Музыкалық аспаптарды келістіру жүйесі

Кіріспе

Музыкалық күйлеу жүйесі

Меантондық темпераменттер – музыкалық темпераменттер, яғни, үшіншіні таза дыбысқа жақындату мақсатымен, бесіндік интервалдарды 3:2 арақатынасынан сәл кеміту арқылы (оларды таза бесіндіктен тар ету арқылы) алынған күйлеу жүйелерінің бір түрі. Меантондық темпераменттер пифагорлық күйлеу сияқты, тең бесіндіктердің тізбегі ретінде құрастырылады, бірақ олар темпераменттер болып табылады, себебі бесіндіктер таза емес.

Белгілі меттондар

Он екі тонды тең темперамент, барлық жарты тонды бірдей өлшемге келтіру арқылы қол жеткізіледі, әрқайсысы октаваның он екінші бөлігіне тең (12-ші түбірдің қатынасымен бесіндіктерді шамамен 2 центке немесе пифагорлық үтірге дейін тарылтады және пифагорлық настройкадан сәл жақсы болатын үшіншіліктерді тудырады. Он екі тонды тең темперамент шамамен меантондық настройкаға ұқсас. Ең танымал меантондық настройка – төртінші үтірлі меантон, ол әрбір он екі бесіндіктерді синтоникалық үтірдің бөлігімен темперлейді, ал «меантондық темперамент» термині көбінесе оны нақты атау үшін қолданылады. Төрт жоғарылаған бесіндік (мысалы) темперленгенде кемелді мажор үшіншілік пайда болады, бұл төрт кемелді бесіндіктерден туындайтын пифагорлық үшіншіліктен бір синтоникалық үтірге дейін тар. Төртінші үтірлі меантон 16-шы ғасырдың басынан 19-шы ғасырдың соңына дейін қолданылған. Қазіргі кезде ол стандартталған және октаваны 31 тең қадамға бөлу арқылы кеңейтілген. Бұл пифагорлық настройка сияқты жүреді; яғни, негізгі дыбысты (мысалы) алып, алты рет тізбектеп бесіндікке көтеріледі (әрқашан негізгі дыбыстан жоғары октавада қалу үшін бөлу арқылы түзетіледі) және сондай-ақ алты рет тізбектеп бесіндікке төмендейді (октаваға қайта оралу үшін көбейту арқылы түзетіледі). Алайда, «кемелді» бесіндіктерді пайдаланудың орнына, оны (бұл «синтоникалық үтір»: таза мажор үшіншілік пен пифагорлық үшіншілік арасындағы қатынас) төртінші түбірімен көбейту керек. Сонымен қатар, бесіндіктерді сәл қысқарту үшін орнына қолдануға болады. Бұл аралық «кемелді үшіншілік» құрайды, ал аралық секундтар (,) біркелкі бөлінеді, сондықтан және тең қатынастар, олардың квадраты Үлкен екіншіліктер тізбегінде де осыған ұқсас, бірақ меантондық настройкада әлі де «үтір» бар (яғни және әртүрлі биіктіктерде; олар бірдей емес, себебі меантондық биіктік пифагорлықтан үлкен және кері бағытта (көтеріңкі және төменгі). Үшінші үтірлі меантондық настройкада бесіндіктер және үш төмен түсетін бесіндік (мысалы) үш кемелді бесіндіктерден туындайтын пифагорлық үтірден кеңірек бір синтоникалық үтірлі мінсіз минор үшіншілігін тудырады. Үшінші үтірлі меантон октаваны 19 тең қадамға бөлу арқылы өте жақсы жуықтастырылуы мүмкін.

