Введение

В теории полей теорема о примитивном элементе утверждает, что каждое конечное сепарабельное расширение поля является простым, то есть порождается одним элементом. В частности, эта теорема подразумевает, что все алгебраические числовые поля над полем рациональных чисел и все расширения, в которых оба поля конечны, являются простыми.

Пример

Если к рациональным числам присоединить два иррациональных числа α и β, чтобы получить поле расширения степени 4, можно показать, что это расширение простое, то есть существует такое число α, что степени 1, α, α², α³ можно представить в виде линейных комбинаций 1, α, β, αβ с целыми коэффициентами. Можно решить эту систему линейных уравнений относительно α и β над ℚ, чтобы получить α = a + b√c и β = p + q√c. Это показывает, что α действительно является примитивным элементом:

Можно также использовать следующий более общий аргумент. Поле ℚ(α, β) явно имеет четыре автоморфизма поля, определенных выражениями σ(α) = ±α и σ(β) = ±β для каждого выбора знаков. Минимальный многочлен для α должен содержать β, так что α должен иметь по крайней мере четыре различных корня. Следовательно, минимальный многочлен имеет степень по крайней мере четыре, и [ℚ(α):ℚ] ≤ 4, но это степень всего поля, [ℚ(α, β):ℚ] = 4, поэтому [ℚ(α):ℚ] = 4.

Характерная p

Для неразделимого расширения характеристики p, тем не менее, существует примитивный элемент, если степень [E: F] равна p: действительно, не может быть нетривиальных промежуточных подполей, поскольку их степени были бы делителями простого числа p.

Когда [E: F] = p², примитивного элемента может и не быть (в этом случае, по теореме Штайница, существует бесконечно много промежуточных полей). Самый простой пример – это поле рациональных функций от двух переменных T и U над конечным полем из p элементов, и, фактически, для любого α из этого поля, эндоморфизм Фробениуса показывает, что элемент α лежит в F, следовательно, α является корнем многочлена из F, и α не может быть примитивным элементом (степени p² над F), а вместо этого F(α) является нетривиальным промежуточным полем.

Доказательство

Предположим сначала, что бесконечно. По индукции достаточно доказать, что любое конечное расширение является простым. Для , предположим, что не является примитивным элементом. Тогда , поскольку в противном случае рассмотрим минимальные многочлены над , а также над , и возьмем разлагающее поле , содержащее все корни и из и . Поскольку , существует другой корень , и полевой автоморфизм , который фиксирует и переводит в . Тогда мы имеем , и: , и следовательно . Поскольку существует лишь конечное число возможностей для и , лишь конечное число не дают примитивный элемент. Все остальные значения дают . Для случая, когда конечно, мы просто выбираем примитивным корнем конечного расширения поля .

История

В своем Первом мемуаре 1831 года, опубликованном в 1846 году, Эварист Галуа набросал доказательство классической теоремы о примитивном элементе в случае поля расщепления многочлена над рациональными числами. Пробелы в его наброске можно было легко восполнить (как отметил рецензент Пуассон), используя теорему Лагранжа 1771 года, которую Галуа, несомненно, знал. Вероятно, Лагранж уже был знаком с теоремой о примитивном элементе для полей расщепления. Штайниц назвал «классический» результат теоремой о примитивных элементах, а его современную версию – теоремой о промежуточных полях. Эмиль Артин переформулировал теорию Галуа в 1930-х годах, не опираясь на примитивные элементы.