Кіріспе

Өріс теориясындағы примитивті элементтер теоремасы, кез келген шекті бөлінгіш өріс кеңейтуінің қарапайым екенін, яғни бір ғана элемент арқылы құрылатынын мәлімдейді. Бұл теорема, әсіресе, рационал сандар үстіндегі барлық алгебралық сандар өрістерінің, сондай-ақ екі өріс те шекті болғандағы барлық кеңейтулердің қарапайым екенін көрсетеді.

Мысал

Егер рационалды сандарға екі иррационалды санды қосып, 4 дәрежелі кеңейту өрісін алсақ, бұл кеңейтудің қарапайым екенін көрсетуге болады, яғни бір ғана α үшін, 1, α, α², α³ күштерін 1, , , бүтін сан коэффициенттерімен сызықтық комбинациялар ретінде жазуға болады. Бұл сызықтық теңдеулер жүйесін α және үшін шешуге болады, нәтижесінде α = және = шығады. Бұл α шын мәнінде примитивті элемент екенін көрсетеді:

Келесі жалпы аргументті де қолдануға болады. Өріс анықталған төрт өрістік автоморфизмге ие, олар әрбір таңба таңдауы үшін және арнайы үшін анықталады. α-ның минималды полиномы кем дегенде төрт түбірге ие болуы керек, сондықтан кем дегенде төрт түрлі түбірі болуы керек, демек, кем дегенде төртінші дәрежелі, және , бірақ бұл бүкіл өрістің дәрежесі, , сондықтан .

Қасиетті р

Ажыратылмайтын кеңейту үшін, егер сипаттамасы p болса, [E: F] дәрежесі p болған жағдайда бастапқы элемент болады: себебі, олардың дәрежелері жай сан p-нің бөлгіштері болғандықтан, тривиалды емес аралық қосалқы өрістер болмайды.

Егер [E: F] = p2 болса, бастапқы элемент болмауы мүмкін (мұндай жағдайда Штайниц теоремасы бойынша шексіз көп аралық өрістер бар). Ең қарапайым мысал – p элементі бар шекті өріс үстінде екі белгісіз T және U бойынша рационалды функциялар өрісі. Шындығында, кез келген α үшін, Фробен эндоморфизмі α элементі F өрісінде жататынын көрсетеді, сондықтан α – түбірі, және α бастапқы элемент бола алмайды (F өрісіне қатысты p2 дәрежелі), бірақ оның орнына F(α) тривиалды емес аралық өріс болады.

Дәлел

Алдымен бұл шексіз деп есептейік. Индукция бойынша, кез келген шекті кеңейтудің қарапайым екенін дәлелдеу жеткілікті. Егер , онда ол бастапқы элемент болмаса, онда , себебі әйтпесе , сәйкесінше , үстінен ең төменгі дәрежелі полиномдарды қарастырып, және олардың барлық түбірлерін қамтитын бөлу өрісін аламыз және . Бірақ , сондықтан тағы бір түбір бар, және өріс автоморфизмі бар, ол және түйіндерін өзгеріссіз қалдырып, -ке жібереді. Онда және: , және демек , себебі үшін және үшін мүмкіндіктер саны шекті, сондықтан тек шекті санда ғана бастапқы элемент бермейді. Қалған барлық мәндер бастапқы элемент береді. Егер шекті болса, онда біздін -тің шекті кеңейту өрісіндегі бастапқы түбірі болады.

Тарих

Эварист Галуа өзінің 1831 жылы жазылған, ал 1846 жылы жарық көрген "Бірінші естелігінде" рационалдық сандар арқылы полиномның бөліну өрісі жағдайында классикалық бастапқы элемент теоремасының дәлелін келтірді. Оның эскизіндегі кемшіліктерді Лагранждың 1771 жылғы теоремасын қолдану арқылы оңай толтыруға болар еді (рефери Пуассон атап өткендей), және Галуа осы теореманы білгені анық. Лагранж далаларды бөлуге қатысты бастапқы элемент теоремасын бұрыннан білген болуы мүмкін. Штайниц "классикалық" нәтижені бастапқы элементтер теоремасы деп, ал оның заманауи нұсқасын аралық өрістер теоремасы деп атады. Эмил Артен 1930 жылдары Галуа теориясын бастапқы элементтерге сүйенбей қайта формулирледі.