Twelve tone equal temperament, obtained by making all semitones the same size, each equal to one twelfth of an octave (with ratio the 12th root to one narrows the fifths by about 2 cents or of a Pythagorean comma, and produces out of tune thirds that are only slightly better than in Pythagorean tuning. Twelve tone equal temperament is roughly the same as meantone tuning. Quarter comma meantone, which tempers each of the twelve fifths by of a syntonic comma, is the best known type of meantone temperament, and the term meantone temperament is often used to refer to it specifically. Four ascending fifths (as ) tempered by produce a perfect major third , one syntonic comma narrower than the Pythagorean third that would result from four perfect fifths. Quarter comma meantone has been practiced from the early 16th century to the end of the 19th. Nowadays it is standardised and extended by a division of the octave into 31 equal steps. This proceeds in the same way as Pythagorean tuning; i. e., it takes the fundamental (say, ) and goes up by six successive fifths (always adjusting by dividing by to remain within the octave above the fundamental), and similarly down, by six successive fifths (adjusting back to the octave by multiplying by However, instead of using the which gives "perfect" fifths, this must be multiplied by the fourth root of ( is the "syntonic comma": the ratio of a just major third to a Pythagorean third .) Equivalently, one can use instead of , to produce slightly reduced fifths. This results in the interval being a "perfect third" , and the intermediate seconds (, ) dividing uniformly, so and are equal ratios, whose square is The same is true of the major second sequences and However, there is still a "comma" in meantone tuning (i. e. the and the have different pitches; they are not the same as in The meantone comma is actually larger than the Pythagorean one, and in the opposite pitch direction (sharp vs. flat). In third comma meantone, the fifths are tempered by and three descending fifths (such as ) produce a perfect minor third one syntonic comma wider than the Pythagorean comma that would result from three perfect fifths. Third comma meantone can be approximated extremely well by a division of the octave in 19 equal steps.

Орташалық ретінде дыбыс

"Мейтондық темперамент" атауының себебі – барлық осындай темпераменттерде тек бір ғана тон мөлшері болады, ол табиғи интонацияның үлкен тоны (9:8) мен кіші тоны (10:9) арасындағы айырмашылықты, яғни синтоникалық коммені білдіреді. Кез келген реттелген жүйеде (яғни, бір бесіншісінен басқа барлық бесіншілері бірдей өлшемде) толық тонға (а) екі бесіншіден кейін (а) жетеді, ал үлкен үшіншіге – төрт бесіншіден кейін. Орта тон, демек, мейтондық темпераменттің үлкен үшіншісінің нақты жартысы болып табылады (центтермен өлшенгенде немесе жиіліктің квадрат түбірі арқылы). Бұл – тонның орта мәнге ие болуының бір түрі; ол орташа немесе аралық мән, және нақтырақ айтқанда, олардың геометриялық ортасы: жиіліктердің қатынасы ретінде, бұл 193.156 центке тең – төртінші комменің толық тондық мөлшері. Дегенмен, кез келген аралық тон "орта" деп аталуға лайық, себебі ол аралық мәнге ие, сондықтан да кейбір мейтондық жүйелер үшін жарамды таңдау болып табылады. Төртінші комменді мейтондық темпераментте, үлкен үшінші синтоникалық комменің арқасында тартылғандықтан, толық тон да табиғи интонацияның үлкен тонынан (9:8) жарты коммен тар, немесе кіші тонынан (10:9) жарты коммен кең болады. Бұл – төртінші комменді темпераменттегі толық тонды "орта" тон деп санауға болатын тағы бір себеп; осы себепті төртінші комменді мейтондық темперамент көбінесе үлгілік мейтондық темперамент деп есептеледі, өйткені ол оның мүмкін болатын екі шектігінің арасында (центтермен өлшенгенде) ортада орналасқан.

Тең мінез

Тек әділ бесінші де, төрттен бір үтірлі орта тон бесіншісі де октаваның рационалды бөлшегі емес, бірақ бесіншіні осындай интервалмен жақындататын бірнеше күйлер бар; бұл октава тең аралықтардың (N) белгілі бір санына бөлінген тең темпераменттердің ішкі жиыны. Орта тон күйлеріне жарамды тең темпераменттер (генератор енінің өсу ретімен) және . Күй орта тоннан алшақтаған сайын, оның гармониялық тембрлермен байланысы азаяды, бірақ бұл күйге сәйкес келетін гармоникалықтарды түзету арқылы жеңуге болады – бірақ мұндай мүмкіндік тек электрондық синтезаторларда ғана бар.

