких определениях гладкости. Эти функции подвергались критике со стороны современников: Анри Пуанкаре знаменито назвал их «монстрами» и окрестил работу Вейерштрасса «насилием над здравым смыслом», а Шарль Эрмит писал, что они являются «жалким бедствием». Визуализировать эти функции было сложно до появления компьютеров в следующем веке, и результаты не получили широкого признания, пока практические приложения, такие как модели броуновского движения, не потребовали бесконечно извилистых функций (сейчас известных как фрактальные кривые).
In mathematics, the Weierstrass function is an example of a real valued function that is continuous everywhere but differentiable nowhere. It is an example of a fractal curve. It is named after its discoverer Karl Weierstrass. The Weierstrass function has historically served the role of a pathological function, being the first published example (1872) specifically concocted to challenge the notion that every continuous function is differentiable except on a set of isolated points. Weierstrass's demonstration that continuity did not imply almost everywhere differentiability upended mathematics, overturning several proofs that relied on geometric intuition and vague definitions of smoothness. These types of functions were denounced by contemporaries: Henri Poincaré famously described them as "monsters" and called Weierstrass' work "an outrage against common sense", while Charles Hermite wrote that they were a "lamentable scourge". The functions were difficult to visualize until the arrival of computers in the next century, and the results did not gain wide acceptance until practical applications such as models of Brownian motion necessitated infinitely jagged functions (nowadays known as fractal curves).
Функция Римана
Функция Вейерштрасса основана на более ранней функции Римана, которая, как утверждалось, нигде не дифференцируема. Иногда эту функцию также называют функцией Вейерштрасса. Бернхард Риман решительно утверждал, что функция нигде не дифференцируема, однако никаких доказательств этого Риман не опубликовал, и Вейерштрасс отметил, что не обнаружил никаких свидетельств её существования ни в работах Римана, ни в устных рассказах его учеников. В 1916 году Г. Х. Харди подтвердил, что функция не имеет конечной производной ни в одной точке, где x является иррациональным числом или рациональным числом вида или , где A и B – целые числа. В 1971 году Дж. Гервер показал, что функция не имеет конечной производной в точках x, представимых в виде , тем самым завершив решение проблемы дифференцируемости функции Римана. Поскольку функция Римана дифференцируема только на множестве меры нуль, она дифференцируема почти нигде.
The Weierstrass function is based on the earlier Riemann function, claimed to be differentiable nowhere. Occasionally, this function has also been called the Weierstrass function. While Bernhard Riemann strongly claimed that the function is differentiable nowhere, no evidence of this was published by Riemann, and Weierstrass noted that he did not find any evidence of it surviving either in Riemann's papers or orally from his students. In 1916, G. H. Hardy confirmed that the function doesn't have a finite derivative in any value of where x is irrational or is rational with the form of either or , where A and B are integers. In 1971, J. Gerver showed that the function has no finite differential at the values of x that can be expressed in the form of , completing the problem of the differentiability of the Riemann function. As the Riemann function is differentiable only on a null set of points, it is differentiable almost nowhere.