Қасқыр аралықтары

Толық санның таза бесіншісі ешқашан толық октаваға тең болмайды, өйткені ол иррационал сан. Егер толық бесіншілердің қатары октавамен жабылуы керек болса, онда бесіншіге тең интервалдардың бірі басқа бесіншілерден өзгеше кеңдікке ие болуы тиіс. Мысалы, пифагорлық 12 ноталық хроматикалық шкаланы октаваға жақын келтіру үшін, бесінші интервалдардың бірі пифагорлық үтірмен төмендетілуі керек; бұл өзгертілген бесінші "қасқыр бесіншісі" деп аталады, өйткені ол интервал өлшемі бойынша бесіншіге ұқсас естіледі және дұрыс емес бесінші сияқты сезіледі, бірақ шын мәнінде кемітілген алтыншы (мысалы, және арасында). Сол сияқты, 12 нотаның 11-і де дұрыс, бірақ қалған нота – үлкейтілген үшінші (нағыз үшінші емес). Қасқыр интервалдары – пернетақта дизайнының артефактісі, және пернетақтада ойнаушылар күткеннен өзгеше биіктіктегі ноталарды қолдануынан туындайды. Бұл 2-суретте көрсетілгендей изоморфты пернетақта қолдану арқылы оңай көрсетілуі мүмкін. Изоморфты пернетақтада кез келген берілген музыкалық интервалдың пішіні шеттерінен басқа әр жерде бірдей болады. Мысал келтірейік. 2-суретте көрсетілген пернетақтада, кез келген нотадан, таза бесінші биіктігіндегі нота әрқашан жоғары және оң жаққа қарай орналасқан. Бұл пернетақтаның ноталық диапазонында қасқыр интервалдары жоқ. Проблема шетінде, нотада , көрсетілген пернетақтада жоқ , таза бесінші биіктігіндегі нота (оның орны үлкен пернетақтада оң жағына орналастырылып, пернетақтаның тұрақты нота үлгісі сақталуы мүмкін). Батырма болмағандықтан, қуатты аккордты (ашық бесінші аккордты) ойнағанда, басқа нотаны таңдау керек, мысалы, , жоғалғанның орнына. Тіпті шеттік жағдайлар да қасқыр интервалдарын тудырады, егер изоморфты пернетақтада октаваға қарағанда аз түймелер болса және күйінде әртүрлі ноталар болса. Мысалы, 2-суреттегі изоморфты пернетақтада октаваға 19 түйме бар, сондықтан жоғарыдағы шеттік жағдай, -ден бастап , 12 тең темпераментте, 17 немесе 19 күйінде қасқыр интервалы емес; алайда, ол 26, 31 және 50 ET күйінде қасқыр интервалы болып табылады. Бұл күйлерде электрондық транспозицияны қолдану арқылы ағымдағы тональды ноталарды изоморфты пернетақтаның ақ түймелерінде сақтауға болады, сондықтан бұл қасқыр интервалдары экзотикалық тональды ноталарға өтуге қарамастан, тональді музыкада сирек кездеседі. Изоморфты пернетақталар синтоникалық темпераменттің мағыналы күйлерінің инвариантты қасиеттерін изоморфты түрде көрсетеді (мысалы, әр октавада, тональды нотада және күйде бір түймелі формасы бар берілген интервалды көрсету арқылы), өйткені изоморфты пернетақта да, темперамент те екі өлшемді (яғни, 2-ретті) бірліктер. Бір өлшемді пернетақталар (N – қандай да бір сан) тек бір өлшемді күйдің инвариантты қасиеттерін дәл көрсете алады, сондықтан октаваға 12 түймесі бар бір өлшемді фортепиано стиліндегі пернетақта тек бір күйдің инвариантты қасиеттерін көрсете алады: 12.

A whole number of just perfect fifths will never add up to a whole number of octaves, because is an irrational number. If a stacked up whole number of perfect fifths is to close with the octave, then one of the intervals that is enharmonically equivalent to a fifth must have a different width than the other fifths. For example, to make a 12 note chromatic scale in Pythagorean tuning close at the octave, one of the fifth intervals must be lowered ("out of tune") by the Pythagorean comma; this altered fifth is called a "wolf fifth" because it sounds similar to a fifth in its interval size and seems like an out of tune fifth, but is actually a diminished sixth (e. g. between and ). Likewise, 11 of the 12 perfect fourths are also in tune, but the remaining fourth is an augmented third (rather than a true fourth). Wolf intervals are an artifact of keyboard design, and keyboard players using a key that is actually in tune with a different pitch than intended. This can be shown most easily using an isomorphic keyboard, such as that shown in Figure 2. On an isomorphic keyboard, any given musical interval has the same shape wherever it appears, except at the edges. Here's an example. On the keyboard shown in figure 2, from any given note, the note that's a perfect fifth higher is always upward and rightward adjacent to the given note. There are no wolf intervals within the note span of this keyboard. The problem is at the edge, on the note The note that's a perfect fifth higher than is , which is not included on the keyboard shown (although it could be included in a larger keyboard, placed just to the right of , hence maintaining the keyboard's consistent note pattern). Because there is no button, when playing an power chord (open fifth chord), one must choose some other note, such as , to play instead of the missing
Even edge conditions produce wolf intervals only if the isomorphic keyboard has fewer buttons per octave than the tuning has enharmonically distinct notes For example, the isomorphic keyboard in figure 2 has 19 buttons per octave, so the above cited edge condition, from to , is not a wolf interval in 12 tone equal temperament , 17 , or 19 ; however, it is a wolf interval in 26 , 31 , and 50 ET. In these latter tunings, using electronic transposition could keep the current key's notes on the isomorphic keyboard's white buttons, such that these wolf intervals would very rarely be encountered in tonal music, despite modulation to exotic keys. Isomorphic keyboards expose the invariant properties of the meantone tunings of the syntonic temperament isomorphically (that is, for example, by exposing a given interval with a single consistent inter button shape in every octave, key, and tuning) because both the isomorphic keyboard and temperament are two dimensional (i. e., rank 2) entities One dimensional keyboards (where N is some number) can expose accurately the invariant properties of only a single one dimensional tuning in hence, the one dimensional piano style keyboard, with 12 keys per octave, can expose the invariant properties of only one tuning: 12
When the perfect fifth is exactly 700 cents wide (that is, tempered by approximately of a syntonic comma, or exactly of a Pythagorean comma) then the tuning is identical to the familiar 12 tone equal temperament. This appears in the table above when

Because of the compromises (and wolf intervals) forced on meantone tunings by the one dimensional piano style keyboard, well temperaments and eventually equal temperament became more popular. Using standard interval names, twelve fifths equal six octaves plus one augmented seventh; seven octaves are equal to eleven fifths plus one diminished sixth. Given this, three "minor thirds" are actually augmented seconds (for example, to ), and four "major thirds" are actually diminished fourths (for example, to ). Several triads (like and ) contain both these intervals and have normal fifths.

Егер таза бесінші дәл 700 центке тең болса (яғни, шамамен синтоникалық үтірмен немесе дәл пифагорлық үтірмен темперленген), онда күй 12 тең темпераментке тең болады. Бұл жоғарыдағы кестеде көрінеді.

Бір өлшемді фортепиано стиліндегі пернетақтаның меттонустық күйлерге мәжбүрлеген компромистері (және қасқыр интервалдары) салдарынан, жақсы темпераменттер және ақырында тең темперамент танымал болды. Стандартты интервал атауларын пайдаланғанда, он екі бесінші алты октаваға және бір үлкейтілген жетіншіге тең; жеті октава он бір бесіншіге және бір кемітілген алтыншыға тең. Осыны ескере отырып, үш "кіші үшінші" – бұл үлкейтілген екіншілер (мысалы, ), ал төрт "үлкен үшінші" – кемітілген төрттіктер (мысалы, ). Бірнеше үштіктер (мысалы, және ) осы интервалдарды қамтиды және дұрыс бесіншілері бар.

Метатондық темпераментті қолдану

Меттонға сілтеме жасай алатын көйлеу жүйелері туралы алғашқы жазбалар 1496 жылға (Гаффурий) дейін жетеді. Арон (1523) тоқсандық коммалы меттонды анық талқыласа, ал математикалық тұрғыдан нақты меттон көйлеуінің алғашқы сипаттамалары 16-ғасырдың соңында Зарлино мен де Салинастың еңбектерінде кездеседі. Бұл авторлар екі жүйені де сипаттаған. Фоглиано төртінші коммалы жүйеге тоқталып өткен, бірақ оны кеңінен талқыламады. Әрине, тоқсандық коммалы меттон (немесе кез келген басқа меттон жүйесі) толыққанды дәлдікпен іске асырылуы мүмкін емес еді, себебі жиілікті өлшейтін құралдар 19-ғасырдың ортасына дейін ойда жоқ еді. Бірақ көйлеушілер соңғы уақытқа дейін «құлақпен» көйлейтін музыканттар қолданған дәл сол әдісті пайдалана алатын: бесіндіктер арқылы жоғарылап, октавалар арқылы төмендеп, немесе бесіндіктер арқылы төмендеп, октавалар арқылы жоғарылап, бесіндіктерді «сәл» кішірек ету арқылы «темперлеу». 12 тондық тең темперамент үшін оларды a-дан сәл кем мөлшерде темперлеу қажет, себебі олар соңында комма қалмайтын толық цикл құруы керек, ал меттон көйлеуінде қалдық комма болады. Көйлеушілердің «тоқсандық комманы» құлақпен анықтауы біршама күрделі. Бұл жиіліктің шамамен 0,3%-ына тең, ал ортаңғы C (~264 Гц) үшін шамамен бір герц болады. Олар оны бестіктерді эталон ретінде пайдаланып, осы жылдамдықтағы соққылар тудыру үшін темперленген нотаны реттеу арқылы анықтай алады. Дегенмен, соққы жиілігін нота жиілігіне пропорционалды түрде сәл түзету қажет. Бұрын меттон темпераменттері кейде басқа атаулармен немесе сипаттамалармен қолданылған. Мысалы, 1691 жылы Гюйгенс, бірақ Гюйгенс бұл стандарттық көйлеуді өте нақты сипаттаған, және бұл қазір тоқсандық коммалы меттон темпераменті деп аталады. Меттон Ренессанс және Барокко дәуірінің ертеректегі музыкасымен байланысты көйлеу ортасы ретінде кең танымал болғанымен, 19-ғасырдың ортасына дейін клавиатуралық темперамент ретінде меттонды үздіксіз пайдалануға қатысты деректер бар. «Тең темперамент енгізілгенге дейін қолданылған көйлеу әдісі меттон жүйесі деп аталады. Ол Англияда әлі толыққанды жойылған жоқ, өйткені оны елдегі бірнеше шіркеу органдарында әлі естіуге болады. Севилья соборының органшысы Дон Б. Иньигестің айтуынша, испандық органдарда меттон жүйесі қазір де сақталып келеді». — Г. Гроув (1890) Меттон темпераменті 20-ғасырдың соңында ерте музыканы орындауда және Адамс, Лигети және Лиди сияқты композиторлардың меттонды талап ететін жаңа шығармаларында қайта жанданды.

References to tuning systems that could possibly refer to meantone were published as early as 1496 (Gaffurius). Aron (1523) was unmistakably discussing quarter comma meantone, however, the first mathematically precise meantone tuning descriptions are found in late 16th century treatises by Zarlino and de Salinas. These authors both described the and meantone systems. Fogliano mentioned the quarter comma system, but offered no discussion of it. Of course, the quarter comma meantone system (or any other meantone system) could not have been implemented with complete accuracy until much later, since devices that could accurately measure pitch frequencies didn't exist until the mid 19th century. But tuners could use precisely the same method that "by ear" tuners have used until recently: Go up by fifths, and down by octaves, or down by fifths, and up by octaves, and "temper" the fifths so they are "slightly" smaller than just ratios. For 12 tone equally tempered tuning, they would have to be tempered by a little less than a since they must form a perfect cycle, with no comma at the end, whereas the meantone tuning still has a residual comma. How tuners could identify a "quarter comma" reliably by ear is a bit more subtle. Since this amounts to about 0.3% of the frequency which, near middle (~264 Hz), is about one hertz, they could do it by using perfect fifths as a reference and adjusting the tempered note to produce beats at this rate. However, the frequency of the beats would have to be slightly adjusted, proportionately to the frequency of the note. In the past, meantone temperaments were sometimes used or referred to under other names or descriptions. For example, in 1691 Huygens But Huygens' description of that conventional arrangement was quite precise, and is clearly what is now called quarter comma meantone temperament. Although meantone is best known as a tuning environment associated with earlier music of the Renaissance and Baroque, there is evidence of continuous usage of meantone as a keyboard temperament well into the middle of the 19th century. "The mode of tuning which prevailed before the introduction of equal temperament, is called the Meantone System. It has hardly yet died out in England, for it may still be heard on a few organs in country churches. According to Don B. Yñiguez, organist of Seville Cathedral, the meantone system is generally maintained on Spanish organs, even at the present day." — G. Grove (1890)

Meantone temperament has had considerable revival for early music performance in the late 20th century and in newly composed works specifically demanding meantone by composers including Adams, Ligeti, and Leedy.